
\begin{lemme}
    L'intégrale converge absolument pour $\Re(s)>0$, et est holomorphe sur ce domaine.
\end{lemme}

\begin{theorem}
Soit $\chi = \eta | \cdot |^s$. Alors, pour toute fonction $f \in \mathcal{S}(F)$, la fonction $\frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}$ est holomorphe sur $\Re(s) > 0$ et admet un prolongement holomorphe à $\mathbb{C}$ tout entier. \\
De plus, elle satisfait l'équation fonctionnelle suivante :
\[
\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^\vee\right)}{L\left(\chi^\vee\right)} = \varepsilon(\chi, \psi) \frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)} \quad \text{ où } \varepsilon(\chi, \psi) = \left\{\begin{array}{ll}
    i^\varepsilon & \text{si } \eta = (\operatorname{sign})^\varepsilon \; F=\R \\
    i^{|n|} & \text{si } \eta = \U \rightarrow \U , \,z \mapsto z^n \; F=\C
\end{array}\right.
\]
\end{theorem}


\begin{lemme}
    L'intégrale converge absolument pour $\Re(s)>0$, et est holomorphe sur ce domaine.
\end{lemme}

\begin{theorem}
Soit $\chi = \eta | \cdot |^s$. Alors, pour toute fonction $f \in \mathcal{S}(F)$, la fonction $\frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}$ est holomorphe sur $\Re(s) > 0$ et admet un prolongement holomorphe à $\mathbb{C}$ tout entier. \\
De plus, elle satisfait l'équation fonctionnelle suivante :
\[
\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^\vee\right)}{L\left(\chi^\vee\right)} = \varepsilon(\chi, \psi) \frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)} \quad \text{ où } \varepsilon(\chi, \psi) = \left\{\begin{array}{ll}
    i^\varepsilon & \text{si } \eta = (\operatorname{sign})^\varepsilon \; F=\R \\
    i^{|n|} & \text{si } \eta = \U \rightarrow \U , \,z \mapsto z^n \; F=\C
\end{array}\right.
\]
\end{theorem}
