
\begin{lemme}
Pour toutes $f, g \in C_{c}^{\infty}(F)$ et tout caractère $\chi = \eta |.|^s$ avec $0 < \Re(s) < 1$, on a :
$$
\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^{\vee}\right) \mathcal{Z}(g, \chi) = \mathcal{Z}(f, \chi) \mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^{\vee}\right)
$$
où chaque fonction $\mathcal{Z}$ est sur son domaine de convergence. L'identité se prolonge méromorphiquement à $\mathbb{C}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
    
Pour $0 < \Re(s) < 1$, le membre de gauche est dominé par :
$$
\begin{aligned}
& \int_{F^*} \hat{f}(x) \chi^{\vee}(x) dx^{\times} \int_{F^*} g(y) \chi(y) dy^{\times} \quad \text { (tout converge absolument) } \\
& = \int_{(F^*)^2} \hat{f}(x) g(y) |x| \chi\left(y x^{-1}\right) dx^{\times} dy^{\times} \\
& = \int_{\left(F^*\right)^2} \hat{f}(x) g\left(y^{\prime} x\right) |x| \chi\left(y^{\prime}\right) dx^{\times} dy^{\prime}^{\times} \\
& = \int_{F^*} \chi(y) \left(\int_{F^*} \hat{f}(x) g(x y) |x| dx^{\times}\right) dy^{\times}\\
&
\end{aligned}
$$

L'intégrale intérieure vaut $\left(1-q^{-1}\right)^{-1} \int_F \hat{f}(x) g(x y) d x$.
$$
\begin{aligned}
&\stackrel{Plancherel}{=} \left(1-q^{-1}\right)^{-1} \int_F f(x) |y|^{-1} \hat{g}\left(y^{-1} x\right) d x \\
 & \; \; \; \stackrel{x^{\prime} = y^{\prime} x }{=} \left(1-q^{-1}\right)^{-1} \int_F f\left(y x^{\prime}\right) \hat{g}\left(x^{\prime}\right) d x 
x\end{aligned}
$$

On obtient finalement une expression symétrique en $f$ et $g$.
\end{proof}



\begin{lemme}
Pour toutes $f, g \in C_{c}^{\infty}(F)$ et tout caractère $\chi = \eta |.|^s$ avec $0 < \Re(s) < 1$, on a :
$$
\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^{\vee}\right) \mathcal{Z}(g, \chi) = \mathcal{Z}(f, \chi) \mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^{\vee}\right)
$$
où chaque fonction $\mathcal{Z}$ est sur son domaine de convergence. L'identité se prolonge méromorphiquement à $\mathbb{C}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
    
Pour $0 < \Re(s) < 1$, le membre de gauche est dominé par :
$$
\begin{aligned}
& \int_{F^*} \hat{f}(x) \chi^{\vee}(x) dx^{\times} \int_{F^*} g(y) \chi(y) dy^{\times} \quad \text { (tout converge absolument) } \\
& = \int_{(F^*)^2} \hat{f}(x) g(y) |x| \chi\left(y x^{-1}\right) dx^{\times} dy^{\times} \\
& = \int_{\left(F^*\right)^2} \hat{f}(x) g\left(y^{\prime} x\right) |x| \chi\left(y^{\prime}\right) dx^{\times} dy^{\prime}^{\times} \\
& = \int_{F^*} \chi(y) \left(\int_{F^*} \hat{f}(x) g(x y) |x| dx^{\times}\right) dy^{\times}\\
&
\end{aligned}
$$

L'intégrale intérieure vaut $\left(1-q^{-1}\right)^{-1} \int_F \hat{f}(x) g(x y) d x$.
$$
\begin{aligned}
&\stackrel{Plancherel}{=} \left(1-q^{-1}\right)^{-1} \int_F f(x) |y|^{-1} \hat{g}\left(y^{-1} x\right) d x \\
 & \; \; \; \stackrel{x^{\prime} = y^{\prime} x }{=} \left(1-q^{-1}\right)^{-1} \int_F f\left(y x^{\prime}\right) \hat{g}\left(x^{\prime}\right) d x 
x\end{aligned}
$$

On obtient finalement une expression symétrique en $f$ et $g$.
\end{proof}

