SFE_1.3 [2483] | Sistemes Fora de l'Equilibri (UB) | Unybook
SFE_1.3 (2014)
SFE_1.3
1.3 Problema: Esfera perfectament absorbent. Considereu un reservori infinitament gran amb una concentraci´ o inicial de part´ıcules homog`enia ﬂ0 . S’hi introdueix una esfera perfectament absorbent de radi R (que, per tant, compleix ﬂ(r, t) = 0 quan r Æ R). Estudieu el perfil estacionari de la densitat de part´ıcules ﬂ(r, t æ Œ) al voltant de l’esfera. Trobeu tamb´e el flux (nombre de part´ıcules absorbides per l’esfera per unitat de temps) en aquest r`egim estacionari.
Soluci´ o: Tenim una esfera en un tanc molt gran d’aigua salada, per exemple. La concentraci´o de sal en aquest tanc en funci´ o del temps i del punt que es consideri, v´e caracteritzada ´ a dir, en el per una funci´ o ﬂ(r, t) que compleix que ﬂ(r, 0) = ﬂ0 i ﬂ(r Æ R, t) = 0. Es nostre model, consideram que l’esfera absorbent ´es una mena de “forat negre” que es traga sal. En el perfil estacionari, ﬂ(r, t) = ﬂ(r). Anant a l’equaci´o de la difusi´o, 0 ✓ ˆﬂ(r) = DÒ2 ﬂ(r) =∆ Ò2 ﬂ(r) = 0.
ˆt (0.28) Donat que l’aparell que absorbeix t´e simetria esf`erica (es tracta d’una esfera), sembla raonable pensar que la densitat de sal del tanc tamb´e tindr`a simetria esf`erica. Per tant, 3 4 1 d A 2 dﬂ(r) r = 0 =∆ ﬂ(r) = ≠ + B.
(0.29) 2 r dr dr r Si imposam les condicions de contorn: ﬂ(Œ) = ﬂ0 i ﬂ(R) = 0, trobam el perfil estacionari que busc` avem: 3 4 R ﬂ(r) = ﬂ0 1 ≠ , per R Æ r (0.30) r Ara, podem calcular el corrent associat, i d’aqu´ı, el corresponent flux de part´ıcules.
De la llei de Fick es t´e ˛ ˛äN = ≠DÒﬂ(r) =∆ ˛äN = ≠D dﬂ 1 eˆr = ≠Dﬂ0 R 2 eˆr .
dr r (0.31) El flux de part´ıcules de sal a trav´es de la superf´ıcie de l’esfera ser`a: (r = R) = ⁄ ˛ = ≠Dﬂ0 R 1 4ﬁR2 =∆ ˛ä(r = R) · dS R2 S (r = R) = ≠4ﬁDﬂ0 R (0.32) Un fet curi´ os, ´es que en el r`egim estacionari, el nombre de part´ıcules que passen per la superf´ıcie de l’esfera per unitat de temps, no dep`en de la superf´ıcie de la mateixa.
El flux ´es lineal amb R i no pas quadr`atic. Notar que el flux ha sortit negatiu, la qual cosa ´es consistent amb el fet de que considerem una esfera que absrobeix sal (es tracta d’un embornal).
Sistemes Fora de l'Equilibri - SFE_1.8 (2014) Ejercicio