
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)]  En considérant $B(1, \varepsilon)$ dans $\mathbb{C}^*$, on observe que $\psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$ est un ouvert de $F$ qui contient $0$. \\
  Il existe donc $n \in \mathbb{Z}$ tel que $\varpi^n \OO \subseteq \psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$, d'où $\psi(\varpi^n \OO) \subseteq B(1, \varepsilon)$.\\
  Or $\varpi^n \OO$ est un idéal, donc $\psi(\varpi^n \OO)$ est un sous-groupe de  $\C^*$, et il est compact). \\ 
  Ainsi $\psi(\varpi^n \OO) \subseteq \underbrace{\U \cap B(1, \varepsilon) \subseteq N(1)}_{\text{pour }\varepsilon \text{ petit}}$ d'où $\psi(\varpi^n \OO) = \{ 1 \}$ (\cref{lem}).
  
  Ainsi 
  $\varpi^n \OO \subseteq \operatorname{Ker} \psi$ et alors $\operatorname{Ker} \psi = \bigcup\limits_{x \in \operatorname{Ker} \psi} x+\varpi^n \OO$ est ouvert.

  \item[(ii)] Soit $n \in \mathbb{Z}$ tel que $\varpi^n \OO \subseteq \operatorname{Ker} \psi$. On a $F = \bigcup\limits_{N \in \mathbb{Z}} \varpi^N \OO$ (union décroissante). \\
  Pour tout $x \in F$, il existe $N \leqslant n$ tel que $x \in \varpi^N \OO$ et $\varpi^n \OO \subseteq \varpi^N \OO$. \\
  La restriction de $\psi$ à $ \varpi^N \OO$ se factorise par le groupe fini $\varpi^N \OO / \varpi^n \OO$. Donc $\psi(\varpi^N \OO)$ est un sous-groupe fini de $\C^*$, donc inclus dans $\U_{\infty}$.
\end{enumerate}
\end{proof}


\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)]  En considérant $B(1, \varepsilon)$ dans $\mathbb{C}^*$, on observe que $\psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$ est un ouvert de $F$ qui contient $0$. \\
  Il existe donc $n \in \mathbb{Z}$ tel que $\varpi^n \OO \subseteq \psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$, d'où $\psi(\varpi^n \OO) \subseteq B(1, \varepsilon)$.\\
  Or $\varpi^n \OO$ est un idéal, donc $\psi(\varpi^n \OO)$ est un sous-groupe de  $\C^*$, et il est compact). \\ 
  Ainsi $\psi(\varpi^n \OO) \subseteq \underbrace{\U \cap B(1, \varepsilon) \subseteq N(1)}_{\text{pour }\varepsilon \text{ petit}}$ d'où $\psi(\varpi^n \OO) = \{ 1 \}$ (\cref{lem}).
  
  Ainsi 
  $\varpi^n \OO \subseteq \operatorname{Ker} \psi$ et alors $\operatorname{Ker} \psi = \bigcup\limits_{x \in \operatorname{Ker} \psi} x+\varpi^n \OO$ est ouvert.

  \item[(ii)] Soit $n \in \mathbb{Z}$ tel que $\varpi^n \OO \subseteq \operatorname{Ker} \psi$. On a $F = \bigcup\limits_{N \in \mathbb{Z}} \varpi^N \OO$ (union décroissante). \\
  Pour tout $x \in F$, il existe $N \leqslant n$ tel que $x \in \varpi^N \OO$ et $\varpi^n \OO \subseteq \varpi^N \OO$. \\
  La restriction de $\psi$ à $ \varpi^N \OO$ se factorise par le groupe fini $\varpi^N \OO / \varpi^n \OO$. Donc $\psi(\varpi^N \OO)$ est un sous-groupe fini de $\C^*$, donc inclus dans $\U_{\infty}$.
\end{enumerate}
\end{proof}
