polyeder
Et polyeder er en lukket geometrisk figur sammensat af et antal polygonale flader, som udgør overfladen på et legeme i rummet. Også dette legeme kaldes et polyeder. De afgrænsende polygonale flader udgør polyederets sideflader og indeholder polyederets hjørner og kanter. Polyederet er konvekst, hvis forbindelseslinjen mellem ethvert par af hjørner forløber helt i polyederet. Rumfanget af et polyeder bestemmes ved at inddele det i pyramider.
Et konvekst polyeder besidder en overraskende kombinatorisk egenskab, idet der mellem antallet af hjørner \(h\), antallet af kanter \(k\) og antallet af sideflader \(f\) gælder, at \(h-k+f=2\). Denne relation kendes som Eulers polyedersætning, idet Euler gav et bevis for sætningen i 1750. Relationen var dog formodentlig kendt allerede af Archimedes i 200-tallet f.v.t.
Hvis polyederet er bygget op af ligedannede regulære polygoner, og der i hvert hjørne mødes lige mange sideflader, kaldes det et regulært polyeder. Hjørnerne i et regulært polyeder ligger på en omskreven kugleflade, og der findes en indskreven kugleflade, som tangerer alle sideflader.
Pythagoræerne i 500-tallet f.v.t. vidste, at der kun var fem regulære polyedre, nemlig tetraederet, heksaederet (terningen), oktaederet, dodekaederet og ikosaederet med henholdsvis 4, 6, 8, 12 og 20 sideflader. Et bevis for, at der kun findes fem regulære polyedre, kan baseres på Eulers polyedersætning.
Platon forbinder i dialogen Timaios tetraederet, oktaederet, heksaederet og ikosaederet med henholdsvis ild, luft, jord og vand, de fire grundelementer i græsk filosofi, mens han i dodekaederet ser et billede af selve verdensaltet. De regulære polyedre kaldes også de Platoniske legemer. Senere videnskabsmænd har ladet sig inspirere af den platoniske tradition. Således søgte Kepler i Mysterium Cosmographicum (1596) at forklare afstandene i planetsystemet ved hjælp af de fem regulære polyedre og deres ind- og omskrevne kugleflader.
Polyedre, der er bygget op af flere slags ligedannede regulære polygoner, og hvis hjørner ligger på en omskreven kugleflade, kaldes semiregulære polyedre eller Archimediske legemer. Der er 13 forskellige sådanne polyedre, ti med to slags sideflader og tre med tre slags, som (ifølge Pappos) alle var kendt af Archimedes. Fem fremkommer ved at skære hjørnerne af de regulære polyedre. Ved afskæring af hjørnerne på et ikosaeder fremkommer et semiregulært polyeder med 12 regulære femkanter og 20 regulære sekskanter som sideflader. Polyederet har 60 hjørner og er kendt fra overfladen af en fodbold og fra kulstofmolekylet buckminsterfulleren.