mangfoldighed
En mangfoldighed er i matematikken et geometrisk objekt, som generaliserer begreberne kurve og flade til højere dimension.
En mangfoldighed \(M\) af dimension \(n\) er et geometrisk objekt, som på små stykker kan fastlægges ved \(n\) koordinater (parametre) på en sådan måde, at hvis et stykke af \(M\) samtidig kan beskrives af to systemer af koordinater, da sker udvekslingen af koordinater mellem de to systemer på fordragelig (kontinuert) måde; tænk på kortene i et atlas over Jordens overflade. Hvis der ikke stilles yderligere krav end kontinuitet til udvekslingen af koordinater, taler man om en topologisk mangfoldighed. Hvis udvekslingen er lineær, taler man om en stykkevis lineær mangfoldighed, og er den differentiabel, om en differentiabel mangfoldighed.
De grundlæggende formelle definitioner bag mangfoldighedsbegrebet optræder første gang eksplicit i Riemanns berømte habilitationsforelæsning Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen fra 1854.
Idéen om højere-dimensionale geometriske objekter hos Riemann har sit udspring i to forhold. På den ene side førte problemstillinger i matematisk mekanik naturligt Lagrange og andre ind på studier af løsningsmængder til ligninger i flere variable. Igennem arbejder af J.V. Poncelet, A.F. Möbius og J. Plücker (1801-68) fik disse studier i begyndelsen af 1800-tallet efterhånden en drejning i algebraisk retning og førte til begrebet algebraisk varietet i algebraisk geometri. På den anden side var det nærliggende at søge en generalisation af den idé om parametrisering af fladestykker ved to parametre, som Gauss benyttede i sit hovedværk Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas fra 1827 om differentialgeometri af flader.
I sit habilitationsskrift og senere arbejder forfølger Riemann disse idéer både i to og flere dimensioner. I to dimensioner er ikke mindst hans studier af mangetydige komplekse funktioner ved indførelse af de såkaldte Riemannflader banebrydende. De naturlige analogier til Riemannflader i lige dimensioner \(n=2m\) er de såkaldte komplekse mangfoldigheder, som lokalt kan parametriseres ved \(m\) komplekse parametre. Komplekse mangfoldigheder optræder bl.a. i moderne feltteorier i fysik.
Mangfoldighedsbegrebet i højere dimensioner blev studeret og videreudviklet af Poincaré omkring 1900 i forbindelse med hans fundamentale arbejder om topologi og dynamiske systemer. Betydningsfulde arbejder om realisering af abstrakte differentiable mangfoldigheder i højere-dimensionale talrum blev udført af den amerikanske matematiker Hassler Whitney (1907-89) i en række afhandlinger omkring 1940.
Et grundlæggende tema i studiet af mangfoldigheder har været at afklare forbindelserne mellem topologiske, stykkevis lineære og differentiable strukturer på mangfoldigheder. Specielt skal fremhæves en skelsættende opdagelse af John Milnor fra 1956, at der er flere væsensforskellige differentiable strukturer, der passer sammen med den topologiske struktur på den syvdimensionale kugleflade; faktisk er der 28.
Studiet af geometri og topologi af mangfoldigheder har siden midten af 1900-tallet været et fremtrædende forskningsområde i matematikken.