
\begin{proof}~
Il suffit de prouver le corollaire pour $\psi_0 : x \mapsto \psi_p ( \operatorname{Tr}_{F/\Q_p}(x)$ car alors pour chaque $\psi \neq \1$, il existe $a \in \mathbb{Q}_{p}^*$ tel que $\psi=\left(\psi_0\right)_a$.

\begin{center}
    

\begin{tikzpicture}
\def\a{1.5} \def\b{2}
\path
(-\a,0) node (A) {$F$}      
(\a,0) node (B) {$\hat{F}$}
(0,-\b) node[align=center] (C) {$F$};
\begin{scope}[nodes={midway,scale=1}]
\draw[->] (A)--(B) node[above]{$b \mapsto \psi_b$};
\draw[->] (A)--(C.120) node[left]{$b \mapsto a b$};
\draw[->] (C.60)--(B) node[right]{$a \mapsto\left(\psi_0\right)_a $};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Où $(\psi_b = (\psi_0 )_{ab} )$. \\
On prend donc $\psi=\psi_0$ comme référence. $\theta$ est un isomorphisme bijectif, il faut vérifier sa bicontinuité. \\


\begin{proof}~
Il suffit de prouver le corollaire pour $\psi_0 : x \mapsto \psi_p ( \operatorname{Tr}_{F/\Q_p}(x)$ car alors pour chaque $\psi \neq \1$, il existe $a \in \mathbb{Q}_{p}^*$ tel que $\psi=\left(\psi_0\right)_a$.

\begin{center}
    

\begin{tikzpicture}
\def\a{1.5} \def\b{2}
\path
(-\a,0) node (A) {$F$}      
(\a,0) node (B) {$\hat{F}$}
(0,-\b) node[align=center] (C) {$F$};
\begin{scope}[nodes={midway,scale=1}]
\draw[->] (A)--(B) node[above]{$b \mapsto \psi_b$};
\draw[->] (A)--(C.120) node[left]{$b \mapsto a b$};
\draw[->] (C.60)--(B) node[right]{$a \mapsto\left(\psi_0\right)_a $};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Où $(\psi_b = (\psi_0 )_{ab} )$. \\
On prend donc $\psi=\psi_0$ comme référence. $\theta$ est un isomorphisme bijectif, il faut vérifier sa bicontinuité. \\
