Parite des coefficients de formes modulaires
Let \Delta \sum _{m=0}\infty q^(2m+1)^2} \in \mathbf {F}_2[[q]$D=m=0q(2m+1)2F2[[q] be the reduction mod 2 of the \Delta $D series. A modular form of level 1, $f=\sum _{n\geqslant 0} c(n) ,q^n$$f=n0c(n)qn, with integer coefficients, is congruent modulo $2$$2 to a polynomial in \Delta $D. Let us set $W_f(x)\sum _{n\leqslant x, c(n)\text odd 1$$Wf(x)=nx,c(n)odd1, the number of odd Fourier coefficients of $f$$f of index \leqslant x$$x. The order of magnitude of $W_f(x)$Wf(x) (for $x\rightarrow \infty $x has been determined by Serre in the seventies. Here, we give an asymptotic equivalent for $W_f(x)$Wf(x) Let $p(n)$p(n) be the partition function and $A_0(x)$A0(x) (resp. $A_1(x)$A1(x) be the number of $n\leqslant x$$nx such that $p(n)$p(n) is even (resp. odd) In the preceding papers, the second named author has shown that $A_0(x)\geqslant 0.28 \sqrt{x\\log \log x}$A0(x)0.28xloglogx for $x\geqslant 3$$x3 and $A_1(x)\frac{4.57 \sqrt{x}\log x}$A1(x)>4.57xlogx for $x\geqslant 7$$x7. Here, it is proved that $A_0(x)\geqslant 0.069 \sqrt{x}\log \log x$$A0(x)0.069xloglogx holds for $x>1$$x>1 and that $A_1(x) \geqslant \frac{0.037 \sqrt{x}\log x){7/8}$A1(x)0.037x(logx)7/8 holds for $x\geqslant 2$$x2. The main tools used to prove these results are the determination of the order of nilpotence of a modular form of level $1$$1 modulo $2$$2, and of the structure of the space of those modular forms as a module over the Hecke algebra, which have been given in a recent work of Serre and the second named author.ResumeSoit \Delta \sum _{m=0}\infty q^(2m+1)^2} \in \mathbf {F}_2[[q]$D=m=0q(2m+1)2F2[[q] la reduction modulo 2 de la fonction \Delta $D. Une forme modulaire de niveau $1$$1, $f=\sum _{n\geqslant 0} c(n) ,q^n$$f=n0c(n)qn, a coefficients entiers, est congrue modulo $2$$2 a un polynome en \Delta $D. Soit $W_f(x)\sum _{n\leqslant x, c(n)\text impair 1$$Wf(x)=nx,c(n)impair1 le nombre de coefficients de Fourier impairs de $f$$f d'indice \leqslant x$$x. L'ordre de grandeur de $W_f(x)$Wf(x) a ete determine par Serre dans les annees 70. Nous donnons ici un equivalent de $W_f(x)$Wf(x) Soit $p(n)$p(n) la fonction de partition et $A_0(x)$A0(x) (resp. $A_1(x)$A1(x) le nombre d'entiers $n \leqslant x$$nx tels que $p(n)$p(n) est pair (resp. impair) Dans des articles anterieurs, J. L. Nicolas a montre que $A_0(x)\geqslant 0.28 \sqrt{x\\log \log x}$A0(x)0.28xloglogx pour $x\geqslant 3$$x3 et que $A_1(x)\frac{4.57 \sqrt{x}\log x}$A1(x)>4.57xlogx pour $x\geqslant 7$$x7. On prouve ici que $A_0(x)\geqslant 0.069 \sqrt{x}\log \log x$$A0(x)0.069xloglogx pour $x>1$$x>1 et que $A_1(x) \geqslant \frac{0.037 \sqrt{x}\log x){7/8}$A1(x)0.037x(logx)7/8 pour $x\geqslant 2$$x2. Les principaux outils utilises dans la preuve de ces resultats sont la determination de l'ordre de nilpotence d'une forme modulaire de niveau 1 modulo 2, et de la structure de l'espace de ces formes modulaires en tant que module sur l'algebre de Hecke, obtenus dans un travail recent de J. L. Nicolas et J. P. Serre.