
Pour l'inclusion réciproque, on va montrer que $\forall \chi \in W , \; \forall K_1 \subseteq G$ compact $\forall m \geq 1 , \\  W(\chi) := W \cap \chi \cdot W(K_1, N(1 / m))$ est un voisinage de $\chi$ pour $\tau_0$.\\
\ \\
$K$ étant un voisinage compact de $e$ dans $G$, $\exists V$ voisinage ouvert de $e$ dans $G$ tel que $V^{(2 m)} \subseteq K$. \\
Par compacité de $K_1$, $\exists F$ ensemble fini de $K_1$ tel que $K_1 \subseteq F V$. 

Posons $W_0(\chi) := W_0 \cap \chi \cdot W_0(F, N(1 / 2 m))$. C'est un ouvert de $\tau_0$ qui contient $\chi$. Il suffit de voir que $W_0(\chi) \subseteq W(\chi)$.


Soit $\mu \in W_0(\chi) \subseteq W_0 = W. $ On a $ \mu = \chi \mu_0$ avec $\mu_0 \in W_0(F, N(1 / 2 m))$. \\
$\mu_0 \in \hat{G}_0$ mais $\mu_0 = \mu \chi^{-1} \in \widehat{G} \cdot \widehat{G} = \widehat{G}$ donc $\mu_0$ est continue pour la topologie de $G$.

$$
\mu_0(K) \subseteq \mu(K) \chi^{-1}(K) \subseteq \overline{N(1 / 4)} \overline{N(1 / 4)} \subseteq N(1) \quad \text{d'où } \mu_0 \in W(K, N(1)).
$$ \\
Par conséquent, $\mu_0\left(V^{(2n)}\right) \subseteq N(1)$ et par le lemme, $\mu_0(V) \subseteq N(1 / 2 m)$. \\
Donc, $\mu_0\left(K_1\right) \subseteq \mu_0(F \cdot V) \subseteq N(1 / 2 m) \cdot \mu_0(V) \subseteq N(1 / 2 m) N(1 / 2 m) \subseteq N(1 / m)$.

Ainsi, $\mu_0 \in W\left(K_1, N(1 / m)\right)$ et $\mu = \chi \mu_0 \in W(\chi)$.
\end{enumerate}
\end{proof}


Pour l'inclusion réciproque, on va montrer que $\forall \chi \in W , \; \forall K_1 \subseteq G$ compact $\forall m \geq 1 , \\  W(\chi) := W \cap \chi \cdot W(K_1, N(1 / m))$ est un voisinage de $\chi$ pour $\tau_0$.\\
\ \\
$K$ étant un voisinage compact de $e$ dans $G$, $\exists V$ voisinage ouvert de $e$ dans $G$ tel que $V^{(2 m)} \subseteq K$. \\
Par compacité de $K_1$, $\exists F$ ensemble fini de $K_1$ tel que $K_1 \subseteq F V$. 

Posons $W_0(\chi) := W_0 \cap \chi \cdot W_0(F, N(1 / 2 m))$. C'est un ouvert de $\tau_0$ qui contient $\chi$. Il suffit de voir que $W_0(\chi) \subseteq W(\chi)$.


Soit $\mu \in W_0(\chi) \subseteq W_0 = W. $ On a $ \mu = \chi \mu_0$ avec $\mu_0 \in W_0(F, N(1 / 2 m))$. \\
$\mu_0 \in \hat{G}_0$ mais $\mu_0 = \mu \chi^{-1} \in \widehat{G} \cdot \widehat{G} = \widehat{G}$ donc $\mu_0$ est continue pour la topologie de $G$.

$$
\mu_0(K) \subseteq \mu(K) \chi^{-1}(K) \subseteq \overline{N(1 / 4)} \overline{N(1 / 4)} \subseteq N(1) \quad \text{d'où } \mu_0 \in W(K, N(1)).
$$ \\
Par conséquent, $\mu_0\left(V^{(2n)}\right) \subseteq N(1)$ et par le lemme, $\mu_0(V) \subseteq N(1 / 2 m)$. \\
Donc, $\mu_0\left(K_1\right) \subseteq \mu_0(F \cdot V) \subseteq N(1 / 2 m) \cdot \mu_0(V) \subseteq N(1 / 2 m) N(1 / 2 m) \subseteq N(1 / m)$.

Ainsi, $\mu_0 \in W\left(K_1, N(1 / m)\right)$ et $\mu = \chi \mu_0 \in W(\chi)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
