
\underline{Continuité de $\theta$} : \\
Il suffit de voir que $\theta^{-1}(W(K, N(1)))$ est un voisinage de $0$ dans $F$, pour les $K \subseteq F$ compact. \\
Or, $\theta^{-1}(W(K, N(1)))=\left\{a \in F \mid \psi_0(a K) \subseteq N(1)\right\}.
$ Comme $K$ est compact, on peut trouver $\varepsilon > 0$ tel que $B(0, \varepsilon) \cdot K \subseteq V$, où $V$ est un voisinage de $0$ dans $F$ tel que $\psi_0(V) \subseteq N(1)$ (existe par continuité de $\psi_0$). \\
On a alors $B(0, \varepsilon) \subseteq \theta^{-1}(W(K, N(1)))$. \\


\underline{Continuité de $\theta$} : \\
Il suffit de voir que $\theta^{-1}(W(K, N(1)))$ est un voisinage de $0$ dans $F$, pour les $K \subseteq F$ compact. \\
Or, $\theta^{-1}(W(K, N(1)))=\left\{a \in F \mid \psi_0(a K) \subseteq N(1)\right\}.
$ Comme $K$ est compact, on peut trouver $\varepsilon > 0$ tel que $B(0, \varepsilon) \cdot K \subseteq V$, où $V$ est un voisinage de $0$ dans $F$ tel que $\psi_0(V) \subseteq N(1)$ (existe par continuité de $\psi_0$). \\
On a alors $B(0, \varepsilon) \subseteq \theta^{-1}(W(K, N(1)))$. \\
