
\begin{proof}~
Soit $\left(e_i\right)_{1 \leq i \leq n}$ une $\Q_p$-base de $F$, on note $\left(e_i^*\right)$ la base duale, de sorte que : \\ $\forall x \in F$, $x=\sum\limits_{i=1}^n e_i^*(x) e_i$. \\

Soit $\psi$ un caractère additif de $F$. \\
Pour chaque $i$, $\left\{
  \begin{array}{l}
    \mathbb{Q}_{p} \longrightarrow \mathbb{C}^* \\
    y \mapsto \psi(y e_i)
  \end{array}
\right.$
est un caractère de $\mathbb{Q}_{p}$, signifiant qu'il existe un unique $a_i \in \Q_{p}$ tel que :\\

$\forall y \in \mathbb{Q}_{p}$, $\psi(y e_i)=\psi_{p}(a_i y)$.\\
Alors $\psi(x)=\prod\limits_{i=1}^n \psi(e_i^*(x) e_i)=\prod\limits_{i=1}^n \psi_{p}(a_i e_i^*(x))=\psi_p(l(x))$,
où $l=\sum\limits_{i=1}^n a_i e_i^*$ est une forme $\Q_{p}$-linéaire de $F$.\\
\ \\
Il nous reste à montrer qu'il existe un unique $a \in F$ tel que $\forall x \in F$, $l(x)=\operatorname{Tr}_{F/Q_p}(a x)$.\\

\underline{Unicité} : Si $\forall x \in F$, $\operatorname{Tr}_{F/Q_p}(a x)=\operatorname{Tr}_{F/\Q_p}(bx)$, ie $\operatorname{Tr}_{F/\Q_p}((a-b)x)=0$, donc $a-b=0$. \\

\underline{Existence} : $\left\{
  \begin{array}{l}
    F \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\Q_{p}}(F, \Q_{p}) \\
    a \longmapsto \operatorname{Tr}_{F/\Q_{p}}(a \, .)
  \end{array}
\right.$
est linéaire, et injective d'après l'argument d'unicité ci-dessus. Par un argument de dimension, c'est un isomorphisme (en particulier surjectif).
\end{proof}


\begin{proof}~
Soit $\left(e_i\right)_{1 \leq i \leq n}$ une $\Q_p$-base de $F$, on note $\left(e_i^*\right)$ la base duale, de sorte que : \\ $\forall x \in F$, $x=\sum\limits_{i=1}^n e_i^*(x) e_i$. \\

Soit $\psi$ un caractère additif de $F$. \\
Pour chaque $i$, $\left\{
  \begin{array}{l}
    \mathbb{Q}_{p} \longrightarrow \mathbb{C}^* \\
    y \mapsto \psi(y e_i)
  \end{array}
\right.$
est un caractère de $\mathbb{Q}_{p}$, signifiant qu'il existe un unique $a_i \in \Q_{p}$ tel que :\\

$\forall y \in \mathbb{Q}_{p}$, $\psi(y e_i)=\psi_{p}(a_i y)$.\\
Alors $\psi(x)=\prod\limits_{i=1}^n \psi(e_i^*(x) e_i)=\prod\limits_{i=1}^n \psi_{p}(a_i e_i^*(x))=\psi_p(l(x))$,
où $l=\sum\limits_{i=1}^n a_i e_i^*$ est une forme $\Q_{p}$-linéaire de $F$.\\
\ \\
Il nous reste à montrer qu'il existe un unique $a \in F$ tel que $\forall x \in F$, $l(x)=\operatorname{Tr}_{F/Q_p}(a x)$.\\

\underline{Unicité} : Si $\forall x \in F$, $\operatorname{Tr}_{F/Q_p}(a x)=\operatorname{Tr}_{F/\Q_p}(bx)$, ie $\operatorname{Tr}_{F/\Q_p}((a-b)x)=0$, donc $a-b=0$. \\

\underline{Existence} : $\left\{
  \begin{array}{l}
    F \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\Q_{p}}(F, \Q_{p}) \\
    a \longmapsto \operatorname{Tr}_{F/\Q_{p}}(a \, .)
  \end{array}
\right.$
est linéaire, et injective d'après l'argument d'unicité ci-dessus. Par un argument de dimension, c'est un isomorphisme (en particulier surjectif).
\end{proof}
