
\subsection{Fonctions zêta archimédiennes:}
- On prend $F=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On fixe un caractère additif de $F$ :
$$
\psi_{\mathbb{R}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{U}, x \mapsto e^{-2 i \pi x}
$$
$$
\psi_{\mathbb{C}}=\psi_{\mathbb{R}} \circ T_{\mathbb{C}}.
$$
On considère la mesure de Lebesgue $dx$ sur $\mathbb{R}$, et $d z d \bar{z}=2 d x d y $ sur $\mathbb{C}$.

\begin{prop}
    $a \mapsto \psi_a$ réalise un isomorphisme topologique de $F$ sur son dual de Pontryagin.
\end{prop}
\underline{Transformation de Fourier :}

On prend $\mathcal{S}(F)$ l'espace de Schwartz des fonctions $f: F \rightarrow \C$ lisses à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées.
\[
\text{Si } f \in \mathcal{S}(F), \quad \hat{\hat{f}}(y)=\int_F f(x) \psi(xy) \, dx = f(-y) \quad (\text{et } \hat{\hat{f}} \in \mathcal{S}(F)).
\]


\subsection{Fonctions zêta archimédiennes:}
- On prend $F=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On fixe un caractère additif de $F$ :
$$
\psi_{\mathbb{R}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{U}, x \mapsto e^{-2 i \pi x}
$$
$$
\psi_{\mathbb{C}}=\psi_{\mathbb{R}} \circ T_{\mathbb{C}}.
$$
On considère la mesure de Lebesgue $dx$ sur $\mathbb{R}$, et $d z d \bar{z}=2 d x d y $ sur $\mathbb{C}$.

\begin{prop}
    $a \mapsto \psi_a$ réalise un isomorphisme topologique de $F$ sur son dual de Pontryagin.
\end{prop}
\underline{Transformation de Fourier :}

On prend $\mathcal{S}(F)$ l'espace de Schwartz des fonctions $f: F \rightarrow \C$ lisses à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées.
\[
\text{Si } f \in \mathcal{S}(F), \quad \hat{\hat{f}}(y)=\int_F f(x) \psi(xy) \, dx = f(-y) \quad (\text{et } \hat{\hat{f}} \in \mathcal{S}(F)).
\]
