
\begin{proof}~

Si $f \in C_c^{\infty}(F)$, $f$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs. \\
En effet, $\operatorname{supp}(f)=\bigcup\limits_{x \in \text{supp} (f)} U_x$ où $U_x$ est tel que $\left.f\right|_{U_x}$ est constante. Comme $\operatorname{supp}(f)$ est compact, on a un recouvrement fini.\\

Soient $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ les valeurs non nulles prises par $f$. Alors, $f=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \1_{f^{-1}(\alpha_i)}$, où $f^{-1}(\alpha_i)$ est fermé dans un compact, donc compact.\\

On est donc ramené à prouver la propriété pour $f=\1_K $ où $K$ est compact et ouvert. \\
Pour tout $a \in K$, il existe $n_a$ tel que $(a+\varpi^{n_a} \OO) \subseteq K$. \\
Puisque $K=\bigcup\limits_{a \in K}(a+\varpi^n \OO)$, on peut extraire un sous-recouvrement fini $K=\bigcup\limits_{i=1}^n(a_i+\varpi^{n_i} \OO)$. \\
Ces boules étant disjointes ou incluses l'une dans l'autre, on peut supposer cette union disjointe. Alors, $\1_K=\sum\limits_{i=1}^n \1_{a_i+\varpi^{n_i} \OO}$.
\end{proof}



\begin{proof}~

Si $f \in C_c^{\infty}(F)$, $f$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs. \\
En effet, $\operatorname{supp}(f)=\bigcup\limits_{x \in \text{supp} (f)} U_x$ où $U_x$ est tel que $\left.f\right|_{U_x}$ est constante. Comme $\operatorname{supp}(f)$ est compact, on a un recouvrement fini.\\

Soient $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ les valeurs non nulles prises par $f$. Alors, $f=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \1_{f^{-1}(\alpha_i)}$, où $f^{-1}(\alpha_i)$ est fermé dans un compact, donc compact.\\

On est donc ramené à prouver la propriété pour $f=\1_K $ où $K$ est compact et ouvert. \\
Pour tout $a \in K$, il existe $n_a$ tel que $(a+\varpi^{n_a} \OO) \subseteq K$. \\
Puisque $K=\bigcup\limits_{a \in K}(a+\varpi^n \OO)$, on peut extraire un sous-recouvrement fini $K=\bigcup\limits_{i=1}^n(a_i+\varpi^{n_i} \OO)$. \\
Ces boules étant disjointes ou incluses l'une dans l'autre, on peut supposer cette union disjointe. Alors, $\1_K=\sum\limits_{i=1}^n \1_{a_i+\varpi^{n_i} \OO}$.
\end{proof}

