Some Riemannian geometric proofs of the fundamental theorem of algebra
If a (non-constant) polynomial has no zero, then a certain Riemannian metric is constructed on the two dimensional sphere. Several geometric arguments are then shown to contradict this fact. M.S.C. 2010: 12E05, 53C20.
Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere
where K and dAg denote the Gaussian curvature and the area element of g, respectively. In particular, this implies the existence of at least an elliptic point of (S, g). In this short note we prove the Fundamental Theorem of Algebra as a consequence of this fact. As far as the authors know, this proof is new. Moreover, it does have the advantage of being directly based on the work of Gauss, who was the first mathematician giving an universally accepted proof of the Fundamental Theorem of Algebra (see [2], [3]). Hence our argument can also have some historical and pedagogical interest. As it is well known, the stereographic projection allows to identify the sphere S with the one-point compactification Ĉ = C ∪ {∞} of the complex plane C. Let us take p(z) = a0 + a1z+ · · ·+ anz n with a0 an 6= 0 and let us assume that p(z) 6= 0 for all z ∈ C. We set p∗(z) = an + an−1z + · · ·a0z , that is, the i-th coefficient of p∗(z) is the (n− i)-th coefficient of p(z). Clearly, p∗(z) = z n p(1/z) for all z ∈ C \ {0}. Put
Another topological proof of the Fundamental Theorem of Algebra
. Allen Lesern wird der Fundamentalsatz der Algebra bekannt sein. Er besagt, dass jedes Polynom P = P(z) uber dem Korper der komplexen Zahlen mindestens eine komplexe Nullstelle hat. Besitzt P den Grad n, so ergibt sich daraus sofort, dass P (mit Vielfachheiten gezahlt) genau n komplexe Nullstellen hat. Die Bestimmung der Nullstellen von Polynomen spielte in der Entwicklung der Algebra eine wichtige Rolle. Allerdings gelang es erst N.H. Abel zu beweisen, dass die Nullstellen eines Polynoms vom Grad n > 4 in der Regel nicht durch Radikale darstellbar sind. Damit musste zum Beweis des Fundamentalsatzes nach neuen Ideen gesucht werden. Neben den Beweisen von C.F. Gauss wird der Fundamentalsatz heute sehr oft als elegante Anwendung aus dem Satz von Liouville in der Funktionentheorie gefolgert. Im vorliegenden Beitrag geben die Autoren einen ebenfalls eleganten Beweis des Fundamentalsatzes, der auf einfachen Ergebnissen der Topologie beruht.