
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
  \item[(i)] Soit $f = \underbrace{\left(f - f(0) \1_{\OO}\right)}_{=: g \in C_c^{\infty}(F^*)} + f(0) \1_{\OO}$. \\
  Ainsi, $\mathcal{Z}(g, \chi)$ est défini par une intégrale sur un compact :
$$
\int_{F^*} |g(x) \chi(x)|_{\infty} \, dx^{\times} = \int_{F^*} |g(x)|_{\infty} |x|^{\Re(s)} \, dx^{\times} \quad (\eta \text{ est à valeur dans } \U_{\infty})
$$
On voit que cette intégrale converge absolument, et même uniformément convergente pour $\Re(s)$ dans un compact de $\mathbb{R}$. Ainsi, l'intégrale qui définit $\mathcal{Z}\left(g, \eta |.|^s \right)$ a un sens pour tout $s \in \mathbb{C}$ et définit une fonction holomorphe en $s$.

  \item[(ii)] On sait que $\eta$, donc $\chi$, est trivial sur $1+\varpi^m \OO$ pour un $m \geqslant 1$. \\
  Il suffit de traiter le cas de $g = \1_{a\left(1+\varpi^n \OO \right)}$, $n \geqslant m$ :
$$
\begin{aligned}
\mathcal{Z}(g, \chi) & = \int_{F^*} \1_{a\left(1+\varpi^n \OO\right)}(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& = \int_{F^*} \1_{a\left(1+\varpi^n \OO \right)}(ax) \chi(ax) \, dx^{\times} \\
& = \chi(a) \int_{F^*} \1_{1+\varpi^n \OO}(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& = \chi(a) \operatorname{Vol}\left(1+\varpi^n \OO, dx^{\times}\right) \\
& = \eta(a) |a|^s \operatorname{Vol}\left(1+\varpi^m \OO, dx^{\times}\right) .
\end{aligned}
$$
\end{enumerate}

Il reste à traiter le cas $f=\1_{\OO}$ :
$$
\begin{aligned}
\int_{F^{\times}}|f|_{\infty}|\chi|_{\infty} & =\int_{F^{\times} \cap \OO }|x|^{\sigma} \, dx^{\times} \quad(\sigma=\operatorname{Re}(s)) \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\varpi^n \OO^{\times}}|x|^{\sigma} \, dx^{\times} \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty} q^{-n \sigma} \operatorname{Vol}\left(\varpi^n \OO^{\times}, dx^{\times}\right) \\
& =\operatorname{Vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right) \sum_{n=0}^{+\infty} q^{-n \sigma}
\end{aligned}
$$

Soit $\sigma_0>0$. L'intégrale $\mathcal{Z}(f, \chi)$ converge absolument et uniformément sur $\Re(s) \geqslant \sigma_0$, elle définit donc une fonction holomorphe sur $\Re(s)>0$.

Soit $\chi=\eta |.|^s$ avec $\Re(s)>0$.
$$
\begin{aligned}
\mathcal{Z}(f, \chi)=\int_{F^{\times}} \1_{\OO}(x) \chi(x) \, dx^{\times} & =\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\varpi^n \OO^{\times}} \chi(x) \, dx^{\times} \\
& =\left(\sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\chi(\varpi)^n}_{q^{-n \sigma}}\right) \int_{\OO^{\times}} \underbrace{\chi(x)}_{= \eta (x)} \, dx^{\times}.
\end{aligned}
$$

~- Supposons $\eta$ non ramifié, c'est-à-dire $\exists a \in \OO^{\times} , \; \chi(a)=\eta(a) \neq 1$.
$$
\begin{aligned}
& \int_{\OO^{\times}} \chi(x) \, dx^{\times}=\int_{\OO^{\times}} \chi(a x) \, dx^{\times}=\chi(a) \int_{\OO^{\times}} \chi(x) \, dx^{\times} . \\
& \text{D'où } (1-\chi(a)) \int_{\OO^{\times}} \chi=0 \text{ et } \int_{\OO^{\times}} \chi=0 \text{, donc } \mathcal{Z}(f, \chi)=0
\end{aligned}
$$
Ce qui est prolongeable holomorphiquement à tout $\C$. \\

~- Supposons $\eta$ ramifié et $\left.\chi\right|_{\OO^{\times}} \equiv 1$.
$$
\text{Alors } \mathcal{Z}(f, \chi)=\operatorname{Vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right) \frac{1}{1-\chi(\varpi)}=\operatorname{Vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right) \frac{1}{1-q^{-s}}
$$

Ceci donne un prolongement méromorphe (pôles en $s \in \frac{2 i \pi \mathbb{Z}}{\log q}$).
\end{proof}


\begin{proof}~
\begin{enumerate}
  \item[(i)] Soit $f = \underbrace{\left(f - f(0) \1_{\OO}\right)}_{=: g \in C_c^{\infty}(F^*)} + f(0) \1_{\OO}$. \\
  Ainsi, $\mathcal{Z}(g, \chi)$ est défini par une intégrale sur un compact :
$$
\int_{F^*} |g(x) \chi(x)|_{\infty} \, dx^{\times} = \int_{F^*} |g(x)|_{\infty} |x|^{\Re(s)} \, dx^{\times} \quad (\eta \text{ est à valeur dans } \U_{\infty})
$$
On voit que cette intégrale converge absolument, et même uniformément convergente pour $\Re(s)$ dans un compact de $\mathbb{R}$. Ainsi, l'intégrale qui définit $\mathcal{Z}\left(g, \eta |.|^s \right)$ a un sens pour tout $s \in \mathbb{C}$ et définit une fonction holomorphe en $s$.

  \item[(ii)] On sait que $\eta$, donc $\chi$, est trivial sur $1+\varpi^m \OO$ pour un $m \geqslant 1$. \\
  Il suffit de traiter le cas de $g = \1_{a\left(1+\varpi^n \OO \right)}$, $n \geqslant m$ :
$$
\begin{aligned}
\mathcal{Z}(g, \chi) & = \int_{F^*} \1_{a\left(1+\varpi^n \OO\right)}(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& = \int_{F^*} \1_{a\left(1+\varpi^n \OO \right)}(ax) \chi(ax) \, dx^{\times} \\
& = \chi(a) \int_{F^*} \1_{1+\varpi^n \OO}(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& = \chi(a) \operatorname{Vol}\left(1+\varpi^n \OO, dx^{\times}\right) \\
& = \eta(a) |a|^s \operatorname{Vol}\left(1+\varpi^m \OO, dx^{\times}\right) .
\end{aligned}
$$
\end{enumerate}

Il reste à traiter le cas $f=\1_{\OO}$ :
$$
\begin{aligned}
\int_{F^{\times}}|f|_{\infty}|\chi|_{\infty} & =\int_{F^{\times} \cap \OO }|x|^{\sigma} \, dx^{\times} \quad(\sigma=\operatorname{Re}(s)) \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\varpi^n \OO^{\times}}|x|^{\sigma} \, dx^{\times} \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty} q^{-n \sigma} \operatorname{Vol}\left(\varpi^n \OO^{\times}, dx^{\times}\right) \\
& =\operatorname{Vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right) \sum_{n=0}^{+\infty} q^{-n \sigma}
\end{aligned}
$$

Soit $\sigma_0>0$. L'intégrale $\mathcal{Z}(f, \chi)$ converge absolument et uniformément sur $\Re(s) \geqslant \sigma_0$, elle définit donc une fonction holomorphe sur $\Re(s)>0$.

Soit $\chi=\eta |.|^s$ avec $\Re(s)>0$.
$$
\begin{aligned}
\mathcal{Z}(f, \chi)=\int_{F^{\times}} \1_{\OO}(x) \chi(x) \, dx^{\times} & =\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\varpi^n \OO^{\times}} \chi(x) \, dx^{\times} \\
& =\left(\sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\chi(\varpi)^n}_{q^{-n \sigma}}\right) \int_{\OO^{\times}} \underbrace{\chi(x)}_{= \eta (x)} \, dx^{\times}.
\end{aligned}
$$

~- Supposons $\eta$ non ramifié, c'est-à-dire $\exists a \in \OO^{\times} , \; \chi(a)=\eta(a) \neq 1$.
$$
\begin{aligned}
& \int_{\OO^{\times}} \chi(x) \, dx^{\times}=\int_{\OO^{\times}} \chi(a x) \, dx^{\times}=\chi(a) \int_{\OO^{\times}} \chi(x) \, dx^{\times} . \\
& \text{D'où } (1-\chi(a)) \int_{\OO^{\times}} \chi=0 \text{ et } \int_{\OO^{\times}} \chi=0 \text{, donc } \mathcal{Z}(f, \chi)=0
\end{aligned}
$$
Ce qui est prolongeable holomorphiquement à tout $\C$. \\

~- Supposons $\eta$ ramifié et $\left.\chi\right|_{\OO^{\times}} \equiv 1$.
$$
\text{Alors } \mathcal{Z}(f, \chi)=\operatorname{Vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right) \frac{1}{1-\chi(\varpi)}=\operatorname{Vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right) \frac{1}{1-q^{-s}}
$$

Ceci donne un prolongement méromorphe (pôles en $s \in \frac{2 i \pi \mathbb{Z}}{\log q}$).
\end{proof}
