
\begin{proof}~

\underline{Séparation} : Soient $\chi, \phi \in \widehat{G}$ avec $\chi \neq \phi$. Il existe $g \in G$ tel que $\chi(g) \neq \phi(g)$. $\exists U \ni \chi(g) \; , \; V \ni \phi(g)$ ouverts tq $U \cap V = \varnothing$. Alors, $W(\{g\}, U) \ni \chi$ et $W(\{g\}, V) \ni \phi$ sont deux ouverts de $\hat{G}$ disjoints.

\underline{Inversion continue} :
$$
\mathcal{I}: \left\{\begin{array}{l}
\hat{G} \rightarrow \hat{G} \\
\chi \mapsto \chi^{-1} = \bar{\chi}
\end{array} \quad \mathcal{I}^{-1}(W(K, U)) = W(K, \bar{U}) \text{ , c'est un ouvert.}$

\underline{Produit continu} : 
$$
\mu: \left\{\begin{array}{l}
\hat{G} \times \hat{G} \rightarrow \hat{G} \\
(\psi, \phi) \mapsto \psi \phi
\end{array} \quad \text{Par le lemme précédent il suffit de montrer que } \mu^{-1} \left(B_K(\chi, \varepsilon)\right) \text{est ouvert.}$

Soit $(\psi, \phi) \in \mu^{-1}\left(B_K(\chi, \varepsilon)\right)$. \\ 
On a $\psi \phi \in B_K(\chi, \varepsilon)$ d'où $m = \max\limits_{k \in K}|(\psi \phi)(k) - \chi(k)| < \varepsilon$. \\
Pour $\eta = \frac{\varepsilon - m}{4}$, on a que
$\forall \tilde{\psi} \in B_K(\Psi, \eta) \; , \; \forall \tilde{\phi} \in B_K(\phi, \eta) \; , \; \forall k \in K$ :
$$|(\widetilde{\psi} \widetilde{\phi})(k) - \chi(k)| \leqslant |(\widetilde{\psi}(k) - \psi(k)) \widetilde{\phi}(k)| + |\psi(k)(\Phi(k) - \phi(k))| + |(\psi \phi)(k) - \chi(k)| < \eta + \eta + m \leqslant \frac{\varepsilon - m}{2} + m < \varepsilon. $$

Ce qui montre la continuité de $\mu$.
\end{proof}


\begin{proof}~

\underline{Séparation} : Soient $\chi, \phi \in \widehat{G}$ avec $\chi \neq \phi$. Il existe $g \in G$ tel que $\chi(g) \neq \phi(g)$. $\exists U \ni \chi(g) \; , \; V \ni \phi(g)$ ouverts tq $U \cap V = \varnothing$. Alors, $W(\{g\}, U) \ni \chi$ et $W(\{g\}, V) \ni \phi$ sont deux ouverts de $\hat{G}$ disjoints.

\underline{Inversion continue} :
$$
\mathcal{I}: \left\{\begin{array}{l}
\hat{G} \rightarrow \hat{G} \\
\chi \mapsto \chi^{-1} = \bar{\chi}
\end{array} \quad \mathcal{I}^{-1}(W(K, U)) = W(K, \bar{U}) \text{ , c'est un ouvert.}$

\underline{Produit continu} : 
$$
\mu: \left\{\begin{array}{l}
\hat{G} \times \hat{G} \rightarrow \hat{G} \\
(\psi, \phi) \mapsto \psi \phi
\end{array} \quad \text{Par le lemme précédent il suffit de montrer que } \mu^{-1} \left(B_K(\chi, \varepsilon)\right) \text{est ouvert.}$

Soit $(\psi, \phi) \in \mu^{-1}\left(B_K(\chi, \varepsilon)\right)$. \\ 
On a $\psi \phi \in B_K(\chi, \varepsilon)$ d'où $m = \max\limits_{k \in K}|(\psi \phi)(k) - \chi(k)| < \varepsilon$. \\
Pour $\eta = \frac{\varepsilon - m}{4}$, on a que
$\forall \tilde{\psi} \in B_K(\Psi, \eta) \; , \; \forall \tilde{\phi} \in B_K(\phi, \eta) \; , \; \forall k \in K$ :
$$|(\widetilde{\psi} \widetilde{\phi})(k) - \chi(k)| \leqslant |(\widetilde{\psi}(k) - \psi(k)) \widetilde{\phi}(k)| + |\psi(k)(\Phi(k) - \phi(k))| + |(\psi \phi)(k) - \chi(k)| < \eta + \eta + m \leqslant \frac{\varepsilon - m}{2} + m < \varepsilon. $$

Ce qui montre la continuité de $\mu$.
\end{proof}
