
\begin{defi}
  Le bidual de $G$ est le dual $\widehat{\hat{G}}$ de $\hat{G}$.
\end{defi}

Pour chaque $g \in G$, on dispose d'un morphisme de groupes $ev_{g}: \widehat{G} \longrightarrow \mathbb{U}$ défini par $\chi \mapsto \chi(g)$. \\
Pour voir que $ev_{g}$ est continue, il suffit de montrer que $\mathrm{ev_{g}}^{-1}(N(1))$ est un voisinage de $\1$ (\cref{lem}). \\
Or $\mathrm{ev_{g}}^{-1}(N(1)) = \{\chi \in \widehat{G} \mid \chi(g) \in N(1)\} = \overbrace{W(\{g\}, N(1))}^{\text{ouvert de } \hat{G} \text{ contenant } \1} $.
Ainsi, pour tout $g \in G$, $ev_{g} \in \widehat{\hat{G}}$.


\begin{defi}
  Le bidual de $G$ est le dual $\widehat{\hat{G}}$ de $\hat{G}$.
\end{defi}

Pour chaque $g \in G$, on dispose d'un morphisme de groupes $ev_{g}: \widehat{G} \longrightarrow \mathbb{U}$ défini par $\chi \mapsto \chi(g)$. \\
Pour voir que $ev_{g}$ est continue, il suffit de montrer que $\mathrm{ev_{g}}^{-1}(N(1))$ est un voisinage de $\1$ (\cref{lem}). \\
Or $\mathrm{ev_{g}}^{-1}(N(1)) = \{\chi \in \widehat{G} \mid \chi(g) \in N(1)\} = \overbrace{W(\{g\}, N(1))}^{\text{ouvert de } \hat{G} \text{ contenant } \1} $.
Ainsi, pour tout $g \in G$, $ev_{g} \in \widehat{\hat{G}}$.
