
\begin{proof}~ \\
L'équation fonctionnelle vient de celle entre $\mathcal{Z}$ et $\gamma$. 

    $\frac{\mathcal{Z}(f(x))}{L(\chi)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(s)>0$. 
    
    $\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^\vee\right)}{L\left(\chi^\vee\right)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(1-s)>0$ ie $\operatorname{Re}(s)<1$. 
    
    $\varepsilon$ est holomorphe.
    \end{proof}
    Pour aller plus loin :
    $$
    f=f_1+f(0) \1_{\OO} \quad \text { avec } f_1 \in C_c^{\infty}\left(F^*\right).
    $$

    
    $\mathcal{Z}\left(f_1, \chi\right)$ est un polynôme en $q^{ \pm s}$ et $\frac{1}{L(\chi)}=\left\{\begin{array}{lc}1 &\text { si } \chi \text { est ramifié } \\ 1-q^{-s}
     &\text {sinon}
    \end{array}\right.$.

    et $\mathcal{Z}\left(\1_{\OO}, \chi\right)=\left\{\begin{array}{lc} 0 &\text { si } \chi \text { est ramifié } \\ \frac{\operatorname{Vol}(\OO^\times,dx^\times)}{1-q^{-s}}
     = \operatorname{Vol}(\OO^\times,dx^\times) L(\chi) &\text {sinon}
    \end{array}
    \right.$.
    

\begin{proof}~ \\
L'équation fonctionnelle vient de celle entre $\mathcal{Z}$ et $\gamma$. 

    $\frac{\mathcal{Z}(f(x))}{L(\chi)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(s)>0$. 
    
    $\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^\vee\right)}{L\left(\chi^\vee\right)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(1-s)>0$ ie $\operatorname{Re}(s)<1$. 
    
    $\varepsilon$ est holomorphe.
    \end{proof}
    Pour aller plus loin :
    $$
    f=f_1+f(0) \1_{\OO} \quad \text { avec } f_1 \in C_c^{\infty}\left(F^*\right).
    $$

    
    $\mathcal{Z}\left(f_1, \chi\right)$ est un polynôme en $q^{ \pm s}$ et $\frac{1}{L(\chi)}=\left\{\begin{array}{lc}1 &\text { si } \chi \text { est ramifié } \\ 1-q^{-s}
     &\text {sinon}
    \end{array}\right.$.

    et $\mathcal{Z}\left(\1_{\OO}, \chi\right)=\left\{\begin{array}{lc} 0 &\text { si } \chi \text { est ramifié } \\ \frac{\operatorname{Vol}(\OO^\times,dx^\times)}{1-q^{-s}}
     = \operatorname{Vol}(\OO^\times,dx^\times) L(\chi) &\text {sinon}
    \end{array}
    \right.$.
    