
\underline{Continuité de $\theta^{-1}$} : \\
Là encore, il suffit de montrer que $\theta(B(0, \varepsilon))$ est un voisinage de $\1$ dans $\hat{F}$. \\
On souhaite donc trouver $K \subseteq F$ compact et $m \geq 1$ tels que $W(K, N(1 / m)) \subseteq \theta(B(0, \varepsilon))$.

Soit $x \in F$ tel que $\psi_0(x) \neq 1$. Il existe $m \geq 1$ tel que $\psi_0(x) \notin N(1 / m)$. Posons $M:=\varepsilon^{-1}|x|$ et $K:=\overline{B(0,M)}$. \\
 
$\begin{array}{lll}
\text{Alors, }\theta^{-1}(W(K, N(1 / m))) &= \lbrace y \in F \mid \psi_0 (yK) \subseteq N (1/m) \rbrace &\subseteq \lbrace y \in F \mid x \notin yK \rbrace \\
& &= \lbrace y \in F \mid |x| > |y| M \rbrace \\ & &\subseteq B(O, \underbrace{|x|M^{-1}}_{= \varepsilon}).
\end{array}$
\end{proof}

Fixons un caractère non trivial de $F$, en l'occurrence $\psi:=\psi_p \circ \operatorname{Tr}_{F / Q_p}$. \\
On note alors $dx$ la mesure de Haar sur $F$ telle que $\operatorname{Vol}(\OO, dx) = | \OO / \mathcal{D} |^{-1/2}$ où $\mathcal{D}^{-1}=\{x \in F \mid \operatorname{Tr}_{F / Q_p}(x y) \in \mathbb{Z}_{p} , \forall y \in \OO\}$.

On s'intéresse à l'espace de fonctions (analogue à la classe de Schwartz sur $\mathbb{R}$):
$$C_c^{\infty}(F):=\{f: F \rightarrow \mathbb{C} \text{ localement constante et à support compact} \}$$.


\underline{Continuité de $\theta^{-1}$} : \\
Là encore, il suffit de montrer que $\theta(B(0, \varepsilon))$ est un voisinage de $\1$ dans $\hat{F}$. \\
On souhaite donc trouver $K \subseteq F$ compact et $m \geq 1$ tels que $W(K, N(1 / m)) \subseteq \theta(B(0, \varepsilon))$.

Soit $x \in F$ tel que $\psi_0(x) \neq 1$. Il existe $m \geq 1$ tel que $\psi_0(x) \notin N(1 / m)$. Posons $M:=\varepsilon^{-1}|x|$ et $K:=\overline{B(0,M)}$. \\
 
$\begin{array}{lll}
\text{Alors, }\theta^{-1}(W(K, N(1 / m))) &= \lbrace y \in F \mid \psi_0 (yK) \subseteq N (1/m) \rbrace &\subseteq \lbrace y \in F \mid x \notin yK \rbrace \\
& &= \lbrace y \in F \mid |x| > |y| M \rbrace \\ & &\subseteq B(O, \underbrace{|x|M^{-1}}_{= \varepsilon}).
\end{array}$
\end{proof}

Fixons un caractère non trivial de $F$, en l'occurrence $\psi:=\psi_p \circ \operatorname{Tr}_{F / Q_p}$. \\
On note alors $dx$ la mesure de Haar sur $F$ telle que $\operatorname{Vol}(\OO, dx) = | \OO / \mathcal{D} |^{-1/2}$ où $\mathcal{D}^{-1}=\{x \in F \mid \operatorname{Tr}_{F / Q_p}(x y) \in \mathbb{Z}_{p} , \forall y \in \OO\}$.

On s'intéresse à l'espace de fonctions (analogue à la classe de Schwartz sur $\mathbb{R}$):
$$C_c^{\infty}(F):=\{f: F \rightarrow \mathbb{C} \text{ localement constante et à support compact} \}$$.
