cirkel
En cirkel er en plan lukket kurve bestående af alle de punkter i en given plan, som har den samme afstand fra et givet punkt i planen, kaldet cirklens centrum.
En cirkel afgrænser en cirkelskive, for hvilken den omtales som periferien. Et linjestykke, der forbinder centrum i en cirkel med et punkt på cirklen, kaldes en radius i cirklen; radius er også navnet for den fælles længde af alle radierne. Et stykke af en cirkel begrænset af to radier kaldes et cirkeludsnit eller en cirkelsektor.
Cirklen er den eneste plane geometriske form, som udviser fuld rotationssymmetri omkring et punkt. Det er også dén figur, der omslutter det største areal i forhold til periferiens længde.
I analytisk geometri er en cirkel med centrum i \((x_0,y_0)\) og radius r, som følge af Pythagoras' sætning, beskrevet ved ligningen \[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2.\] En parameterfremstilling af cirklen er givet ved \[ (x,y)=(x_0+r\cos v, y_0 + r\sin v), \] hvor \(v\) er en vinkel i intervallet \(0\le v < 2\pi\), eventuelt tillagt et helt multiplum af \(2\pi\) (lig 360°), og \(\cos\) og \(\sin\) er de trigonometriske funktioner cosinus og sinus.
En ret linje, som går igennem to punkter af en cirkel, kaldes en sekant for cirklen; det linjestykke, som ligger inden i cirklen, kaldes en korde. Et stykke af en cirkel afskåret langs en korde kaldes et cirkelafsnit eller et cirkelsegment. En korde gennem cirklens centrum kaldes en diameter i cirklen; diameter er også navnet for den fælles længde af alle diametrene.
Vinklen mellem to radier i en cirkel kaldes en centervinkel. En vinkel med to korder i en cirkel som ben og med toppunkt på cirklen kaldes en periferivinkel; den har den halve størrelse af den centervinkel, der spænder over det samme buestykke af cirklen. Vinkler måles i grader eller radian; det sidste tal fastlægges som buestykkets forhold til radius.
Forholdet mellem omkredsen af en cirkel og længden af en diameter i cirklen er ens for alle cirkler, der betragtes, og er netop det berømte tal \(\pi\) (pi). Omkredsen af en cirkel med radius r er derfor netop \(2\pi r\). Arealet er givet ved \(\pi r^2\).
Blandt de lukkede plane kurver (uden selvgennemskæringer) af en fast given længde er cirklen den kurve, der omslutter det maksimale areal. Dette resultat kendes under navnet det isoperimetriske problem. Problemet går tilbage til den græske oldtid, men blev først afklaret i 1800-tallet, ligesom det berømte problem om cirklens kvadratur.
I oldtiden betragtede de græske naturfilosoffer cirklen som den mest perfekte af alle lukkede kurver. Derfor gik de ud fra som givet, at himmellegemernes bevægelser kunne reduceres til cirkelbevægelser. Dette synspunkt forblev et dogme, indtil Johannes Kepler i begyndelsen af 1600-tallet erstattede cirklen med ellipsen.