
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
    \item[1)] $|\chi(\varpi)|=1 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(s)=0$, (car $\chi(\varpi)=|\varpi|^s=e^{-s \log q}$).
    \item[2)] $\OO^{\times}$ est compact donc $\widehat{\OO^{\times}}$ est discret.\\
    De $F^*=\OO^{\times} \times \mathbb{Z}$, on tire $\widehat{F^*}=\widehat{\OO^{\times}} \times \underbrace{i \mathbb{R} / 2 i \pi \log q}_{\text{Compact, à voir comme $\hat{\mathbb{Z}}=\mathbb{U}$}}$.
\end{enumerate}

Ainsi, l'ensemble des caractères de $F^*$ (avec aussi ceux qui ne sont pas unitaires (ramifiés ?) ) est une réunion disjointe indexée par $\OO^{\times}$ de $\mathbb{C} / 2 i \pi \log q$. \\

On a une action de $\mathbb{C}$ sur les caractères donnée par:
$$
s \in \mathbb{C}: \chi \mapsto \chi | \cdot |^s
$$
\end{rmk}



\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
    \item[1)] $|\chi(\varpi)|=1 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(s)=0$, (car $\chi(\varpi)=|\varpi|^s=e^{-s \log q}$).
    \item[2)] $\OO^{\times}$ est compact donc $\widehat{\OO^{\times}}$ est discret.\\
    De $F^*=\OO^{\times} \times \mathbb{Z}$, on tire $\widehat{F^*}=\widehat{\OO^{\times}} \times \underbrace{i \mathbb{R} / 2 i \pi \log q}_{\text{Compact, à voir comme $\hat{\mathbb{Z}}=\mathbb{U}$}}$.
\end{enumerate}

Ainsi, l'ensemble des caractères de $F^*$ (avec aussi ceux qui ne sont pas unitaires (ramifiés ?) ) est une réunion disjointe indexée par $\OO^{\times}$ de $\mathbb{C} / 2 i \pi \log q$. \\

On a une action de $\mathbb{C}$ sur les caractères donnée par:
$$
s \in \mathbb{C}: \chi \mapsto \chi | \cdot |^s
$$
\end{rmk}

