Факултет по математика и информатика - Теория на числата
Начало Обучение Дисциплини в учебните планове на специалностите Математика (бакалавър) Учебен план Теория на числата English
Курсът включва два основни дяла на Теория на числата – елементарна теория на числата и аналитична теория на числата. В елементарната теория на числата се изучават основните свойства на числовите функции, сравненията, показателите, примитивните корени, индексите и теорията на квадратичните остатъци. Основно място в аналитичната теория на числата заемат асимптотичният закон за разпределение на простите числа и знаменитият резултат на Дирихле за аритметичната прогресия. Преминава се също през резултатите на Ойлер и Чебишев.
Делимост на целите числа. Изучават се основни свойства на делимостта, принцип за добрата наредба на ес тествените числа, деление с частно и остатък, най-голям общ делител и алгоритъм на Евклид, най-малко общо кратно, прости числа и основна теорема на аритметиката.
Теория на сравненията. Сравнения от първа степен с едно неизвестно, системи сравнения, сравнения при прост модул и сравнения при съставен модул.
Числови функции – основни свойства, функция на Ойлер, функция и формула на Мьобиус за обръщането, теорема на Ферма-Ойлер.
Примитивни корени и индекси, биномни сравнения, показатели, приложение на индексите за решаване на двучленни сравнения.
Теория на квадратичните остатъци. Символ на Льожандър, закон на Гаус за реципрочност на квадратичните остатъци, представяне на числата като сума от два квадрата и от четири квадрата.
Резултати на Ойлер и Чебишев – теорема на Ойлер, функции на Чебишев, теорема на Чебишев.
Дзета-функция на Риман – основни свойства, тъждество на Ойлер, аналитично продължение на функцията дзета и функционално уравнение, преобразувания на Абел, нули, оценки и обобщение на функцията дзета.
Асимптотичен закон за разпределение на простите числа – функция , основна теорема за простите числа, асимптотична оценка за -тото просто число.
Редове на Дирихле – основни свойства, абсциса на сходимост, характери, специални редове на Дирихле, -редове и -функции на Дирихле, теорема на Дирихле за аритметичната прогресия.
Проблеми в теорията на числата – прости числа близнаци, нечетни съвършени числа, прости числа на Мерсен и Ферма, прости числа от редицата , голяма теорема на Ферма, хипотези на Голдбах и Ойлер, хипотеза на Артин, хипотеза на Риман.