Elips
Dalam matematika, sebuah elips atau oval yang beraturan adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beraturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yakni bulat lonjong (atau lonjong saja), bulat bujur, dan bulat panjang.

Definisi sebagai lokus poin 

Elips dapat didefinisikan secara geometris sebagai satu set atau lokus titik dalam bidang Euclidean:
Diberi dua poin tetap  disebut fokus dan jarak  yang lebih besar dari jarak antara fokus, elips adalah himpunan poin  sedemikian rupa sehingga jumlah dari jarak  adalah sama dengan :

Titik tengah  dari segmen garis yang bergabung dengan fokus disebut pusat elips. Garis melalui fokus disebut sumbu utama , dan garis tegak lurus melalui pusat adalah sumbu minor . Sumbu utama memotong elips pada titik- titik simpul , yang memiliki jarak  ke pusat. Jarak  dari fokus ke pusat disebut jarak fokus atau eksentrisitas linier. Hasil bagi  adalah eksentrisitas .

Kasus  dapat dilihat dengan cara yang berbeda (lihat gambar):
Jika  adalah lingkaran dengan titik tengah , maka jarak suatu titik  ke lingkaran  sama dengan jarak ke fokus :
 

 disebut directrix melingkar (terkait dengan fokus ) of the ellipse. Properti ini tidak boleh disamakan dengan definisi elips menggunakan garis directrix di bawah ini.

Dengan menggunakan bola Dandelin , orang dapat membuktikan bahwa setiap bagian bidang kerucut dengan bidang adalah elips, dengan asumsi bidang tidak mengandung puncak dan memiliki kemiringan kurang dari garis pada kerucut.

Sistem Koordinat Kartesius

Persamaan standar 
Bentuk standar elips dalam koordinat Cartesian mengasumsikan bahwa asal adalah pusat elips, x- sumbu adalah sumbu utama, dan:
fokus adalah poinnya
,
simpulnya adalah .

Untuk titik arbitrer  jarak ke fokus  adalah 
 dan ke fokus lainnya . Karena itu intinya  is on the ellipse whenever: 

Menghapus radikal dengan squarings yang sesuai dan menggunakan   menghasilkan persamaan standar elips:

atau, memecahkan y:

Keliling lebar dan tinggi  disebut sumbu semi mayor dan semi minor . Poin atas dan bawah 

Ini mengikuti dari persamaan bahwa elips simetris sehubungan dengan sumbu koordinat dan karenanya sehubungan dengan asal.

Keliling

Sumbu semi mayor dan semi minor 
Sepanjang artikel ini  Sebuah adalah sumbu semi-mayor, yaitu  Secara umum persamaan elips kanonik  mungkin  (dan karenanya elips akan lebih tinggi daripada lebar); dalam bentuk ini sumbu semi-mayor akan menjadi .    Formulir ini dapat dikonversi ke formulir standar dengan mentransposisi nama variabel

Eksentritas linear 
Ini adalah jarak dari pusat ke fokus:
.

Keanehan 
Eksentrisitas dapat dinyatakan sebagai:
 ,

Rektum semi-lektur 
Panjang akord melalui satu fokus, tegak lurus terhadap sumbu utama, disebut rektum latus . Separuh di antaranya adalah rektum semi-latus  Perhitungan menunjukkan:

Garis singgung 
Garis arbitrer  memotong sebuah elips pada 0, 1, atau 2 poin, masing-masing disebut garis eksterior , garis singgung dan garis potong . Melalui setiap titik elips ada garis singgung yang unik. Garis singgung pada suatu titik  dari elips  memiliki persamaan koordinat:

Persamaan parametrik vektor garis singgung adalah:
  with 

Bukti: Biarkan  be a point on an ellipse and  menjadi persamaan garis apa pun  mengandung . Memasukkan persamaan garis ke dalam persamaan elips dan menghormati  yields:

Elips bergeser 
Jika elips standar digeser untuk memiliki pusat , persamaannya adalah
 

Sumbu masih sejajar dengan sumbu x dan y.

Luas elips 
Luas elips adalah

Keliling elips 
Keliling elips adalah
 Keliling I

 Keliling II (model Ramanujan)

dan

 di mana 

 Keliling III (model integral)

dan

Lihat pula 
 Elipsoid

Referensi

Pranala luar 

 Elips (matematika) di Encyclopædia Britannica
 Elips di PlanetMath.org
 The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C. oleh Clark Kimberling

Irisan kerucut
Bentuk