
\underline{Caractères multiplicatifs de $F^*$:}

Pour $F=\R: $ Comme $\R^*=\{ \pm 1\} \times \R_{+}^* $,\\
Un caractère s'écrit $\chi = \left(\operatorname{sgn}\right)^{\varepsilon}\left|\cdot\right|^{s},$ avec $ \in \C, \, \varepsilon \in\{0,1\}$ et $|\cdot|$ est la valeur absolue usuelle. \\

Pour $F=\C: $ Comme $\C^*=\U \times \R_{+}^* $,\\
Un caractère s'écrit $\chi(z)=\left(\frac{z}{|z|^{1 / 2}}\right)^n|z|_{\C}^s$, avec $ n \in \Z$ et $|z|_C=z \bar{z}$ est la valeur absolue normalisée sur $\C$.\\
\underline{Facteurs $L$}

La fonction $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} t^s e^{-t} \frac{dt}{t}$ admet un prolongement méromorphe à $\C$ holomorphe sur $\C \setminus (-\N)$ (pôles simples sur cet ensemble).

\[
\Gamma_{\R}(s):=\pi^{-s / 2} \Gamma(s / 2) \qquad \Gamma_{\C}(s):=2 \cdot (2 \pi)^{-s} \Gamma(s)
\]

On a:
\begin{aligned}[t]
&L\left(\left(\frac{x}{|x|}\right)^{\varepsilon} |.|^s\right)=\Gamma_{\R}(s+\varepsilon) \\&L\left(\left(\frac{z}{|z|^{1 / 2}}\right)^n|\cdot|_{\C}^s\right)=\Gamma_{\C}\left(s+\frac{|n|}{2}\right).
\end{aligned}

Pour un caractère multiplicatif $\chi$ de $F^*$ et $f \in \mathcal{S}(F)$, on considère :
\[
\mathcal{Z}(f, \chi)=\int_{F^*} f(x) \chi(x) \, dx^\times \quad \text{où } dx^\times=\frac{dx}{|x|}.
\]


\underline{Caractères multiplicatifs de $F^*$:}

Pour $F=\R: $ Comme $\R^*=\{ \pm 1\} \times \R_{+}^* $,\\
Un caractère s'écrit $\chi = \left(\operatorname{sgn}\right)^{\varepsilon}\left|\cdot\right|^{s},$ avec $ \in \C, \, \varepsilon \in\{0,1\}$ et $|\cdot|$ est la valeur absolue usuelle. \\

Pour $F=\C: $ Comme $\C^*=\U \times \R_{+}^* $,\\
Un caractère s'écrit $\chi(z)=\left(\frac{z}{|z|^{1 / 2}}\right)^n|z|_{\C}^s$, avec $ n \in \Z$ et $|z|_C=z \bar{z}$ est la valeur absolue normalisée sur $\C$.\\
\underline{Facteurs $L$}

La fonction $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} t^s e^{-t} \frac{dt}{t}$ admet un prolongement méromorphe à $\C$ holomorphe sur $\C \setminus (-\N)$ (pôles simples sur cet ensemble).

\[
\Gamma_{\R}(s):=\pi^{-s / 2} \Gamma(s / 2) \qquad \Gamma_{\C}(s):=2 \cdot (2 \pi)^{-s} \Gamma(s)
\]

On a:
\begin{aligned}[t]
&L\left(\left(\frac{x}{|x|}\right)^{\varepsilon} |.|^s\right)=\Gamma_{\R}(s+\varepsilon) \\&L\left(\left(\frac{z}{|z|^{1 / 2}}\right)^n|\cdot|_{\C}^s\right)=\Gamma_{\C}\left(s+\frac{|n|}{2}\right).
\end{aligned}

Pour un caractère multiplicatif $\chi$ de $F^*$ et $f \in \mathcal{S}(F)$, on considère :
\[
\mathcal{Z}(f, \chi)=\int_{F^*} f(x) \chi(x) \, dx^\times \quad \text{où } dx^\times=\frac{dx}{|x|}.
\]
