metrisk rum
Metrisk rum er en meget generel matematisk struktur, der består af en mængde udstyret med en metrik (et afstandsmål). Begrebet metrik har udspring i den matematiske analyse og studeres i mængdetopologi, men indgår nu i næsten alle matematiske discipliner.
På en grundmængde \(S\) er en metrik en funktion, som til ethvert par af elementer \(x\) og \(y\) i \(S\) knytter et ikke-negativt tal \(d(x,y)\), der benævnes afstanden fra \(x\) til \(y\), så følgende krav er opfyldt:
Disse simple krav fastlægger på forbløffende vis en slagkraftig teori for metriske rum. De grundlæggende definitioner skyldes M. Fréchet i 1906.
Det \(n\)-dimensionale reelle talrum \(\mathbb{R}^n\), som består af alle ordnede talsæt af \(n\) reelle tal \(x=(x_1, x_2, \dots, x_n)\), kan udstyres med den euklidiske metrik
\[d(x, y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n{(x_i-y_i)^2}} .\]
For \(n=2, 3\) kan \(\mathbb{R}^n\) med denne metrik identificeres med henholdsvis den euklidiske plan og det euklidiske rum udstyret med et sædvanligt retvinklet koordinatsystem.