Le logarithme discret dans les corps finis
La cryptologie consiste en l'etude des techniques utilisees par deux entites pour communiquer en secret en presence d'une troisieme. Les proprietes mathematiques qui sous tendent ces techniques garantissent que leur attaque reste infaisable en pratique par un adversaire malveillant. Ainsi, les protocoles s'appuient sur diverses hypotheses, comme la di fficulte presumee de factoriser des entiers ou de calculer le logarithme discret d'un element arbitraire dans certains groupes. Cette these qui porte sur le probleme du logarithme discret dans les corps finis s'articule autour de trois volets.Nous exposons les resultats theoriques associes au probleme sans consideration du groupe cible, detaillant ainsi les classes de complexite auxquelles il appartient ainsi que di fferentes approches pour tenter de le resoudre.L'etude du probleme dans les corps finis commence en tant que telle par les corps presentant une caracteristique de petite taille relativement a l'ordre total du corps en question. Cette seconde partie resulte sur l'exposition d'un algorithme par representation de Frobenius dont une application a aboutit au record actuel de calcul de logarithme discret en caracteristique 3.Pour les corps de moyenne ou grande caracteristiques, une autre methode est requise. Le crible par corps de nombres (NFS) multiples obtient les complexites asymptotiques les plus basses pour un corps arbitraire. Un dernier chapitre introduit la notion de matrice presque creuse. L'elaboration d'un nouvel algorithme specifique qui explicite le noyau d'une telle matrice facilite en pratique l'etape d'algebre sous jacente a toute variante de NFS.