
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] Soit $U \ni 1$ un ouvert de $\C^*$.\\
$\eta^{-1}(U)$ est un ouvert contenant $1$. Il existe donc $n \geq 1$ tel que $1+\varpi^n \OO \subseteq \eta^{-1}(U)$. \\
Si $U$ est assez petit, on sait que le seul sous-groupe de $C^*$ inclus dans $U$ est $\{1\}$. \\
Pour un tel $U$, $\eta\left(1+\varpi^n \OO\right)$ est donc trivial, d'où $1+\varpi^n \OO \subseteq \operatorname{ker} \eta$.
   \item[(ii)] Ainsi, $\eta$ se factorise par le quotient fini $\OO^{\times} / (1+\varpi^n \OO)$, d'où Im $\eta$ est finie.
\end{enumerate}
\end{proof}



\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] Soit $U \ni 1$ un ouvert de $\C^*$.\\
$\eta^{-1}(U)$ est un ouvert contenant $1$. Il existe donc $n \geq 1$ tel que $1+\varpi^n \OO \subseteq \eta^{-1}(U)$. \\
Si $U$ est assez petit, on sait que le seul sous-groupe de $C^*$ inclus dans $U$ est $\{1\}$. \\
Pour un tel $U$, $\eta\left(1+\varpi^n \OO\right)$ est donc trivial, d'où $1+\varpi^n \OO \subseteq \operatorname{ker} \eta$.
   \item[(ii)] Ainsi, $\eta$ se factorise par le quotient fini $\OO^{\times} / (1+\varpi^n \OO)$, d'où Im $\eta$ est finie.
\end{enumerate}
\end{proof}

