A note on Abel polynomials and rooted labeled forests
A special case of the Abel polynomials counts rooted labeled forests. This interpretation is used to obtain a combinatorial proof of the formula expressing x^n as a sum of these polynomials.
On the poset of weighted partitions
In this extended abstract we consider the poset of weighted partitions Πn , introduced by Dotsenko and Khoroshkin in their study of a certain pair of dual operads. The maximal intervals of Πn provide a generalization of the lattice Πn of partitions, which we show possesses many of the well-known properties of Πn. In particular, we prove these intervals are EL-shellable, we compute the Möbius invariant in terms of rooted trees, we find combinatorial bases for homology and cohomology, and we give an explicit sign twisted Sn-module isomorphism from cohomology to the multilinear component of the free Lie algebra with two compatible brackets. We also show that the characteristic polynomial of Πn has a nice factorization analogous to that of Πn. Résumé. Dans ce résumé étendu, nous considèrons l’ensemble ordonné des partitions pondérées Πn , introduit par Dotsenko et Khoroshkin dans leur étude d’une certaine paire d’opérades duales. Les intervalles maximaux de Πn généralisent le treillis Πn des partitions et, comme nous le montrons, possèdent beaucoup de propriétés classiques de Πn. En particulier, nous prouvons que ces intervalles sont “EL-shellable”, nous exprimons leur invariant de Möbius en fonction d’arbres enracinés, nous trouvons des bases combinatoires pour l’homologie et la cohomologie et nous donnes un morphisme explicite de Sn-modules gauches entre la cohomologie et la composante multilinéaire de l’algèbre de Lie libre avec deux crochets de Lie compatibles. Nous montrons aussi que le polynôme caractéristique de Πn admet une factorisation sympathique, analogue à celle de Πn.
Forests of labeled trees
Abstract Forests of labeled trees, rooted or not, oriented or not, are enumerated by number of (labeled) points and by number of trees for unrestricted and various restricted heights.