
    \begin{rmk}~
    
     On peut regarder l'ensemble des $\mathcal{Z}(f, \chi)$ pour $f \in C_c^{\infty}(F)$ comme une partie de $\mathbb{C}\left(q^{-s}\right)$. \\
     Il s'agit en fait d'un sous-$\mathbb{C}[q^{\pm s}]$-module qui contient $1$. \\
     C'est donc un idéal fractionnaire de $\mathbb{C}\left(q^{-s}\right)$ engendré par un $\frac{1}{P\left(q^{-s}\right)}$, où $P \in \mathbb{C}[X]$.\\
     On peut normaliser $P$ par $P(0)=1$. On a alors $L(\chi)=\frac{1}{P\left(q^{-s}\right)}$. 
     
    En effet,
    $\begin{aligned}[t]
        \mathcal{Z}\left(f\left(\varpi_{\cdot}\right), \chi\right)&=\int_{F^*} f(\varpi \chi) \chi(x) d x^\times \\
        &=\chi(\varpi)^{-1} \int_{F^*} f(x) \chi(x) d x^\times \\
        &=q^s \mathcal{Z}(f, \chi) .
    \end{aligned}$

\end{rmk}


    \begin{rmk}~
    
     On peut regarder l'ensemble des $\mathcal{Z}(f, \chi)$ pour $f \in C_c^{\infty}(F)$ comme une partie de $\mathbb{C}\left(q^{-s}\right)$. \\
     Il s'agit en fait d'un sous-$\mathbb{C}[q^{\pm s}]$-module qui contient $1$. \\
     C'est donc un idéal fractionnaire de $\mathbb{C}\left(q^{-s}\right)$ engendré par un $\frac{1}{P\left(q^{-s}\right)}$, où $P \in \mathbb{C}[X]$.\\
     On peut normaliser $P$ par $P(0)=1$. On a alors $L(\chi)=\frac{1}{P\left(q^{-s}\right)}$. 
     
    En effet,
    $\begin{aligned}[t]
        \mathcal{Z}\left(f\left(\varpi_{\cdot}\right), \chi\right)&=\int_{F^*} f(\varpi \chi) \chi(x) d x^\times \\
        &=\chi(\varpi)^{-1} \int_{F^*} f(x) \chi(x) d x^\times \\
        &=q^s \mathcal{Z}(f, \chi) .
    \end{aligned}$

\end{rmk}
