
\begin{proof}(\cref{lem2})~

Par définition du conducteur, on a : $\left.\psi\right|_{\varpi^m \OO} \equiv 1, \left.\psi\right|_{\varpi^{m-1} \OO} \not \equiv 1 \text {. }$ \\
Donc, si $n \geqslant m$, on a $\varpi^n \OO \subseteq \varpi^m \OO$ et l'intégrale vaut $\operatorname{Vol}(\varpi^m \OO, dx)$. \\

Supposons que $n < m$, alors $\exists a \in \varpi^{n} \OO$ tel que $\psi(a) \neq 1$. Alors,
$$
\int_{\varpi^n \OO} \psi(x) \,dx = \int_F \1_{\varpi^n \OO}(x) \psi(x) \,dx
$$
$$
\stackrel{dx \text{ de Haar}}{=} \int_F \1_{\varpi^n \OO}(x+a) \psi(x+a) \,dx
$$
$$
\stackrel{\text{car }a \in \varpi^n \OO}{=} \psi(a) \int_F \1_{\varpi^n \OO}(x) \psi(x) \,dx
$$
$$
 = \psi(a) \int_{\varpi^n \OO} \psi(x) \,dx
$$
Ainsi, $\overbrace{(1-\psi(a))}^{\neq 0} \int_{\varpi^n \OO} \psi(x) \,dx = 0$ et donc  $\int_{\varpi^n \OO} \psi(x) \,dx = 0$.
\end{proof}


\begin{proof}(\cref{lem2})~

Par définition du conducteur, on a : $\left.\psi\right|_{\varpi^m \OO} \equiv 1, \left.\psi\right|_{\varpi^{m-1} \OO} \not \equiv 1 \text {. }$ \\
Donc, si $n \geqslant m$, on a $\varpi^n \OO \subseteq \varpi^m \OO$ et l'intégrale vaut $\operatorname{Vol}(\varpi^m \OO, dx)$. \\

Supposons que $n < m$, alors $\exists a \in \varpi^{n} \OO$ tel que $\psi(a) \neq 1$. Alors,
$$
\int_{\varpi^n \OO} \psi(x) \,dx = \int_F \1_{\varpi^n \OO}(x) \psi(x) \,dx
$$
$$
\stackrel{dx \text{ de Haar}}{=} \int_F \1_{\varpi^n \OO}(x+a) \psi(x+a) \,dx
$$
$$
\stackrel{\text{car }a \in \varpi^n \OO}{=} \psi(a) \int_F \1_{\varpi^n \OO}(x) \psi(x) \,dx
$$
$$
 = \psi(a) \int_{\varpi^n \OO} \psi(x) \,dx
$$
Ainsi, $\overbrace{(1-\psi(a))}^{\neq 0} \int_{\varpi^n \OO} \psi(x) \,dx = 0$ et donc  $\int_{\varpi^n \OO} \psi(x) \,dx = 0$.
\end{proof}
