
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] Si $G$ est discret, $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est muni de la topologie induite par la topologie produit sur $\mathbb{U}^G$. Or, ce dernier est compact. Il suffit donc de montrer que $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est fermé.

    Soit $\phi \in \mathbb{U}^G$ qui est dans l'adhérence de $\hat{G}$. Soit $\varepsilon > 0$, pour $\forall x \in G$, définissons \\
    $B_x := \left\{\psi \in \mathbb{U}^G \mid |\psi(x)-\phi(x)| < \varepsilon\right\}$ est un ouvert de $\U^G$ qui contient $\phi$. 

    Pour $(x, y) \in G^2$, soit $\chi \in B_x \cap B_y \cap B_{xy} \cap \hat{G}$ qui est un ouvert non vide ($\phi$ est dans l'adhérence de $\hat{G}$). On a :
    \begin{align*}
        |\phi(x)\phi(y)-\phi(xy)| &\leqslant |\phi(x)-\chi(x)|\cdot|\phi(y)| + |\chi(x)|\cdot|\phi(y)-\chi(y)| + |\chi(xy)-\phi(xy)| \\
        &< 3\varepsilon.
    \end{align*}
    Puisque $\varepsilon$ est arbitraire, on conclut que $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$. Ainsi, $\phi \in \hat{G}$ (et $\phi$ est bien continue car $G$ est discret) et donc $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est fermé.

    \item[(ii)] Si $G$ est compact, $W(G, N(1))$ est un voisinage compact de $\1$. Pour tout $\chi \in W(G, N(1))$, $\chi(G)$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dans $N(1)$, donc trivial. Ainsi, $\{\1\} = W(G, N(1))$ est ouvert, et $\hat{G}$ est discret.

    \item[(iii)] Il suffit de voir que les $W(K, \overline{N(1 / 4)})$, où $K$ est un voisinage compact de $e$, sont compacts dans $\hat{G}$ (ils forment une base de voisinage de $\1$).
    
    On note $G_0$ le groupe topologique discret ayant le même groupe sous-jacent que $G$ et on fixe un voisinage compact $K$ de $e$ dans $G$.
    
On considère $W_0 = \{\chi \in \hat{G}_0 \mid \chi(K) \subseteq \overline{N(1 / 4)}\}$ et $W = W(K, \overline{N(1 / 4)})$ et on veut montrer que $W$ est compact.

$W_0$ l'est, car il est fermé dans $\hat{G}_0$ qui est compact par (i).\\
\ \\
Bien sûr, $W \subseteq W_0$.
Mais on a aussi $W_0 \subseteq W$, car si $K \subseteq \chi^{-1}(\overline{N(1 / 4)}) \subseteq \chi^{-1}(N(1))$, cela montre que $\chi^{-1}(N(1))$ est un voisinage de $e \in G$, le lemme dit que $\chi$ est continue, donc $\chi \in \widehat{G}$. \\
\ \\
Ainsi ensemblistement $W=W_0$. On a deux topologies sur $W$, issues de $\hat{G}$ et $\hat{G}_0$. Montrons qu'elles sont identiques:
\begin{itemize}
    \item La topologie sur $\hat{G}$ est engendrée par les ensembles :
    $$
    \mathcal{W}(K, U) := \{\chi \in \hat{G} \mid \chi(K) \subseteq U\}, \quad K \subseteq G \text{ compact, } U \subseteq \mathbb{U} \text{ ouvert}
    $$
    \item La topologie sur $\hat{G}_0$ est engendrée par les ensembles :
    $$
    W_0(K_0, U_0) = \{\chi \in \hat{G}_0 \mid \chi(K_0) \subseteq U_0\}, \quad K_0 \subseteq G_0 \text{ compact (ie fini) }, U_0 \subseteq \U \text{ ouvert}
    $$
\end{itemize}


\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] Si $G$ est discret, $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est muni de la topologie induite par la topologie produit sur $\mathbb{U}^G$. Or, ce dernier est compact. Il suffit donc de montrer que $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est fermé.

    Soit $\phi \in \mathbb{U}^G$ qui est dans l'adhérence de $\hat{G}$. Soit $\varepsilon > 0$, pour $\forall x \in G$, définissons \\
    $B_x := \left\{\psi \in \mathbb{U}^G \mid |\psi(x)-\phi(x)| < \varepsilon\right\}$ est un ouvert de $\U^G$ qui contient $\phi$. 

    Pour $(x, y) \in G^2$, soit $\chi \in B_x \cap B_y \cap B_{xy} \cap \hat{G}$ qui est un ouvert non vide ($\phi$ est dans l'adhérence de $\hat{G}$). On a :
    \begin{align*}
        |\phi(x)\phi(y)-\phi(xy)| &\leqslant |\phi(x)-\chi(x)|\cdot|\phi(y)| + |\chi(x)|\cdot|\phi(y)-\chi(y)| + |\chi(xy)-\phi(xy)| \\
        &< 3\varepsilon.
    \end{align*}
    Puisque $\varepsilon$ est arbitraire, on conclut que $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$. Ainsi, $\phi \in \hat{G}$ (et $\phi$ est bien continue car $G$ est discret) et donc $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est fermé.

    \item[(ii)] Si $G$ est compact, $W(G, N(1))$ est un voisinage compact de $\1$. Pour tout $\chi \in W(G, N(1))$, $\chi(G)$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dans $N(1)$, donc trivial. Ainsi, $\{\1\} = W(G, N(1))$ est ouvert, et $\hat{G}$ est discret.

    \item[(iii)] Il suffit de voir que les $W(K, \overline{N(1 / 4)})$, où $K$ est un voisinage compact de $e$, sont compacts dans $\hat{G}$ (ils forment une base de voisinage de $\1$).
    
    On note $G_0$ le groupe topologique discret ayant le même groupe sous-jacent que $G$ et on fixe un voisinage compact $K$ de $e$ dans $G$.
    
On considère $W_0 = \{\chi \in \hat{G}_0 \mid \chi(K) \subseteq \overline{N(1 / 4)}\}$ et $W = W(K, \overline{N(1 / 4)})$ et on veut montrer que $W$ est compact.

$W_0$ l'est, car il est fermé dans $\hat{G}_0$ qui est compact par (i).\\
\ \\
Bien sûr, $W \subseteq W_0$.
Mais on a aussi $W_0 \subseteq W$, car si $K \subseteq \chi^{-1}(\overline{N(1 / 4)}) \subseteq \chi^{-1}(N(1))$, cela montre que $\chi^{-1}(N(1))$ est un voisinage de $e \in G$, le lemme dit que $\chi$ est continue, donc $\chi \in \widehat{G}$. \\
\ \\
Ainsi ensemblistement $W=W_0$. On a deux topologies sur $W$, issues de $\hat{G}$ et $\hat{G}_0$. Montrons qu'elles sont identiques:
\begin{itemize}
    \item La topologie sur $\hat{G}$ est engendrée par les ensembles :
    $$
    \mathcal{W}(K, U) := \{\chi \in \hat{G} \mid \chi(K) \subseteq U\}, \quad K \subseteq G \text{ compact, } U \subseteq \mathbb{U} \text{ ouvert}
    $$
    \item La topologie sur $\hat{G}_0$ est engendrée par les ensembles :
    $$
    W_0(K_0, U_0) = \{\chi \in \hat{G}_0 \mid \chi(K_0) \subseteq U_0\}, \quad K_0 \subseteq G_0 \text{ compact (ie fini) }, U_0 \subseteq \U \text{ ouvert}
    $$
\end{itemize}
