
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] $|f(x) \psi(x y)|_{\infty} = |f(x)|_{\infty}$, donc l'intégrale est absolument convergente (on a même $x \mapsto f(x) \psi(x y)) \in C_c^{\infty}(F)$). \\
    L'intégrale qui définit $\hat{f}$ a donc un sens.
    \item[(ii),(iii)] Par linéarité, il suffit de prouver le théorème pour $f = \1_{a + \varpi^n \OO}$, pour $a \in F$ et $n \in \Z$.\\
    Pour $y \in F$, on calcule:
$$
\begin{aligned}
& \hat{f}(y) = \int_F \1_{a+\varpi^{n} \OO}(x) \psi(x y) \,dx \, {=} \int_F \1_{a+\varpi^{n} \OO}(a+x) \psi((a+x) y) \,dx \\
& = \psi(a y) \int_{\varpi^n \OO} \psi(x y) \,dx.
\end{aligned}
$$
\end{enumerate}
\end{proof}



\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] $|f(x) \psi(x y)|_{\infty} = |f(x)|_{\infty}$, donc l'intégrale est absolument convergente (on a même $x \mapsto f(x) \psi(x y)) \in C_c^{\infty}(F)$). \\
    L'intégrale qui définit $\hat{f}$ a donc un sens.
    \item[(ii),(iii)] Par linéarité, il suffit de prouver le théorème pour $f = \1_{a + \varpi^n \OO}$, pour $a \in F$ et $n \in \Z$.\\
    Pour $y \in F$, on calcule:
$$
\begin{aligned}
& \hat{f}(y) = \int_F \1_{a+\varpi^{n} \OO}(x) \psi(x y) \,dx \, {=} \int_F \1_{a+\varpi^{n} \OO}(a+x) \psi((a+x) y) \,dx \\
& = \psi(a y) \int_{\varpi^n \OO} \psi(x y) \,dx.
\end{aligned}
$$
\end{enumerate}
\end{proof}

