keglesnit
Keglesnit er kurver, der fremkommer som skæringskurverne mellem en omdrejningskegleflade (se kegleflade) og en plan. De falder i tre typer: ellipser, parabler og hyperbler. Keglesnittene blev allerede studeret tidligt i den klassiske græske matematik, og ca. 200 f.v.t. blev den opnåede viden om keglesnittene sammenfattet og stærkt udvidet af Apollonios fra Perge, hvis værk regnes som et hovedværk i oldtidens matematik.
Hvis man skærer en omdrejningskegleflade med en plan, som ikke går igennem keglefladens toppunkt, fremkommer en plan skæringskurve, hvis form afhænger af den vinkel, som skæringsplanen danner med keglefladens akse. Når denne skæringsvinkel er større end keglefladens aksevinkel, skærer planen tværs gennem keglefladen, og skæringskurven bliver en lukket kurve, en ellipse; hvis keglefladens akse står vinkelret på skæringsplanen, fås specielt en cirkel. Når skæringsvinklen er lig med aksevinklen, er en frembringer for keglefladen parallel med planen, og skæringskurven bliver en åben kurve, en parabel. Når skæringsvinklen er mindre end aksevinklen, skærer planen begge stykker af keglefladen, og skæringskurven falder i to åbne stykker, en hyperbel. De to stykker af hyperblen kaldes dens grene.
Typen af et keglesnit er fastlagt ved et ikke-negativt tal \(e\ge 0\) kaldet excentriciteten for keglesnittet. Excentriciteten kan bestemmes som forholdet mellem længderne af de to linjestykker der fremkommer ved projektion af et linjestykke på keglefladens akse vinkelret ind på henholdsvis skæringsplanen for keglesnittet, og en frembringer for keglefladen. For \( 0\le e < 1 \) fås en ellipse, specielt for \( e = 0 \) en cirkel; for \( e = 1 \) fås en parabel; og for \( e > 1 \) en hyperbel.
Som plane kurver kan de tre typer af keglesnit karakteriseres ved hjælp af en ledelinje, et brændpunkt samt excentriciteten. Keglesnittet med excentricitet \( e > 0 \), ledelinje \(l\) og brændpunkt \(F\) udgøres netop af de punkter \(P\) i planen, for hvilke afstanden til punktet \(F\) er \(e\) gange afstanden til linjen \(l\): \( \vert PF\vert = e\vert Pl\vert \).
Ellipsen og hyperblen har hver to brændpunkter \(F_1\) og \(F_2\) med tilhørende ledelinjer \(l_1\) og \(l_2\). Parablen har et brændpunkt \(F\) med tilhørende ledelinje \(l\).
Den længste korde i en ellipse kaldes storaksen, og korden der halverer storaksen og er vinkelret på den, kaldes lilleaksen. Ellipsen er symmetrisk omkring storaksen og lilleaksen. Hvis den halve storakse og den halve lilleakse har længden \(a\), henholdsvis \(b\), da er ellipsens excentricitet givet ved formlen \[e=\sqrt{1-\tfrac{b^2}{a^2}}.\] Indlæg et sædvanligt retvinklet koordinatsystem med koordinater \( (x,y)\) i planen der bestemmer ellipsen, hvor \(x\)-aksen følger storaksen og \(y\)-aksen følger lilleaksen. Så har brændpunkterne \(F_1\) og \(F_2\) for ellipsen koordinaterne \((-ea,0)\), henholdsvis \((ea,0)\), og de tilhørende ledelinjer \(l_1\) og \(l_2\) er givet ved ligningerne \[x= \ – \frac{a}{e} \quad\text{henholdsvis}\quad x=\frac{a}{e} .\] Ellipsen består af de punkter \(P\) i planen, for hvilke summen af afstandene fra P til F1 og F2 er konstant lig længden af storaksen, altså \[\vert PF_1\vert + \vert PF_2\vert =2a . \] I koordinatsystemet er ellipsen fastlagt ved ligningen \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .\]
Hyperblen har to asymptoter. Linjestykket mellem de to grene af hyperblen på den symmetriakse, der skærer hyperblen, kaldes førsteaksen. Længden af det linjestykke, som hyperblens asymptoter afskærer på normalen til førsteaksen i et endepunkt, kaldes andenaksen. Hvis den halve førsteakse og den halve andenakse har længden \(a\), henholdsvis \(b\), da er hyperblens excentricitet givet ved formlen \[e=\sqrt{1+\tfrac{b^2}{a^2}}.\] Indlæg et sædvanligt retvinklet koordinatsystem med koordinater \( (x,y)\) i planen der bestemmer hyperblen, hvor \(x\)-aksen følger symmetriaksen langs førsteaksen og \(y\)-aksen er den anden symmetriakse for hyperblen. Så har brændpunkterne \(F_1\) og \(F_2\) for hyperblen koordinaterne \((-ea,0)\), henholdsvis \((ea,0)\), og de tilhørende ledelinjer \(l_1\) og \(l_2\) er givet ved ligningerne \[x=\ – \frac{a}{e}\quad \text{henholdsvis}\quad x=\frac{a}{e} .\] Hyperblen består af de punkter \(P\) i planen, for hvilke \[ \big\vert\hspace{1pt} \vert PF_1\vert – \vert PF_2\vert\hspace{1pt}\big\vert =2a .\] Hyperblens to asymptoter er givet ved ligningerne \[y= \pm\ \frac{b}{a} x.\] I koordinatsystemet er hyperblen fastlagt ved ligningen \[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 .\]
Parablen har en enkelt symmetriakse. Brændpunktet \(F\) ligger på denne akse. Længden af korden, som er vinkelret på symmetriaksen og går igennem \(F\), kaldes parameteren for parablen, og betegnes med \(p\).
Indlæg et sædvanligt retvinklet koordinatsystem med koordinater \( (x,y)\) i planen der bestemmer parablen, hvor \(y\)-aksen er parablens symmetriakse, og hvor \(x\)-aksen går igennem toppunktet for parablen og er vinkelret på symmetriaksen. Så har parablens brændpunkt \(F\) koordinaterne \( (0,\tfrac{p}{4})\), og ledelinjen \(l\) har ligningen \(y=-\tfrac{p}{4}\). I koordinatsystemet er parablen fastlagt ved ligningen \[x^2=py .\]
Hvis man indlægger et sædvanligt retvinklet koordinatsystem i planen, er keglesnittene som vist ovenfor fastlagt ved ligninger i to variable af anden grad. De kaldes derfor også andengradskurver. Studiet af geometriske former defineret ud fra polynomier af højere grad hører under algebraisk geometri.
I den klassiske fysik er keglesnittene (hvis man medtager de to "udartede" keglesnit, punktet og den rette linje) netop de mulige banekurver for en partikel, der bevæger sig i et centralt kraftfelt, som aftager med kvadratet på afstanden. Således er banekurven for en planet i omløb om en ubevægelig sol elliptisk som udledt af Newton.
Keglesnittene har vigtige refleksionsegenskaber, som udnyttes i fx parabolske skærme og spejle og elliptiske hulspejle. I disse sammenhænge fremtræder keglesnittenes brændpunkter som fysiske brændpunkter.
Keglesnittene spillede tidligere en stor rolle i matematikundervisningen på gymnasialt niveau.