differentialgeometri
Differentialgeometri er et matematisk område, der undersøger kurver, flader og andre geometriske former. Differentialgeometri er udviklet med basis i den analytiske geometri i nær tilknytning til matematisk analyse — især via L. Eulers omfattende matematiske arbejder fra 1700-tallet.
Den første monografi om kurver og flader skyldtes G. Monge (1795). I 1827 publicerede C.F. Gauss det egentlige grundlag for den klassiske differentialgeometri, Disquisitiones generales circa superficies curvas. Dette arbejde var inspireret af hans geodætiske opmåling af Hannover-området (1818-25), en opmåling, som fortsatte den allerede eksisterende geodætiske triangulation af Danmark.
I begyndelsen af 1800-tallet opdagede N.I. Lobatjevskij og J. Bolyai den ikke-euklidiske, hyperbolske geometri. Denne opdagelse og Gauss' geometriske arbejder var udgangspunktet for B. Riemanns berømte forelæsning i 1854, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, hvori han grundlagde studiet af "indre" geometriske forhold i de rum af flere dimensioner, der nu kaldes Riemannske mangfoldigheder.
Differentialgeometriske metoder har gennem deres generaliseringer fået stor betydning for en række andre matematiske, tekniske og fysiske discipliner. Teorien for de Riemannske mangfoldigheder er fx fundamentet for den almene relativitetsteori.
To vigtige begreber i den differentialgeometriske analyse af rumkurver er krumning og torsion. Begge forklares ud fra begrebet oskulerende cirkel, som er betegnelsen for den cirkel i rummet, der bedst tilnærmer en given kurve i et givet punkt. Ordet oskulerende kommer fra latin 'osculans', der betyder 'kysse'.
Den oskulerende cirkel i et punkt \(p\) ligger i en oskulerende plan, der konstrueres på følgende måde.
Tre forskellige punkter på en kurve bestemmer en plan i rummet, og i den plan er der netop én cirkel, som går igennem de tre punkter. Lader man nu de tre punkter hver for sig vandre på kurven hen imod \(p\), så vil planen nærme sig en ganske bestemt plan igennem \(p\), oskulationsplanen, og cirklen vil tilsvarende nærme sig en ganske bestemt cirkel, oskulationscirklen, i oskulationsplanen. Krumningen af kurven i punktet \(p\) defineres nu som \(\kappa(p) =\frac{1}{\rho(p)}\), hvor \({\rho(p)}\) er oskulationscirklens radius.
Oskulationscirklen til en kurve i et punkt p omtales af nærliggende grunde også som krumningscirklen, dens centrum som krumningscentrum, og dens radius som krumningsradius i \(p\).
Oskulationsplanen til en kurve indeholder altid tangenten til kurven i det respektive punkt \(p\). Når vi lader \(p\) vandre (med fart 1) langs kurven, vil oskulationsplanen derfor rotere om tangenten. Den øjeblikkelige vinkelhastighed af denne rotation kaldes torsionen af kurven.
Krumning og torsion indeholder al information om kurven. Hvis man har givet krumningen og torsionen som funktioner af en parameter \(s\), så er der netop én rumkurve (på nær flytninger), som i buelængdeafstand \(s\) fra et givet punkt på kurven har den foreskrevne krumning og den foreskrevne torsion.
W. Fenchel viste, at totalkrumningen af en lukket kurve i rummet (dvs. integralet af krumningen rundt langs hele kurven) altid er større end eller lig med \(2\pi\), og at værdien \(2\pi\) opnås, hvis og kun hvis kurven er en plan konveks kurve.
Regulære flader i rummet er karakteriseret ved, at de lokalt kan tilnærmes med en paraboloide (ligesom kurver lokalt tilnærmes med cirkler). For ethvert punkt \(p\) på fladen findes et koordinatsystem i rummet, således at fladen tæt på \(p\), dvs. for tilstrækkelig små \(x\)-værdier og \(y\)-værdier, tilnærmes bedst muligt med en entydigt bestemt oskulerende paraboloide, dvs. grafen for en funktion af typen: \[\tfrac{1}{2}\kappa_1(p)x^2 + \tfrac{1}{2}\kappa_2(p)y^2,\] hvor \(\kappa_1(p)\) og \(\kappa_2(p)\) er to reelle tal, som kaldes hovedkrumningerne for fladen i \(p\). De to tilhørende akseretninger i \((x,y)\)-planen udspænder tangentplanen til fladen i \(p\) og kaldes tilsvarende hovedretningerne i \(p\).
Et punkt på en flade kaldes et navlepunkt, hvis hovedkrumningerne er ens i punktet. Hvis alle punkter på en regulær sammenhængende flade er navlepunkter, da er fladen en del af enten en plan eller en kugleflade.
Ud fra hovedkrumningerne defineres Gauss-krumningen i punktet \(p\) som: \[\text{Κ}(p) = \kappa_1(p)\cdot\kappa_2(p),\] og middelkrumningen i \(p\) som: \[\text{H}(p)= \tfrac{1}{2}(\kappa_1(p)+\kappa_2(p)).\] Hvis middelkrumningen af en flade overalt er \(0\), siges fladen at være en minimalflade.
Et vigtigt begreb til analyse af lokale og globale egenskaber ved flader er de geodætiske kurver. En kurve på en flade er geodætisk, hvis ethvert tilstrækkelig lille segment af kurven er den korteste kurve på fladen, som forbinder segmentets endepunkter.
Betragt eksempelvis tre punkter på en flade, som ikke er for langt fra hinanden; de tre forbindende geodætiske kurver udspænder en geodætisk trekant på fladen. Hvis man integrerer Gauss-krumningen hen over en geodætisk trekant, fås trekantens vinkeleksces, dvs. summen af de tre vinkler i trekanten minus to rette vinkler.
Dette resultat viser, at krumningen er en "indre"-geometrisk størrelse; man kan således bestemme Gauss-krumningen ved udelukkende at foretage målinger i selve fladen uden at skulle benytte det omgivende rum.
I analogi med Fenchels sætning for kurver gælder følgende bemærkelsesværdige resultat for lukkede flader (Gauss-Bonnets sætning):
Totalkrumningen, dvs. integralet af Gauss-krumningen hen over fladen, er altid \(2\pi\chi\), hvor \(\chi\) er fladens såkaldte Euler-karakteristik, dvs. et helt tal, som karakteriserer fladen topologisk blandt alle lukkede flader. Dette resultat er et eksempel på den frugtbare vekselvirkning mellem differentialgeometri og topologi.