f 0 ( x ) y + f 1 ( x ) y ′ + … + f n ( x ) y ( n ) = g ( x ) {\displaystyle f_{0}(x)y+f_{1}(x)y'+\ldots +f_{n}(x)y^{(n)}=g(x)\,} ,
kus funktsiooni f 0 ( x ) {\displaystyle f_{0}(x)} , f 1 ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)} ,..., f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)} ja g ( x ) {\displaystyle g(x)} on tuntud funktsioonid. Viimasele võrrandile vastav diferentsiaaloperaator on
L = f 0 ( x ) + f 1 ( x ) d d x + f 1 ( x ) d 2 d x 2 + … + f n ( x ) d n d x n {\displaystyle L=f_{0}(x)+f_{1}(x){\frac {d}{dx}}+f_{1}(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+\ldots +f_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}} ,
kus d / d x {\displaystyle d/dx} on tuletise võtmise operaator, st d y / d x = y ′ {\displaystyle dy/dx=y'} , d 2 y / d x 2 = y ″ {\displaystyle d^{2}y/dx^{2}=y''} jne.
Homogeensete lineaarsete võrrandite lahendid moodustavad vektorruumi, st lahendite liitmisel ja nende arvuga korrutamisel saadav funktsioon on samuti lahend. Tõepoolest, olgu y 1 {\displaystyle y_{1}} ja y 2 {\displaystyle y_{2}} homogeense võrrandi L y = 0 {\displaystyle Ly=0} lahendid. Vastavalt lineaarsuse tingimusele kehtib L ( α y 1 + β y 2 ) = α L x + β L y = 0 {\displaystyle L(\alpha y_{1}+\beta y_{2})=\alpha Lx+\beta Ly=0} , st ka y = α y 1 + β y 2 {\displaystyle y=\alpha y_{1}+\beta y_{2}} lahendab võrrandi L y = 0 {\displaystyle Ly=0} .
Kui y {\displaystyle y} on mittehomogeense võrrandi L y = g {\displaystyle Ly=g} ja y 1 {\displaystyle y_{1}} on vastava homogeense võrrandi L y = 0 {\displaystyle Ly=0} mõni vabalt valitud lahend, siis y + y 1 {\displaystyle y+y_{1}} on samuti mittehomogeense võrrandi lahend, st L ( y + y 1 ) = L y + L y 1 = g + 0 = g {\displaystyle L(y+y_{1})=Ly+Ly_{1}=g+0=g} .