A Remark on Orthogonality Relations in Finite Groups
On the basis of Prof. R. Brauer’s fundamental work, certain orthogonality relations for characters of finite groups have recently been studied by Brauer himself, M. Osima, and one of the present writers; see Iizuka [7] and the references there. In the present short note some general remarks on orthogonality relations, dealing with “blocks” and “sections” of general type, are given first. They are of elementary, and often formal, nature and their proofs are merely combinations of known arguments. So, no deep significance is claimed on them, in comparison with the above alluded results based on deeper arithmetico-group-theoretical considerations. However, applied to blocks and sections of such deeper nature, our remarks give some rather useful informations on them. Thus, for instance, the “maximality” feature of 77-blocks is given a formulation (Prop. 5 below) finer than the one given in [71 Further, some new types of blocks and sections can be constructed, again in application of our remarks to such classical ones. These new blocks and sections give thus new orthogonality relations and we hope that some of them may turn to have some significance. There arize also several problems, which are stated at the end of the present note and to some of which we wish to come back elsewhere.
Arithmetische Untersuchung des Charakterringes einer endlichen Gruppen. Mit Anwendungen auf die Bestimmung des minimalen Darstellungskörpers einer endlichen Gruppe und in der Theorie der Artinschen L-Funktionen.
Einleitung 148 § 1. Allgemeine Strukturtheorie des p-adischen Charakterringes einer endlichen Gruppe. 1. Der p-adische Charakterring. Fimktionenkonvergenz 152 2. Die Zerlegung des p-adischen Charakterringes in seine Blöcke. Definition der p-Oberklassen . . . . 153 3. Bestimmung des einzigen Primideals eines Blocks. Folgerungen für die arithmetische Struktur des p-adischen Charakterringes 154 § 2. Gruppentheoretische Bestimmung der p-Oberklassen einer endlichen Gruppe. 4. Charakterisierung der £>-Oberklassen 156 5. Erster Schritt zur Bestimmung der ip-Oberklassen 157 6. Zweiter Schritt zur Bestimmung der p-Oberklassen 158 § 3. Gruppeninvariante Beschreibung der Struktur eines Blocks. 7. Erzeugung eines Blocks aus einem Elementarblock mit Hilfe des Induktionsprozesses 159 8. Die Isomorphie eines Blocks zu einem Teilring des p-adischen Charakterringes einer ^-Untergruppe 161 § 4. Die beiden gruppentheoretischen Induktionsprinzipien und ihre Anwendung zur Bestimmung des minimalen Darstellungskörpers einer endlichen Gruppe sowie in der Theorie der Artinschen L-Funktionen. 9. Das Induktionsprinzip für elementare Charaktere 163 10. Das Induktionsprinzip für zyklische Charaktere 165 11. Bestimmung des minimalen Darstellungskörpers einer endlichen Gruppe 166 12. Aus der Theorie der Artinschen L-Funktionen 167 Schlußbemerkung über die direkte Herleitung der Induktionsprinzipien 167
Net Spaces in Categorical Topology a
In the paper we introduce the notion of S‐nets, S a nonempty construct, as a generalization of the usual nets. S‐net spaces and continuous maps between them are then defined in a natural way. For S‐net spaces we introduce a number of axioms and study the categories obtained. We find some topological and Cartesian closed categories of S‐net spaces and describe their relations to certain known topological categories.