
\subsection{Calculs auxiliaires}

On cherche à obtenir des formules pour $\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^{\vee}\right)}{\mathcal{Z}(g, \chi)}$.\\
Dans ce passage, $\psi$ est un caractère additif non trivial de $F$ avec $n_\psi:=\min \left\{n \in \mathbb{Z}\,\mid \, \psi|_{\varpi^n \OO} \equiv 1\right\}$. \\
$\chi$ quant à lui, est un caractère multiplicatif unitaire. \\

On note $U_0=\OO^{\times}$, $U_n=1+\varpi^n \OO$ pour $n \geqslant 1$ avec $n_\chi:=\min \left\{n \in \mathbb{N} \;|\; \chi|_{U_n} \equiv 1\right\}$.\\

On note enfin $G(\chi, \psi)=\int_{\OO^{\times}} \chi(x) \psi(x) \, dx^{\times}$.


\subsection{Calculs auxiliaires}

On cherche à obtenir des formules pour $\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^{\vee}\right)}{\mathcal{Z}(g, \chi)}$.\\
Dans ce passage, $\psi$ est un caractère additif non trivial de $F$ avec $n_\psi:=\min \left\{n \in \mathbb{Z}\,\mid \, \psi|_{\varpi^n \OO} \equiv 1\right\}$. \\
$\chi$ quant à lui, est un caractère multiplicatif unitaire. \\

On note $U_0=\OO^{\times}$, $U_n=1+\varpi^n \OO$ pour $n \geqslant 1$ avec $n_\chi:=\min \left\{n \in \mathbb{N} \;|\; \chi|_{U_n} \equiv 1\right\}$.\\

On note enfin $G(\chi, \psi)=\int_{\OO^{\times}} \chi(x) \psi(x) \, dx^{\times}$.
