
\begin{proof}~
    
\underline{Unicité} : Si $a, b \in \mathbb{Q}_{p}$ vérifient $\forall x \in \mathbb{Q}_{p} \quad \psi_{p}(a x)=\psi_{p}(b x)$, alors pour tout $x \in \mathbb{Q}_{p}$, $\psi_{p}((a-b)x)=0$, c'est-à-dire $(a-b) x \in \mathbb{Z}_{p}$. Ceci implique $a-b=0$, sans quoi $(a-b) \cdot \varpi^{-v_{p}(a-b)-1} \notin \mathbb{Z}_{p}$.\\

\underline{Existence} : Soit $\psi$ un caractère additif. $\mathbb{Q}_{p}=\bigcup\limits_{n \geq 0} p^{-n} \mathbb{Z}_{p}$, et $\left.\psi\right|_{p^{-n} \mathbb{Z}_{p}}$ est déterminé par $\psi(1 / p^n)$. \\
Si $\psi$ est trivial, $a=0$ convient. \\
Sinon, en remplaçant $\psi$ par $\psi_{b}: x \mapsto \psi(b x)$, on a $\operatorname{Cond}(\psi_{b})=b^{-1}\operatorname{Cond}(\psi)$. On peut donc se contenter de traiter le cas $\operatorname{Cond}(\psi)=\mathbb{Z}_{p}$.


\begin{proof}~
    
\underline{Unicité} : Si $a, b \in \mathbb{Q}_{p}$ vérifient $\forall x \in \mathbb{Q}_{p} \quad \psi_{p}(a x)=\psi_{p}(b x)$, alors pour tout $x \in \mathbb{Q}_{p}$, $\psi_{p}((a-b)x)=0$, c'est-à-dire $(a-b) x \in \mathbb{Z}_{p}$. Ceci implique $a-b=0$, sans quoi $(a-b) \cdot \varpi^{-v_{p}(a-b)-1} \notin \mathbb{Z}_{p}$.\\

\underline{Existence} : Soit $\psi$ un caractère additif. $\mathbb{Q}_{p}=\bigcup\limits_{n \geq 0} p^{-n} \mathbb{Z}_{p}$, et $\left.\psi\right|_{p^{-n} \mathbb{Z}_{p}}$ est déterminé par $\psi(1 / p^n)$. \\
Si $\psi$ est trivial, $a=0$ convient. \\
Sinon, en remplaçant $\psi$ par $\psi_{b}: x \mapsto \psi(b x)$, on a $\operatorname{Cond}(\psi_{b})=b^{-1}\operatorname{Cond}(\psi)$. On peut donc se contenter de traiter le cas $\operatorname{Cond}(\psi)=\mathbb{Z}_{p}$.
