
\begin{prop}
    Soit $\eta : \OO^{\times} \rightarrow \C^*$ un caractère multiplicatif.
    \begin{enumerate}
      \item[i)] $\eta$ est localement constant, son noyau contient un sous-groupe ouvert compact $1+\varpi^n \OO$ avec $n$ assez grand.
      \item[ii)] Im($\eta$) est un sous-groupe fini de $\mathbb{C}^*$ (donc dans $\mathbb{U}_{\infty}$).
    \end{enumerate}
  \end{prop}



\begin{prop}
    Soit $\eta : \OO^{\times} \rightarrow \C^*$ un caractère multiplicatif.
    \begin{enumerate}
      \item[i)] $\eta$ est localement constant, son noyau contient un sous-groupe ouvert compact $1+\varpi^n \OO$ avec $n$ assez grand.
      \item[ii)] Im($\eta$) est un sous-groupe fini de $\mathbb{C}^*$ (donc dans $\mathbb{U}_{\infty}$).
    \end{enumerate}
  \end{prop}

