
\begin{proof}~
    
La topologie engendrée par les $W(K, B(\alpha, \varepsilon))$ est clairement moins fine que la compacte-ouverte. \\

Soient $K \subseteq G$ compact, $U \subseteq \U$ ouvert. Il suffit de montrer que $\forall  \chi \in W(K, U)$, $\exists n$, $\exists K_i$, $\alpha_i$, $\varepsilon_i$ tels que $\chi \in \bigcap\limits\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon_i\right)\right) \subseteq W(K, U)$. \\
Pour tous $ \alpha \in U$, $\exists \varepsilon_\alpha > 0$ tel que $B\left(\alpha, \varepsilon_\alpha\right) \subseteq U$, et $U = \bigcup\limits_{\alpha \in U} B\left(\alpha, \varepsilon_\alpha\right)$. \\
Ainsi pour $\chi \in W(K,U)$, $K = \bigcup\limits\limits_{\alpha \in U} \underbrace{K \cap \chi^{-1}\left(B\left(\alpha, \varepsilon_\alpha\right)\right)}_{\text { ouvert }}$. \\
Par compacité de $K$, $\exists \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in U $ tels que $K = \bigcup\limits_{i=1}^n K \cap \chi^{-1}\left(B\left(\alpha_i, \varepsilon_{\alpha_i}\right)\right)$. \\
Or $K$ est compact donc normal, c'est-à-dire que deux fermés de $K$ dont l'intersection est vide ont des voisinages disjoints.

Ainsi, $\forall i$, $\exists K_i \subseteq K \cap \chi^{-1}\left(B\left(\alpha_i, \varepsilon_{\alpha_i}\right)\right)$ tels que $K = \bigcup\limits_{i=1}^n K_i$. \\
Mais alors : 
\begin{align*}
\chi &\in \bigcap\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon_{\alpha_i}\right)\right) \\
&\subseteq W\left(\bigcup\limits\limits_{i=1}^n K_i, \bigcup\limits_{i=1}^n B\left(\alpha_i, \varepsilon_{\alpha_i}\right)\right) \\ &\subseteq W(K, U)
\end{align*}.
\end{proof}
Pour $K \subseteq G$ compact, $\chi \in \hat{G}$ et $\varepsilon > 0$, on définit :
$$
B_K(\chi, \varepsilon) := \{\phi \in \hat{G} \mid \forall k \in K \quad |\chi(k) - \phi(k)| < \varepsilon\}
$$


\begin{proof}~
    
La topologie engendrée par les $W(K, B(\alpha, \varepsilon))$ est clairement moins fine que la compacte-ouverte. \\

Soient $K \subseteq G$ compact, $U \subseteq \U$ ouvert. Il suffit de montrer que $\forall  \chi \in W(K, U)$, $\exists n$, $\exists K_i$, $\alpha_i$, $\varepsilon_i$ tels que $\chi \in \bigcap\limits\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon_i\right)\right) \subseteq W(K, U)$. \\
Pour tous $ \alpha \in U$, $\exists \varepsilon_\alpha > 0$ tel que $B\left(\alpha, \varepsilon_\alpha\right) \subseteq U$, et $U = \bigcup\limits_{\alpha \in U} B\left(\alpha, \varepsilon_\alpha\right)$. \\
Ainsi pour $\chi \in W(K,U)$, $K = \bigcup\limits\limits_{\alpha \in U} \underbrace{K \cap \chi^{-1}\left(B\left(\alpha, \varepsilon_\alpha\right)\right)}_{\text { ouvert }}$. \\
Par compacité de $K$, $\exists \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in U $ tels que $K = \bigcup\limits_{i=1}^n K \cap \chi^{-1}\left(B\left(\alpha_i, \varepsilon_{\alpha_i}\right)\right)$. \\
Or $K$ est compact donc normal, c'est-à-dire que deux fermés de $K$ dont l'intersection est vide ont des voisinages disjoints.

Ainsi, $\forall i$, $\exists K_i \subseteq K \cap \chi^{-1}\left(B\left(\alpha_i, \varepsilon_{\alpha_i}\right)\right)$ tels que $K = \bigcup\limits_{i=1}^n K_i$. \\
Mais alors : 
\begin{align*}
\chi &\in \bigcap\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon_{\alpha_i}\right)\right) \\
&\subseteq W\left(\bigcup\limits\limits_{i=1}^n K_i, \bigcup\limits_{i=1}^n B\left(\alpha_i, \varepsilon_{\alpha_i}\right)\right) \\ &\subseteq W(K, U)
\end{align*}.
\end{proof}
Pour $K \subseteq G$ compact, $\chi \in \hat{G}$ et $\varepsilon > 0$, on définit :
$$
B_K(\chi, \varepsilon) := \{\phi \in \hat{G} \mid \forall k \in K \quad |\chi(k) - \phi(k)| < \varepsilon\}
$$
