
Pour $\chi=\eta |.|^s$, on a $n_\chi=n_\eta$. Considérons $g \in C_c^\infty(F)$ définie par :
$$
g(x)= \begin{cases}
\psi(x) & \text{ si } x \in \varpi^{n_\psi-n_\chi} \ . \\
0 & \text{ sinon }
\end{cases}
$$
$\rightarrow$ Si  $n_\chi>0$ :
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{Z}(g, \chi)=\int_{F^{\times}} g(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& =\int_{F^{\times} \cap \varpi^{n_\psi-n_\chi} \OO} \psi(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& =\sum_{n \geqslant n_\psi-n_\chi} \chi ( \varpi )^n \int_{\OO^{\times}} \psi(\varpi^n x) \overbrace{\chi(x)}^{\eta(x)} \, dx^{\times} \\
& =\sum_{n \geqslant n_\psi-n_\chi} \chi(\varpi)^n G\left(\chi, \psi_{\varpi^n}\right)
\end{aligned}
$$
Or $ G\left(\chi, \psi_{\varpi^n}\right)=0$ si $n_\chi>n_\psi-n$ c'est-à-dire si $n>n_\psi-n_\chi$. \\

Ainsi, $\mathcal{Z}(g, \chi)=q^{\left(n_\chi-n_\psi\right) s} \underbrace{G\left(\chi, \psi_{\varpi^{n_\psi-n_\chi}}\right)}_{| \cdot |^2 \neq 0}$ d'où :


Pour $\chi=\eta |.|^s$, on a $n_\chi=n_\eta$. Considérons $g \in C_c^\infty(F)$ définie par :
$$
g(x)= \begin{cases}
\psi(x) & \text{ si } x \in \varpi^{n_\psi-n_\chi} \ . \\
0 & \text{ sinon }
\end{cases}
$$
$\rightarrow$ Si  $n_\chi>0$ :
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{Z}(g, \chi)=\int_{F^{\times}} g(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& =\int_{F^{\times} \cap \varpi^{n_\psi-n_\chi} \OO} \psi(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& =\sum_{n \geqslant n_\psi-n_\chi} \chi ( \varpi )^n \int_{\OO^{\times}} \psi(\varpi^n x) \overbrace{\chi(x)}^{\eta(x)} \, dx^{\times} \\
& =\sum_{n \geqslant n_\psi-n_\chi} \chi(\varpi)^n G\left(\chi, \psi_{\varpi^n}\right)
\end{aligned}
$$
Or $ G\left(\chi, \psi_{\varpi^n}\right)=0$ si $n_\chi>n_\psi-n$ c'est-à-dire si $n>n_\psi-n_\chi$. \\

Ainsi, $\mathcal{Z}(g, \chi)=q^{\left(n_\chi-n_\psi\right) s} \underbrace{G\left(\chi, \psi_{\varpi^{n_\psi-n_\chi}}\right)}_{| \cdot |^2 \neq 0}$ d'où :
