
\begin{EX}
  \begin{enumerate}
    \item Les caractères multiplicatifs sont localement constants, mais pas à support compact (par exemple, $x \mapsto |x|$).
    \item Pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, $f|_{F^*}$ est localement constante.\\
    ~- Si $f(0) = 0$, alors $\exists U$ voisinage de $0$ avec $f(U) = 0$. \\
    Dans ce cas, $\operatorname{supp}(f) \subseteq F \setminus U \subseteq F^*$, d'où $\operatorname{supp}(f|_{F^*}) = \operatorname{supp}(f)$ est compact.\\
    ~- Réciproquement, si $\operatorname{supp}(f|_{F^*})$ est compact, $x \mapsto |x|$ est bornée et atteint ses bornes sur le compact $\operatorname{supp}(f) \cap F^* = \operatorname{supp}(f|_{F^*})$ :
  $$\exists m, M > 0 \quad \forall x \in \operatorname{supp}(f|_{F^*}) \quad m \leq |x| \leq M.$$
  Ainsi, $f|_{B(0, m) \setminus \{0\}} = 0$, et $f(0) = 0$ donc $f$ est localement constante. \\
  
  Ainsi, pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, on a :
  $$f_{C^*} \in C_{F^*}^{\infty}(F^*) \Leftrightarrow f(0) = 0.$$
  Par exemple, $\1_{\mathbb{Z}_{p}} \in C_c^{\infty}(\mathbb{Q}_{p})$ mais n'appartient pas à $C_c^{\infty}(\Q_{p}^*)$.
\end{enumerate}
\end{EX}


\begin{EX}
  \begin{enumerate}
    \item Les caractères multiplicatifs sont localement constants, mais pas à support compact (par exemple, $x \mapsto |x|$).
    \item Pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, $f|_{F^*}$ est localement constante.\\
    ~- Si $f(0) = 0$, alors $\exists U$ voisinage de $0$ avec $f(U) = 0$. \\
    Dans ce cas, $\operatorname{supp}(f) \subseteq F \setminus U \subseteq F^*$, d'où $\operatorname{supp}(f|_{F^*}) = \operatorname{supp}(f)$ est compact.\\
    ~- Réciproquement, si $\operatorname{supp}(f|_{F^*})$ est compact, $x \mapsto |x|$ est bornée et atteint ses bornes sur le compact $\operatorname{supp}(f) \cap F^* = \operatorname{supp}(f|_{F^*})$ :
  $$\exists m, M > 0 \quad \forall x \in \operatorname{supp}(f|_{F^*}) \quad m \leq |x| \leq M.$$
  Ainsi, $f|_{B(0, m) \setminus \{0\}} = 0$, et $f(0) = 0$ donc $f$ est localement constante. \\
  
  Ainsi, pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, on a :
  $$f_{C^*} \in C_{F^*}^{\infty}(F^*) \Leftrightarrow f(0) = 0.$$
  Par exemple, $\1_{\mathbb{Z}_{p}} \in C_c^{\infty}(\mathbb{Q}_{p})$ mais n'appartient pas à $C_c^{\infty}(\Q_{p}^*)$.
\end{enumerate}
\end{EX}
