
\begin{proof}~
    
 $\exists y \in N\left(\frac{1}{r+1}\right)$ tel que $x^{r+1} = y^{r+1}$, donc $\exists \zeta \in \mathbb{U}_{r+1}$ tel que
$$
\begin{aligned}
& x = y \zeta, \quad y = \exp\left(\frac{2 i \pi t}{3}\right) \text{ avec } t \in \left] \frac{-1}{r+1}, \frac{1}{r+1}\right[ \\
& \zeta = \exp\left(\frac{2 i \pi}{r+1} b\right) \text{ avec } b \in \llbracket 0, r \rrbracket \\
& y \zeta = \exp\left[\frac{2 i \pi}{3}\left(t+\frac{3 b}{r+1}\right)\right] \text{ où } t+\frac{3 b}{r+1} \in \left] \frac{-1+3 b}{r+1}, \frac{1+3 b}{r+1}\right[ \\
& x = \exp\left(\frac{2 i \pi}{3} t'\right) \text{ avec } t' \in \left]-\frac{1}{r}, \frac{1}{r}\right[
\end{aligned}
$$
$x=y \zeta$ est possible si $\frac{1}{r}>\frac{-1+3 b}{r+1}$, c'est-à-dire $2 r+1>3 b r$, c'est-à-dire $b=0$.
Donc $\zeta = 1$ et $x=y \in N(\frac{1}{r+1})$
\end{proof}
\begin{proof}
(du \cref{lem})\\
Soit $v \in V$. Puisque $1_G \in V$, on a $v, v^2, \ldots, v^m \in V^{(m)}$.
$$ \left\{\begin{array}{l}
\chi(v) \in N(1) \\
\chi(v)^2 = \chi(v^2) \in N(1)
\end{array} \Rightarrow \chi (v) \in N (\frac{1}{2}) \; \text{puis} \; \left\{\begin{array}{l}
\chi(v) \in N(\frac{1}{2}) \\
\chi(v)^3 = \chi(v^3) \in N(1)
\end{array} \Rightarrow \chi (v) \in N (\frac{1}{3})
$$

Par récurrence immédiate jusqu'à $r=m-1$, on obtient $\chi (v) \in N (\frac{1}{m})$
\end{proof}



\begin{proof}~
    
 $\exists y \in N\left(\frac{1}{r+1}\right)$ tel que $x^{r+1} = y^{r+1}$, donc $\exists \zeta \in \mathbb{U}_{r+1}$ tel que
$$
\begin{aligned}
& x = y \zeta, \quad y = \exp\left(\frac{2 i \pi t}{3}\right) \text{ avec } t \in \left] \frac{-1}{r+1}, \frac{1}{r+1}\right[ \\
& \zeta = \exp\left(\frac{2 i \pi}{r+1} b\right) \text{ avec } b \in \llbracket 0, r \rrbracket \\
& y \zeta = \exp\left[\frac{2 i \pi}{3}\left(t+\frac{3 b}{r+1}\right)\right] \text{ où } t+\frac{3 b}{r+1} \in \left] \frac{-1+3 b}{r+1}, \frac{1+3 b}{r+1}\right[ \\
& x = \exp\left(\frac{2 i \pi}{3} t'\right) \text{ avec } t' \in \left]-\frac{1}{r}, \frac{1}{r}\right[
\end{aligned}
$$
$x=y \zeta$ est possible si $\frac{1}{r}>\frac{-1+3 b}{r+1}$, c'est-à-dire $2 r+1>3 b r$, c'est-à-dire $b=0$.
Donc $\zeta = 1$ et $x=y \in N(\frac{1}{r+1})$
\end{proof}
\begin{proof}
(du \cref{lem})\\
Soit $v \in V$. Puisque $1_G \in V$, on a $v, v^2, \ldots, v^m \in V^{(m)}$.
$$ \left\{\begin{array}{l}
\chi(v) \in N(1) \\
\chi(v)^2 = \chi(v^2) \in N(1)
\end{array} \Rightarrow \chi (v) \in N (\frac{1}{2}) \; \text{puis} \; \left\{\begin{array}{l}
\chi(v) \in N(\frac{1}{2}) \\
\chi(v)^3 = \chi(v^3) \in N(1)
\end{array} \Rightarrow \chi (v) \in N (\frac{1}{3})
$$

Par récurrence immédiate jusqu'à $r=m-1$, on obtient $\chi (v) \in N (\frac{1}{m})$
\end{proof}

