El Campo Eléctrico. Distribuciones discretas de carga - PDF
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Julio Maldonado Sáez
1 El Campo Eléctrico. Distribuciones discretas de carga 1. A qué distancia deben encontrarse dos cargas de 1 nc para que la fuerza de repulsión entre ellas sea de 0 1 N? DATO: K = N m 2 /C 2 2. Dos cargas positivas iguales q están situadas en vértices opuestos de un cuadrado. Otras dos cargas iguales q ocupan los otros dos vértices. Halla para qué relación entre q y q la fuerza resultante sobre las cargas es cero. DATO: K = N m 2 /C 2 3. Dibuja: a) Las líneas del campo correspondiente a un dipolo eléctrico (dos cargas iguales y opuestas separadas por una pequeña distancia). b) De forma aproximada, las líneas del campo eléctrico contenidas en un plano en el que hay dos cargas eléctricas, una de valor Q y otra de valor 2Q. c) Las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales de un campo eléctrico debido a dos cargas puntuales negativas. 1
2 4. A una gotita de aceite se han adherido varios electrones, de forma que adquiere una carga de C. La gotita cae inicialmente por su peso, pero se frena y queda en suspensión gracias a la aplicación de un campo eléctrico. La masa de la gotita es de kg y puede considerarse puntual. a) Determina cuántos electrones se han adherido. b) Cuál es el valor del campo eléctrico aplicado para que la gotita quede detenida? c) Calcula la fuerza eléctrica entre esta gotita y otra de idénticas propiedades, si la separación entre ambas es de 10 cm. Indica si la fuerza es atractiva o repulsiva. DATOS: e = C; K = N m 2 /C 2 5. Dos pequeñas esferas de igual masa m y cargas eléctricas +q y q cuelgan de sendos hilos de igual longitud. Debido a la atracción electrostática, los hilos forman un ángulo α = 30º con la vertical, y la distancia de equilibrio entre ambas esferas vale d = 1 m. a) Dibuja las fuerzas que actúan sobre cada esfera. b) Calcula el valor de q. c) Calcula los valores de las fuerzas. DATOS: m = 1 g; g = 10 m/s 2 2
3 6. Dadas dos cargas puntuales q 1 = 2 C y q 2 = 3 C, separadas una distancia d = 40 cm, calcular el campo eléctrico en el punto medio del segmento que las une. DATO: ε 0 = C 2 /N m 2 7. Dos cargas eléctricas puntuales q 1 = 40 μc y q 2 = 62 μc están sobre dos vértices de un cuadrado de 12 mm de lado (según la figura adjunta). Cuánto valen los campos eléctricos generados en el punto P por q 1 y q 2? Y el campo suma de ambos? 8. Dos cargas puntuales iguales están separadas por una distancia d. a) Es nulo el campo eléctrico total en algún punto? Si es así, cuál es la posición de dicho punto? b) Repite el apartado anterior suponiendo que las cargas fueran de distinto signo. 3
4 9. Dos cargas puntuales de 3 μc y de +3 μc se encuentran situadas en el plano OXY, en los puntos ( 1,0) y (1,0) respectivamente. Determina el vector campo eléctrico en: a) El punto de coordenadas (10,0). b) El punto de coordenadas (0,10). DATO: K = N m 2 /C 2 4
5 Potencial eléctrico 10. Explica qué son las líneas de fuerza de un campo eléctrico. Cómo están relacionadas con las superficies equipotenciales? Explica cómo son y dibuja las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales del campo creado por una esfera cargada positivamente y por una placa indefinida cargada negativamente. Supón que, en ambos casos, las densidades de carga son uniformes. 11. Sea un dipolo eléctrico formado por dos cargas puntuales q 1 = 3 μc y q 2 = 3 μc separadas 2 cm. Calcula en el punto medio del segmento que las une: a) El campo eléctrico. b) El potencial eléctrico. DATO: K = N m 2 /C 2 5
6 12. Sea un cuadrado de 6 cm de lado. En tres de sus vértices se hallan fijas tres cargas eléctricas puntuales de 3 μc. Halla: a) El vector intensidad de campo eléctrico en el centro del cuadrado y en el cuarto vértice. b) La diferencia de potencial entre esos dos puntos. DATO: K = N m 2 /C 2 6
7 13. El potencial y el campo eléctrico a cierta distancia de una carga puntual valen 600 V y 200 N/C, respectivamente. Cuál es la distancia a la carga puntual? Cuál es el valor de la carga? DATO: K = N m 2 /C Dos cargas positivas e iguales están situadas en el eje y; una está situada en y = a, y la otra en y = a. a) Calcula el campo y el potencial eléctrico en un punto situado sobre el eje x y a una distancia d del origen. b) Cómo varía el resultado si a >> d? Y si es d >> a? 7
8 15. Dos esferas conductoras aisladas, de 12 y 20 cm de radio, que se encuentran en una zona del espacio vacío y con sus centros separados 10 m, están cargadas cada una con una carga de C. Las cargas se ponen en contacto mediante un hilo conductor y se alcanza una situación de equilibrio. Calcula: a) La fuerza que se ejercen entre sí ambas esferas cuando están aisladas. b) El potencial al que se encuentra cada una de las esferas antes de ponerlas en contacto. c) La carga y el potencial de cada esfera cuando, una vez conectadas, se establece el equilibrio. DATO: K = Nm 2 /C Dos placas metálicas horizontales y paralelas están separadas una distancia de 2 cm. La diferencia de potencial entre ellas es de 120 V. Calcula la intensidad del campo eléctrico en el espacio comprendido entre las placas y la fuerza eléctrica que actúa sobre un electrón situado entre ellas. DATO: e = C 8
9 17. En un relámpago típico, la diferencia de potencial entre la nube y la tierra es 10 9 V y la cantidad de carga transferida vale 30 C. Cuánta energía se libera? Suponiendo que el campo eléctrico entre la nube y la tierra es uniforme y perpendicular a la tierra, y que la nube se encuentra a 500 m sobre el suelo, calcula la intensidad del campo eléctrico. La energía liberada es el producto de la carga por el potencial: E = q V = = J. Para un campo eléctrico uniforme se cumple: V = E d E = V d = = V/m. 18. Se tiene una carga q = 40 nc en el punto A(1,0) cm y otra carga q = 10 nc en el punto A (0,2) cm. Calcula la diferencia de potencial eléctrico entre el origen de coordenadas y el punto B(1,2) cm. DATO: K = N m 2 /C 2 En el origen (0, 0), V TOT = V 1 + V 2 = K q r En el punto B(1, 2), V TOT = V 1 + V 2 = K q r Por tanto, V = V i V f = V q + K r = = V. q + K r = = 900 V. 19. Dos pequeñas esferas conductoras de radios r 1 = 1 cm y r 2 = 2 cm se encuentran cargadas con cargas q 1 = 5 nc y q 2 = 2 nc respectivamente. a) Si la distancia que separa sus centros es muy superior a sus radios, determina el potencial al que se encuentra la esfera. b) Si las esferas se unen con un hilo conductor de capacidad despreciable, calcula la carga y el potencial que adquiere cada esfera. DATO: K = Nm 2 /C 2 9
10 Trabajo para transportar una carga entre dos puntos del campo 20. Un campo eléctrico está generado por dos cargas: una de +8 nc, fija en el origen de coordenadas, y otra de 8 nc, situada en el punto (0,3). Las distancias están expresadas en cm. Calcula: a) El potencial eléctrico en el punto P(4,3) y en el punto P (0,2). b) El trabajo necesario para trasladar una carga de +0,2 nc desde el punto P hasta el punto P. DATO: K = N m 2 /C Colocamos tres cargas iguales de valor 2 μc en los puntos (1,0), ( 1,0) y (0,1) m. a) Calcula el vector campo eléctrico en el punto P(0,0). b) Cuál es el trabajo necesario para trasladar una carga eléctrica puntual de valor 1 μc desde el punto (0,0) al punto (0, 1) m? DATO: K = N m 2 /C 2 a) Las cargas en (1, 0) y ( 1, 0) anulan sus campos en (0, 0), de modo que sólo tenemos que calcular el campo en el origen creado por la carga en (0, 1): E = k q r2 = N/C dirigido en sentido negativo en el eje Y. b) Puesto que las 3 cargas son iguales y están a la misma distancia del origen, el potencial creado por las 3 cargas en (0, 0) es: V inicial = 3K q = V. En el punto (0, 1) el potencial creado r será: V final = K q + K q + K q = V. Por tanto, el trabajo será: W = Q V = ( ) = 0 02 J 10
11 22. Dos placas conductoras, planas y paralelas, están separadas por una distancia de 5 mm. Sus densidades superficiales de carga son +4 nc/m 2 y 4 nc/m 2, respectivamente. Calcula: a) El campo eléctrico entre las placas. b) El campo eléctrico en un punto situado fuera del espacio entre ambas placas. c) La diferencia de potencial entre ellas. d) El trabajo necesario para llevar una carga de +5 nc desde la placa negativa a la placa positiva. DATO: K = N m 2 /C Sea un campo eléctrico uniforme dado por E = 500 i N/C. Se pide: a) Cómo serán las superficies equipotenciales de dicho campo? b) Calcular el trabajo necesario para trasladar una carga de 2 μc desde el punto P(2,3,0) m hasta el punto Q (6,5,0) m. c) Calcular la distancia entre las superficies equipotenciales V 1 = 10 V y V 2 = 20 V. 24. Una carga q > 0 se encuentra bajo la acción de un campo eléctrico uniforme E. Si la carga se desplaza en la misma dirección y sentido que el campo eléctrico, qué ocurre con su energía potencial eléctrica? Y si movemos la carga en dirección perpendicular al campo? Justifica ambas respuestas. Si la carga se mueve alejándose del campo una distancia d, su energía potencial electrostática disminuirá en: V = qed. Si la carga se mueve en dirección perpendicular al campo, su energía potencial electrostática no variará, ya que se moverá a través de una equipotencial. 11
12 25. Si en el origen de coordenadas tenemos una partícula q 1 = C, calcula: a) Qué trabajo será necesario realizar para colocar una segunda partícula, con carga q 2 = 10 8 C, que está inicialmente en el infinito, en un punto P situado en la parte positiva del eje y a una distancia de 30 cm del origen de coordenadas? b) La partícula de carga q 2 tiene 2 mg de masa. Esta partícula se deja libre en el punto P; qué velocidad tendrá cuando se encuentre a 1 5 m de distancia de q 1? DATO: K = N m 2 /C Una partícula con carga q 1 = 10 6 C se fija en el origen de coordenadas. a) Qué trabajo será necesario realizar para colocar una segunda partícula, con carga q 2 = 10 8 C, que está inicialmente en el infinito, en un punto P situado en la parte positiva del eje Y a una distancia de 30 cm del origen de coordenadas? b) La partícula de carga q 2 tiene 2 mg de masa. Esta partícula se deja libre en el punto P, qué velocidad tendrá cuando se encuentre a 1 5 m de distancia de q 1? (Suponer despreciables los efectos gravitatorios). DATO: K = Nm 2 /C 2 a) El potencial eléctrico creado por la carga q 1 a 30 cm del origen es: V = K q = = 3 r V, y la energía para acercar q 2 será: W = q 2 V = = J b) Suponiendo despreciables los efectos gravitatorios, la carga será repelida desde 0 3 m hasta 1 5 m y adquirirá una energía cinética dada por: 1 2 mv2 = q 2 (V i V f ) = Kq 1 q 2 ( 1 1 ) v = 2Kq 1q 2 r i r f m ( 1 r i 1 r f ) = 0 49 m/s 12
13 27. Tenemos dos puntos A y B de un campo eléctrico con potenciales V A = 10 V y V B = 26 V. Calcula el trabajo del campo eléctrico para transportar una carga de 10 6 C desde A hasta B, e indica el significado del signo del trabajo. 28. Dos cargas eléctricas puntuales, positivas e iguales están situadas en los puntos A y B de una recta horizontal. Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Puede ser nulo el potencial en algún punto del espacio que rodea a ambas cargas? Y el campo eléctrico? b) Si separamos las cargas a una distancia doble de la inicial, se reduce a la mitad la energía potencial del sistema? 29. En un televisor convencional de tubo de rayos catódicos, un haz de electrones es acelerado mediante un campo eléctrico. Estima la velocidad máxima de los electrones si parten desde el reposo y la diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo es de 1 kv. DATOS: e = C; m e = kg 13
14 30. Sean un protón y un electrón que se encuentra sobre el plano OXY, de manera que el primero se encuentra en el origen de coordenadas (0,0) y el electrón en el punto (2,0). Considerando que el protón se encuentra en reposo, crea un campo eléctrico que origina un movimiento acelerado del electrón. Averigua: a) El campo eléctrico y el potencial creado por el protón en el punto (2,0) m. b) La energía cinética que adquiere electrón cuando se encuentra en el punto (1,0) m. c) La velocidad y el momento lineal del electrón cuando se encuentra en el punto (1,0) m. DATOS: K = Nm 2 /C 2 ; e = C; m e = kg 14
15 31. Dos cargas fijas Q 1 = nc y Q 2 = 2 7 nc se encuentran situadas en los puntos del plano OXY de coordenadas (2,0) y ( 2,0) respectivamente. Si todas las coordenadas están expresadas en metros, calcula: a) El potencial eléctrico que crean estas cargas en el punto A( 2,3). b) El campo eléctrico creado por Q 1 y Q 2 en el punto A. c) El trabajo necesario para trasladar un ion de carga negativa igual a 2e del punto A al punto B, siendo B(2,3), indicando si es a favor o en contra del campo. d) La aceleración que experimenta el ion cuando se encuentra en el punto A. DATOS: e = C; K = Nm 2 /C 2 ; M masa del ion = kg 15
16 32. Se sitúan fijas dos cargas puntuales q 1 = +36 nc y q 2 = +10 nc como indica la figura. Determina: a) El campo eléctrico creado en el punto P, situado a 6 cm de q 1 en su vertical. b) El potencial eléctrico en el punto P. c) El trabajo realizado por el campo cuando otra carga q = +2 nc se desplaza desde el punto P hasta un punto Q situado en el punto medio entre las cargas q 1 y q 2. DATO: K = Nm 2 /C 2 16
17 Ley de Lorentz. Movimientos de cargas en campos eléctricos 33. Un condensador plano tiene las placas metálicas verticales y separadas 2 mm. En su interior hay un campo eléctrico constante dirigido hacia la izquierda de valor 10 5 N/C. a) Calcula la diferencia de potencial entre las placas del condensador. Haz un esquema del condensador e indica qué placa es la positiva y cuál la negativa. b) Calcula la diferencia de potencial entre dos puntos A y B del interior del condensador separados 0 5 mm y colocados de manera que el segmento AB sea perpendicular al campo eléctrico. Justifica la respuesta. c) Considera un electrón entre las dos placas del condensador. Si se le deja partir desde el reposo muy próximo a la placa negativa, determina con qué energía cinética llega a la placa positiva. Los efectos gravitatorios se pueden considerar despreciables. 34. Un electrón penetra en un campo eléctrico uniforme de V/m con una velocidad de km/s en dirección perpendicular a las líneas del campo. Calcula qué distancia ha penetrado el electrón en el campo después de haberse desviado 1 mm en dirección perpendicular al campo. 17
18 35. Dos placas paralelas, separadas 1 cm, se cargan con cargas eléctricas iguales y opuestas generando un campo eléctrico vertical hacia arriba de 1000 V/m. Un electrón penetra en las placas, a m/s perpendicularmente al campo y equidistante de las placas. Halla: a) La desviación vertical experimentada por el electrón al salir de las placas. b) El ángulo α que se ha desviado. c) El punto en el que incidirá en una pantalla paralela al campo a 20 cm del extremo de las placas. DATOS: e = C; m e = kg y K = N m 2 /C 2 18
19 36. Un electrón se mueve entre las láminas de un tubo de rayos catódicos como ilustra la flecha blanca de la figura, con una velocidad inicial de m/s. El campo eléctrico uniforme entre las láminas es de N/C hacia arriba y se puede considerar confinado entre las dos placas. Calcula: a) Cuánto vale la fuerza que actúa sobre el electrón cuando se encuentra entre las placas? b) A qué distancia del eje se encuentra el electrón en el momento en que abandona la zona entre las placas? Indica claramente si se encuentra por encima o por debajo del eje. c) A qué distancia del punto C impactará el electrón? DATOS: m e = kg; e = C 19
20 37. Un electrón, con una velocidad de m/s, penetra en un campo eléctrico uniforme y su velocidad se anula a una distancia de 20 cm desde su entrada en la región del campo. a) Razona cuáles son la dirección y el sentido del campo eléctrico. b) Calcula su módulo. Ley de Gauss Campo Eléctrico 38. Un conductor rectilíneo indefinido tiene una densidad lineal de carga de 6 nc/m. Calcula el campo eléctrico generado en el vacío a una distancia del conductor de 10 cm y 50 cm. 39. Una placa conductora tiene una densidad superficial de carga de 4 nc/m 2. Calcula el campo eléctrico que genera esta placa en el vacío. 20
21 40. Se tiene una esfera hueca de 10 cm de radio cargada con C. Calcula la intensidad del campo eléctrico en los siguientes puntos: a) En un punto sobre la esfera. b) A 5 cm del centro de la esfera. c) A 20 cm del centro de la esfera. 41. Una superficie esférica de radio 1 m encierra en su interior una carga de C y otra de C. Calcula: a) Cuál será el flujo del campo eléctrico neto a través de dicha superficie? b) Si aumentamos el radio de la esfera a 4 m, cuál será entonces el flujo neto? DATO: K = 1 4πε 0 = Nm 2 /C Responde, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Enuncia el Teorema de Gauss. b) Una carga eléctrica puntual de 2 μc se encuentra situada en el centro geométrico de un cubo de 2 m de arista. El medio es el vacío. Calcula el flujo eléctrico a través de la superficie cúbica. DATOS: ε 0 = C 2 /N m 2 21
22 43. Una esfera metálica de 4 cm de diámetro se carga con 6 nc. Calcula: a) La densidad superficial de carga de la esfera. b) El valor del campo eléctrico en su superficie. c) El campo eléctrico en el punto P situado a 3 cm de su centro. El potencial eléctrico en los puntos situados a una distancia del centro mayor o igual al radio (r R) se puede expresar por V = K q r. Determina el potencial eléctrico en: d) La superficie de la esfera. e) El punto P. f) El interior de la esfera. Se pone en contacto con la primera esfera una segunda esfera inicialmente descargada de 1 cm de diámetro. Calcula después del contacto: g) La carga eléctrica de cada esfera. h) El potencial en el interior de cada esfera. i) El campo eléctrico en la superficie de cada esfera. 22