
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] $ \Rightarrow$ Clair.

$\Leftarrow$ Montrons que pour $m \geqslant 1$, $\chi^{-1}(N(\frac{1}{m}))$ est un voisinage de $e$. \\
Par hypothèse, $\exists U \ni e$ ouvert de $G$ tel que $\chi(U) \subseteq N(1)$. 

Par continuité de $\left\{\begin{array}{l}G^m \rightarrow G \\ (g_1, \ldots, g_m) \mapsto g_1 \dots g_m\end{array}\right.$ , $ \exists V \ni e$ ouvert tel que $V^{(m)} \subseteq U$. \\
Ainsi $\chi(V^{(m)}) \subseteq N(1)$ et par le Lemme, $\chi(V) \subseteq N(\frac{1}{m})$, d'où $V \subseteq \chi^{-1}(N(\frac{1}{m}))$. \\

Soit $B \subseteq \U$ un ouvert. Montrons que $\chi^{-1}(B)$ est ouvert :\\
Soit $g \in \chi^{-1}(B)$. On a $\chi(g) \in B$. $\exists m \geqslant 1$ assez grand tel que $\chi(g) N(\frac{1}{m}) \subseteq B$. Soit $V \ni e$ un voisinage de $G$ tel que 
$ \chi(V) \subseteq N(\frac{1}{m}) $ alors :

$ \chi(g V) = \chi(g) \chi(V) \subseteq \chi(g) N(\frac{1}{m}) \subseteq B$. \\
Donc $gV \subseteq \chi^{-1}(B)$. Ainsi, $\chi^{-1}(B)$ est un voisinage de chacun de ses points, c'est un ouvert. \\

\item[(ii)]  On sait que les $B_K(\1, \varepsilon)=W(K, B(1, \varepsilon))$ forment une base de voisinages de $\1$, et alors les $W(K, N(1/m))$ aussi, (pour $K \subseteq G$ compact, et $m \geqslant 1$). \\
$W(K, N(1))$ étant un voisinage ouvert de $\1$, il suffit de voir que $\forall K \subseteq G$ compact, $\forall m \geqslant 1$, $\exists L \subseteq G$ compact tel que $\mathcal{W}(L, N(1)) \subseteq W(K, N(\frac{1}{m}))$. \\

Soient $K \subseteq G$ compact et $m \geqslant 1$. On pose $L:=(K \cup\{1\})^{(m)}$, c'est un compact de $G$. Pour $\chi \in \mathcal{W}(L, N(1))$, on a : $\chi(L) \subseteq N(1)$, d'où $\chi((K \cup\{1\})^{(m)}) \subseteq N(1)$, donc $\chi(K \cup\{1\}) \subseteq N(\frac{1}{m})$. Ainsi, $\chi \in W(K, N(\frac{1}{m}))$, ce qui conclut.
\end{enumerate}
\end{proof}


\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] $ \Rightarrow$ Clair.

$\Leftarrow$ Montrons que pour $m \geqslant 1$, $\chi^{-1}(N(\frac{1}{m}))$ est un voisinage de $e$. \\
Par hypothèse, $\exists U \ni e$ ouvert de $G$ tel que $\chi(U) \subseteq N(1)$. 

Par continuité de $\left\{\begin{array}{l}G^m \rightarrow G \\ (g_1, \ldots, g_m) \mapsto g_1 \dots g_m\end{array}\right.$ , $ \exists V \ni e$ ouvert tel que $V^{(m)} \subseteq U$. \\
Ainsi $\chi(V^{(m)}) \subseteq N(1)$ et par le Lemme, $\chi(V) \subseteq N(\frac{1}{m})$, d'où $V \subseteq \chi^{-1}(N(\frac{1}{m}))$. \\

Soit $B \subseteq \U$ un ouvert. Montrons que $\chi^{-1}(B)$ est ouvert :\\
Soit $g \in \chi^{-1}(B)$. On a $\chi(g) \in B$. $\exists m \geqslant 1$ assez grand tel que $\chi(g) N(\frac{1}{m}) \subseteq B$. Soit $V \ni e$ un voisinage de $G$ tel que 
$ \chi(V) \subseteq N(\frac{1}{m}) $ alors :

$ \chi(g V) = \chi(g) \chi(V) \subseteq \chi(g) N(\frac{1}{m}) \subseteq B$. \\
Donc $gV \subseteq \chi^{-1}(B)$. Ainsi, $\chi^{-1}(B)$ est un voisinage de chacun de ses points, c'est un ouvert. \\

\item[(ii)]  On sait que les $B_K(\1, \varepsilon)=W(K, B(1, \varepsilon))$ forment une base de voisinages de $\1$, et alors les $W(K, N(1/m))$ aussi, (pour $K \subseteq G$ compact, et $m \geqslant 1$). \\
$W(K, N(1))$ étant un voisinage ouvert de $\1$, il suffit de voir que $\forall K \subseteq G$ compact, $\forall m \geqslant 1$, $\exists L \subseteq G$ compact tel que $\mathcal{W}(L, N(1)) \subseteq W(K, N(\frac{1}{m}))$. \\

Soient $K \subseteq G$ compact et $m \geqslant 1$. On pose $L:=(K \cup\{1\})^{(m)}$, c'est un compact de $G$. Pour $\chi \in \mathcal{W}(L, N(1))$, on a : $\chi(L) \subseteq N(1)$, d'où $\chi((K \cup\{1\})^{(m)}) \subseteq N(1)$, donc $\chi(K \cup\{1\}) \subseteq N(\frac{1}{m})$. Ainsi, $\chi \in W(K, N(\frac{1}{m}))$, ce qui conclut.
\end{enumerate}
\end{proof}
