 
\begin{proof}~

Si $n_\chi>0$, on a pour $\Re(s)<1$ : \\
$\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^\vee\right)=\int_{F^*} \hat{g}(x) \chi^\vee(x) dx^\times=| \OO / \mathcal{D} |^{-1/2} q^{n_\chi-n_\psi} \underbrace{\int_{-U_{n_\chi}} \chi^\vee(x) dx^\times}_{ = \chi^\vee (-1) \operatorname{Vol}(U_{n_\chi},dx^\times)} $. \\

\ \\
Or $\eta(-1)= \pm 1$ et $\chi^\vee(-1)=\bar{\eta(-1)}=\eta(-1) = \chi(-1)$, et: 

$\operatorname{Vol}\left(U_{n_\chi}, dx^\times\right)=\left((q-1) q^{n_\chi-1}\right)^{-1} \operatorname{Vol}\left(\OO^\times, dx^\times\right)$.\\
D'où $\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^\vee\right)=| \OO / \mathcal{D} |^{-1} q^{-n_\psi } \frac{\chi(-1)}{1-q^{-1}}$.\\

Si $n_\chi=0 :\begin{aligned}[t]
\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^\vee\right)&=\int_{F^*}| \OO / \mathcal{D} |^{-1/2} q^{-n_\psi}  \1_{\OO}(x) \chi^\vee(x) dx^\times \\
& =| \OO / \mathcal{D} |^{-1/2} q^{-n_\psi} \sum_{k=0}^{+\infty} q^{-k(1-s)} \operatorname{Vol}\left(\O\OO^\times, dx^\times\right)=| \OO / \mathcal{D} |^{-1} \frac{q^{-n_\psi}}{1-q^{s-1}} \\
&
\end{aligned}
\end{proof}

\subsection{Facteurs $L$, $\gamma $ et $\varepsilon$}
\begin{defi}
    $g$ étant fixée comme avant, on définit le facteur gamma par:
    $$
    \gamma(\chi, \psi)=\frac{\mathcal{Z}(\hat{g}, \chi^\vee)}{\mathcal{Z}(g, \chi)}
    $$
    \(\gamma\) est une fonction méromorphe de $s$.
\end{defi}
    
\begin{Théorème}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] $\gamma(\chi, \psi)$ est une fonction méromorphe de $s$, égale à: \\
    $\begin{aligned}[t]
        & \rightarrow | \OO / \mathcal{D} |^{-1} q^{-n_\psi} \frac{1-q^{-s}}{1-q^{s-1}} \quad &\text { si } n_\chi=0 \\
        & \rightarrow | \OO / \mathcal{D} |^{-1} \frac{q^{-n_\psi}}{1-q^{-1}} \eta(-1) q^{\left(n_\psi-n_\chi\right) s} G(\eta, \psi_{\varpi^{n_\psi-n_\chi}})^{-1} &\text { si } n_\chi > 0
        \end{aligned}$\\
        Pour $\psi = \psi_p \circ \operatorname{Tr}_{F/\Q_p}$ pour lequel $dx$ est autoduale, son conducteur est $\mathcal{D}^{-1} = \varpi^d \OO$ et cette formule vaut 1.
        \item[(ii)] On a l'équation fonctionnelle:
        $$
        \mathcal{Z}(\hat{f}, \chi^\vee)=\gamma(\chi, \psi) \mathcal{Z}(f, \chi) 
        $$
\end{enumerate}
\end{Théorème}
    
\begin{defi}
        On définit aussi le facteur \(L\) par: \(L(\chi):=\left\{\begin{array}{lc}1  &\text {si $\chi$ non ramifié, ie si } n_\chi > 0 \\ 
        \frac{1}{1-\chi(\varpi)}=\frac{1}{1-q^{-s}} &\text{sinon}\end{array}\right.\) 
        Et le facteur epsilon : \(\varepsilon(\chi, \psi)=\gamma(\chi, \psi) \frac{L(\chi)}{L(\chi^\vee)}\).
\end{defi}
    
\begin{prop}
    La fonction \(\varepsilon\) est holomorphe en $s$ et à valeurs dans \(\mathbb{C}^*\).
\end{prop}
    
\begin{EX}
    \begin{enumerate}
        \item Calcul non ramifié : \(\OO=\mathcal{D}, n_\chi=n_\psi=0\) :
            $$
            \varepsilon(\chi, \psi)=|\OO / \mathcal{D}|^{-1} q^{-n_\psi}=1
            $$
            
        \item Pour \(s=1 / 2\) (le centre de la symétrie \(s \leftrightarrow 1-s\)) et \(\psi\) quelconque de conducteur \(\OO\) (et \(dx\) la mesure autoduale par rapport à \(\psi\)), on a:
            $$
            \left|\varepsilon(\eta |.|^{1 / 2}, \psi)\right|=1
            $$
    \end{enumerate}
\end{EX}
\begin{Théorème} Soient \(\eta\) un caractère de \(\OO^\times, \chi=\eta |.|^s\) et \(f \in C_c^{\infty}(F)\). 

\(\frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}\) est holomorphe en $s$. \\
Mieux: c'est un polynôme en \(q^{ \pm s}\) vérifiant l'équation fonctionnelle: \(\frac{\mathcal{Z}(\hat{f}, \chi^\vee)}{L(\chi^\vee)}=\varepsilon(\chi, \psi)
            \frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}\).
\end{Théorème}

 
\begin{proof}~

Si $n_\chi>0$, on a pour $\Re(s)<1$ : \\
$\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^\vee\right)=\int_{F^*} \hat{g}(x) \chi^\vee(x) dx^\times=| \OO / \mathcal{D} |^{-1/2} q^{n_\chi-n_\psi} \underbrace{\int_{-U_{n_\chi}} \chi^\vee(x) dx^\times}_{ = \chi^\vee (-1) \operatorname{Vol}(U_{n_\chi},dx^\times)} $. \\

\ \\
Or $\eta(-1)= \pm 1$ et $\chi^\vee(-1)=\bar{\eta(-1)}=\eta(-1) = \chi(-1)$, et: 

$\operatorname{Vol}\left(U_{n_\chi}, dx^\times\right)=\left((q-1) q^{n_\chi-1}\right)^{-1} \operatorname{Vol}\left(\OO^\times, dx^\times\right)$.\\
D'où $\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^\vee\right)=| \OO / \mathcal{D} |^{-1} q^{-n_\psi } \frac{\chi(-1)}{1-q^{-1}}$.\\

Si $n_\chi=0 :\begin{aligned}[t]
\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^\vee\right)&=\int_{F^*}| \OO / \mathcal{D} |^{-1/2} q^{-n_\psi}  \1_{\OO}(x) \chi^\vee(x) dx^\times \\
& =| \OO / \mathcal{D} |^{-1/2} q^{-n_\psi} \sum_{k=0}^{+\infty} q^{-k(1-s)} \operatorname{Vol}\left(\O\OO^\times, dx^\times\right)=| \OO / \mathcal{D} |^{-1} \frac{q^{-n_\psi}}{1-q^{s-1}} \\
&
\end{aligned}
\end{proof}

\subsection{Facteurs $L$, $\gamma $ et $\varepsilon$}
\begin{defi}
    $g$ étant fixée comme avant, on définit le facteur gamma par:
    $$
    \gamma(\chi, \psi)=\frac{\mathcal{Z}(\hat{g}, \chi^\vee)}{\mathcal{Z}(g, \chi)}
    $$
    \(\gamma\) est une fonction méromorphe de $s$.
\end{defi}
    
\begin{Théorème}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] $\gamma(\chi, \psi)$ est une fonction méromorphe de $s$, égale à: \\
    $\begin{aligned}[t]
        & \rightarrow | \OO / \mathcal{D} |^{-1} q^{-n_\psi} \frac{1-q^{-s}}{1-q^{s-1}} \quad &\text { si } n_\chi=0 \\
        & \rightarrow | \OO / \mathcal{D} |^{-1} \frac{q^{-n_\psi}}{1-q^{-1}} \eta(-1) q^{\left(n_\psi-n_\chi\right) s} G(\eta, \psi_{\varpi^{n_\psi-n_\chi}})^{-1} &\text { si } n_\chi > 0
        \end{aligned}$\\
        Pour $\psi = \psi_p \circ \operatorname{Tr}_{F/\Q_p}$ pour lequel $dx$ est autoduale, son conducteur est $\mathcal{D}^{-1} = \varpi^d \OO$ et cette formule vaut 1.
        \item[(ii)] On a l'équation fonctionnelle:
        $$
        \mathcal{Z}(\hat{f}, \chi^\vee)=\gamma(\chi, \psi) \mathcal{Z}(f, \chi) 
        $$
\end{enumerate}
\end{Théorème}
    
\begin{defi}
        On définit aussi le facteur \(L\) par: \(L(\chi):=\left\{\begin{array}{lc}1  &\text {si $\chi$ non ramifié, ie si } n_\chi > 0 \\ 
        \frac{1}{1-\chi(\varpi)}=\frac{1}{1-q^{-s}} &\text{sinon}\end{array}\right.\) 
        Et le facteur epsilon : \(\varepsilon(\chi, \psi)=\gamma(\chi, \psi) \frac{L(\chi)}{L(\chi^\vee)}\).
\end{defi}
    
\begin{prop}
    La fonction \(\varepsilon\) est holomorphe en $s$ et à valeurs dans \(\mathbb{C}^*\).
\end{prop}
    
\begin{EX}
    \begin{enumerate}
        \item Calcul non ramifié : \(\OO=\mathcal{D}, n_\chi=n_\psi=0\) :
            $$
            \varepsilon(\chi, \psi)=|\OO / \mathcal{D}|^{-1} q^{-n_\psi}=1
            $$
            
        \item Pour \(s=1 / 2\) (le centre de la symétrie \(s \leftrightarrow 1-s\)) et \(\psi\) quelconque de conducteur \(\OO\) (et \(dx\) la mesure autoduale par rapport à \(\psi\)), on a:
            $$
            \left|\varepsilon(\eta |.|^{1 / 2}, \psi)\right|=1
            $$
    \end{enumerate}
\end{EX}
\begin{Théorème} Soient \(\eta\) un caractère de \(\OO^\times, \chi=\eta |.|^s\) et \(f \in C_c^{\infty}(F)\). 

\(\frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}\) est holomorphe en $s$. \\
Mieux: c'est un polynôme en \(q^{ \pm s}\) vérifiant l'équation fonctionnelle: \(\frac{\mathcal{Z}(\hat{f}, \chi^\vee)}{L(\chi^\vee)}=\varepsilon(\chi, \psi)
            \frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}\).
\end{Théorème}
