
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[Opt 1 :]
$x \mapsto e^{2 i \pi x}$ est un morphisme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{U}$ trivial sur $\mathbb{Z}$. Par restriction et quotient, cela donne un morphisme
$$
\left\{
\begin{aligned}
\mathbb{Z}[1 / p] / \mathbb{Z} & \longrightarrow \mathbb{U} \\
x & \longmapsto e^{2 i \pi x}
\end{aligned}
 \quad \text{ de noyau trivial}\right.
$$
On en déduit un morphisme $\mathbb{Q}_{p} \rightarrow \mathbb{Q}_{p}/\Z_p \rightarrow \mathbb{U}$ de noyau $\mathbb{Z}_{p}$. \\
On note $\psi_{p} : \mathbb{Q}_{p} \rightarrow \mathbb{U}$, il est continu, non trivial et a pour conducteur $\mathbb{Z}_{p}$.

\item[Opt 2 :]
Le morphisme est donné par le développement de Hensel.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{lemme}
   Tout caractère additif $\psi: \mathbb{Q}_{p} \rightarrow \mathbb{C}^*$ est de la forme $x \mapsto \psi_{p}(a x)$ pour un unique $a \in \mathbb{Q}_{p}$. De plus, $\psi$ est non trivial si et seulement si $a \neq 0$, et dans ce cas, le conducteur de $\psi$ est $a^{-1} \mathbb{Z}_{p}$.
\end{lemme}


\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[Opt 1 :]
$x \mapsto e^{2 i \pi x}$ est un morphisme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{U}$ trivial sur $\mathbb{Z}$. Par restriction et quotient, cela donne un morphisme
$$
\left\{
\begin{aligned}
\mathbb{Z}[1 / p] / \mathbb{Z} & \longrightarrow \mathbb{U} \\
x & \longmapsto e^{2 i \pi x}
\end{aligned}
 \quad \text{ de noyau trivial}\right.
$$
On en déduit un morphisme $\mathbb{Q}_{p} \rightarrow \mathbb{Q}_{p}/\Z_p \rightarrow \mathbb{U}$ de noyau $\mathbb{Z}_{p}$. \\
On note $\psi_{p} : \mathbb{Q}_{p} \rightarrow \mathbb{U}$, il est continu, non trivial et a pour conducteur $\mathbb{Z}_{p}$.

\item[Opt 2 :]
Le morphisme est donné par le développement de Hensel.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{lemme}
   Tout caractère additif $\psi: \mathbb{Q}_{p} \rightarrow \mathbb{C}^*$ est de la forme $x \mapsto \psi_{p}(a x)$ pour un unique $a \in \mathbb{Q}_{p}$. De plus, $\psi$ est non trivial si et seulement si $a \neq 0$, et dans ce cas, le conducteur de $\psi$ est $a^{-1} \mathbb{Z}_{p}$.
\end{lemme}
