
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
    \item Si $\chi=\chi^\vee$ on a $1-s=s$ c'est-à-dire $s=1/2$
et $\eta=\bar{\eta}$, c'est-à-dire $\eta$ est réel. \\
Ainsi $\chi(-1)= \pm 1$ et $\varepsilon(\chi, \psi)^2=\chi(-1)$ donc $\varepsilon(\chi, \psi) \in \mathbb{U}_4$.
\item Plus généralement:
$$
\begin{aligned}
&\varepsilon\left(\eta|\cdot|^{1 / 2}, \psi\right) \varepsilon \left(\bar{\eta}|\cdot|^{1 / 2}, \psi\right)=\eta(-1), \\
& \text { Et } \overline{\mathcal{Z}(f, \chi)}=\mathcal{Z}(\bar{f}, \bar{\chi})  , \, \overline{\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^\vee\right)}=\mathcal{Z}\left(\bar{\hat{f}}, \overline{\chi^\vee}\right), \, \overline{\hat{f}}(y)=\hat{\overline{f}}(-y), \\
& \text { Et } \mathcal{Z}\left(\hat{\overline{f}}, \bar{\chi}^\vee\right) \overline{\chi}^\vee(-1)=\gamma(\bar{\chi}, \psi) \mathcal{Z}(\bar{f}, \bar{\chi}) \bar{\chi}^\vee(-1).
\end{aligned}
$$
D'où $\overline{\gamma(\chi, \psi)}=\gamma(\bar{\chi}, \psi) \bar{\chi}^\vee(-1)$. \\
Ainsi $\overline{\varepsilon(\eta \mid \cdot \mid^{1 / 2}, \psi)}=\varepsilon(\bar{\eta}\mid \cdot \mid^{1 / 2}, \psi) \eta(-1)$, et on retrouve donc $\left|\varepsilon\left(\eta|\cdot|^{-1 / 2}, \psi\right)\right|=1$.
\item Hormis les énoncés qui utilisent l'inversion de Fourier, les résultats tiennent $\forall \psi \not \equiv 1$.
Si on veut être plus précis, on note le facteur epsilon $\varepsilon(\chi, \psi, dx)$. \\
On a:
$
\begin{aligned}[t]
& \rightarrow \forall t>0 \quad \varepsilon(\chi, \psi, t d x)=t \varepsilon(\chi, \psi, d x) \\
& \rightarrow \forall a \in F^* \quad \varepsilon\left(\chi, \psi_a, d x\right)=\chi(a)|a|^{-1} \varepsilon(\chi, \psi, d x) \\
& \rightarrow \varepsilon\left(\chi |\cdot|^{s}, \psi, d x\right)=|\varpi|^{(-n_\psi+n_\chi) s} \varepsilon(\chi, \psi, d x).
\end{aligned}
$
\end{enumerate}
\end{rmk}


\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
    \item Si $\chi=\chi^\vee$ on a $1-s=s$ c'est-à-dire $s=1/2$
et $\eta=\bar{\eta}$, c'est-à-dire $\eta$ est réel. \\
Ainsi $\chi(-1)= \pm 1$ et $\varepsilon(\chi, \psi)^2=\chi(-1)$ donc $\varepsilon(\chi, \psi) \in \mathbb{U}_4$.
\item Plus généralement:
$$
\begin{aligned}
&\varepsilon\left(\eta|\cdot|^{1 / 2}, \psi\right) \varepsilon \left(\bar{\eta}|\cdot|^{1 / 2}, \psi\right)=\eta(-1), \\
& \text { Et } \overline{\mathcal{Z}(f, \chi)}=\mathcal{Z}(\bar{f}, \bar{\chi})  , \, \overline{\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^\vee\right)}=\mathcal{Z}\left(\bar{\hat{f}}, \overline{\chi^\vee}\right), \, \overline{\hat{f}}(y)=\hat{\overline{f}}(-y), \\
& \text { Et } \mathcal{Z}\left(\hat{\overline{f}}, \bar{\chi}^\vee\right) \overline{\chi}^\vee(-1)=\gamma(\bar{\chi}, \psi) \mathcal{Z}(\bar{f}, \bar{\chi}) \bar{\chi}^\vee(-1).
\end{aligned}
$$
D'où $\overline{\gamma(\chi, \psi)}=\gamma(\bar{\chi}, \psi) \bar{\chi}^\vee(-1)$. \\
Ainsi $\overline{\varepsilon(\eta \mid \cdot \mid^{1 / 2}, \psi)}=\varepsilon(\bar{\eta}\mid \cdot \mid^{1 / 2}, \psi) \eta(-1)$, et on retrouve donc $\left|\varepsilon\left(\eta|\cdot|^{-1 / 2}, \psi\right)\right|=1$.
\item Hormis les énoncés qui utilisent l'inversion de Fourier, les résultats tiennent $\forall \psi \not \equiv 1$.
Si on veut être plus précis, on note le facteur epsilon $\varepsilon(\chi, \psi, dx)$. \\
On a:
$
\begin{aligned}[t]
& \rightarrow \forall t>0 \quad \varepsilon(\chi, \psi, t d x)=t \varepsilon(\chi, \psi, d x) \\
& \rightarrow \forall a \in F^* \quad \varepsilon\left(\chi, \psi_a, d x\right)=\chi(a)|a|^{-1} \varepsilon(\chi, \psi, d x) \\
& \rightarrow \varepsilon\left(\chi |\cdot|^{s}, \psi, d x\right)=|\varpi|^{(-n_\psi+n_\chi) s} \varepsilon(\chi, \psi, d x).
\end{aligned}
$
\end{enumerate}
\end{rmk}
