
\begin{prop}
Tout caractère additif $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ est de la forme
$$
\psi:
\left\{
  \begin{array}{l}
    F \rightarrow \mathbb{C}^* \\
    x \mapsto \psi_{p}\left(\operatorname{Tr}_{F/Q_{p}}(a x)\right)
  \end{array}
\right.
\text{pour un unique $a \in F$.}
$$
$\psi$ est trivial ssi $a=0$. Si $a \neq 0$, alors on a $ \operatorname{Cond}(\psi)=a^{-1} \mathcal{D}_{F/\Q_p}^{-1}$.
\end{prop}


\begin{prop}
Tout caractère additif $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ est de la forme
$$
\psi:
\left\{
  \begin{array}{l}
    F \rightarrow \mathbb{C}^* \\
    x \mapsto \psi_{p}\left(\operatorname{Tr}_{F/Q_{p}}(a x)\right)
  \end{array}
\right.
\text{pour un unique $a \in F$.}
$$
$\psi$ est trivial ssi $a=0$. Si $a \neq 0$, alors on a $ \operatorname{Cond}(\psi)=a^{-1} \mathcal{D}_{F/\Q_p}^{-1}$.
\end{prop}
