
\begin{proof}~
    $\int_F f(x)\left(\int_F g(y) \psi(x y) d y\right) d x=\int_{F \times F} f(x) g(y) \psi(x y)(d x d y)$
    par Fubini, autorisé car $\int_F|f(x)|_{\infty} \int|g(y)|_{\infty} d y d x<+\infty$.\\
    L'expression est symétrique en $f$ et $g$, d'où le résultat.
\end{proof}



\begin{proof}~
    $\int_F f(x)\left(\int_F g(y) \psi(x y) d y\right) d x=\int_{F \times F} f(x) g(y) \psi(x y)(d x d y)$
    par Fubini, autorisé car $\int_F|f(x)|_{\infty} \int|g(y)|_{\infty} d y d x<+\infty$.\\
    L'expression est symétrique en $f$ et $g$, d'où le résultat.
\end{proof}

