
  Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)^{p^n}=\psi(1)=1$, ainsi, $\exists a_n \in \mathbb{Z}$ tel que $\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)=e^{\frac{2 i a_n \pi}{p^n}}$. \\
  On prend bien sûr $a_0=1$ (car $\psi(1) = 1)$. \\
  De plus, $\psi\left(\frac{1}{p^{n+1}}\right)^{p}=\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)$, d'où $e^{\frac{2 i a_{n+1} \pi}{p^{n+1}} p}=e^{\frac{2 i a_n \pi}{p^n}}$ et donc $a_{n+1}-a_n \in p^n \mathbb{Z} \subseteq p^n \mathbb{Z}_{p}$. \\

  Cela montre que la suite $\left(a_n\right)_n$ est de Cauchy dans $\mathbb{Z}_p$! Elle converge donc vers $a \in \mathbb{Z}_p^*$. On vérifie que $\psi(x)=\psi_p(a x)$ :
  \begin{itemize}
    \item C'est clair sur $\mathbb{Z}_p$ car les deux sont triviaux.
    \item Il reste à vérifier sur les $\frac{1}{p^n}, n \in \mathbb{N}^*$, mais :
    $$
    \psi\left(\frac{1}{p^n}\right)=e^{\frac{2 i a_n \pi}{p^n}} \text{ et } \frac{a}{p^n} \in \frac{a_n}{p^n}+\mathbb{Z}_p, \text{ donc } \psi_{p}\left(\frac{a}{p^n}\right)=\psi\left(\frac{1}{p^n}\right).
    $$
  \end{itemize}
\end{proof}



  Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)^{p^n}=\psi(1)=1$, ainsi, $\exists a_n \in \mathbb{Z}$ tel que $\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)=e^{\frac{2 i a_n \pi}{p^n}}$. \\
  On prend bien sûr $a_0=1$ (car $\psi(1) = 1)$. \\
  De plus, $\psi\left(\frac{1}{p^{n+1}}\right)^{p}=\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)$, d'où $e^{\frac{2 i a_{n+1} \pi}{p^{n+1}} p}=e^{\frac{2 i a_n \pi}{p^n}}$ et donc $a_{n+1}-a_n \in p^n \mathbb{Z} \subseteq p^n \mathbb{Z}_{p}$. \\

  Cela montre que la suite $\left(a_n\right)_n$ est de Cauchy dans $\mathbb{Z}_p$! Elle converge donc vers $a \in \mathbb{Z}_p^*$. On vérifie que $\psi(x)=\psi_p(a x)$ :
  \begin{itemize}
    \item C'est clair sur $\mathbb{Z}_p$ car les deux sont triviaux.
    \item Il reste à vérifier sur les $\frac{1}{p^n}, n \in \mathbb{N}^*$, mais :
    $$
    \psi\left(\frac{1}{p^n}\right)=e^{\frac{2 i a_n \pi}{p^n}} \text{ et } \frac{a}{p^n} \in \frac{a_n}{p^n}+\mathbb{Z}_p, \text{ donc } \psi_{p}\left(\frac{a}{p^n}\right)=\psi\left(\frac{1}{p^n}\right).
    $$
  \end{itemize}
\end{proof}

