
\begin{proof}~
    
 Par le lemme précédent, un voisinage $V$ de $\chi$ contient un $\bigcap\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon_i\right)\right) \ni \chi$. \\
 On note $m_i := \sup\limits_{k \in K_i} |\chi(k_i) - \alpha_i| < \varepsilon_i$. Prenons $0 < \eta < \min\limits_{1 \leq i \leq n} \frac{\varepsilon_i - m_i}{2}$. \\
 Alors $B_K(\chi, \eta) \subseteq \bigcap\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon_i\right)\right) \subseteq V$ car pour $ \phi \in B_K(\chi, \eta)$, $\forall i , \forall k \in K_i \\ \quad |\phi(k) - \alpha_i| \leq |\phi(k) - \chi(k)| + |\chi(k) - \alpha_i| \leq \eta + m_i \leq \frac{\varepsilon_i + m_i}{2} < \varepsilon_i$. \\

Prouvons maintenant que $B_K(\chi, \varepsilon)$ est un voisinage de $\chi$. Par compacité de $K$, $\exists \alpha_1, \ldots, \alpha_n$ tels que $\chi(K) \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^n B\left(\alpha_i, \varepsilon / 2\right)$. Alors, $K = \bigcup\limits_{i=1}^n K \cap \chi^{-1}\left(B\left(\alpha_i, \varepsilon / 2\right)\right)$, donc par normalité de $K$, pour tout $i$, il existe $K_i$ compact avec $K_i \subseteq K \cap \chi^{-1}\left(B\left(\alpha_i, \varepsilon / 2\right)\right)$ tels que $K = \bigcup\limits_{i=1}^n K_i$.

Ainsi, $\chi \in \bigcap\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon / 2\right)\right)$. \\
Soit $\phi$ dans cet ouvert. Pour tout $k \in K_i$, $|\phi(k) - \chi(k)| \leqslant |\phi(k) - \alpha_i| + |\chi(k) - \alpha_i| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$. D'où $\bigcap\limits_{i=1}^{n} W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon / 2\right)\right) \subseteq B_K(\chi, \varepsilon)$.
\end{proof}


\begin{proof}~
    
 Par le lemme précédent, un voisinage $V$ de $\chi$ contient un $\bigcap\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon_i\right)\right) \ni \chi$. \\
 On note $m_i := \sup\limits_{k \in K_i} |\chi(k_i) - \alpha_i| < \varepsilon_i$. Prenons $0 < \eta < \min\limits_{1 \leq i \leq n} \frac{\varepsilon_i - m_i}{2}$. \\
 Alors $B_K(\chi, \eta) \subseteq \bigcap\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon_i\right)\right) \subseteq V$ car pour $ \phi \in B_K(\chi, \eta)$, $\forall i , \forall k \in K_i \\ \quad |\phi(k) - \alpha_i| \leq |\phi(k) - \chi(k)| + |\chi(k) - \alpha_i| \leq \eta + m_i \leq \frac{\varepsilon_i + m_i}{2} < \varepsilon_i$. \\

Prouvons maintenant que $B_K(\chi, \varepsilon)$ est un voisinage de $\chi$. Par compacité de $K$, $\exists \alpha_1, \ldots, \alpha_n$ tels que $\chi(K) \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^n B\left(\alpha_i, \varepsilon / 2\right)$. Alors, $K = \bigcup\limits_{i=1}^n K \cap \chi^{-1}\left(B\left(\alpha_i, \varepsilon / 2\right)\right)$, donc par normalité de $K$, pour tout $i$, il existe $K_i$ compact avec $K_i \subseteq K \cap \chi^{-1}\left(B\left(\alpha_i, \varepsilon / 2\right)\right)$ tels que $K = \bigcup\limits_{i=1}^n K_i$.

Ainsi, $\chi \in \bigcap\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon / 2\right)\right)$. \\
Soit $\phi$ dans cet ouvert. Pour tout $k \in K_i$, $|\phi(k) - \chi(k)| \leqslant |\phi(k) - \alpha_i| + |\chi(k) - \alpha_i| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$. D'où $\bigcap\limits_{i=1}^{n} W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon / 2\right)\right) \subseteq B_K(\chi, \varepsilon)$.
\end{proof}
