Coarse equivalence and topological couplings of locally compact groups
M. Gromov has shown that any two finitely generated groups $$\Gamma $$Γ and $$\Lambda $$Λ are quasi-isometric if and only if they admit a topological coupling, i.e., a commuting pair of proper continuous cocompact actions $$\Gamma \curvearrowright X \curvearrowleft \Lambda $$Γ↷X↶Λ on a locally compact Hausdorff space. This result is extended here to all (compactly generated) locally compact second-countable groups.
Über das Haarsche Mass in der lokal bikompakten Gruppe
Zur Definition des Haarschen Masses m in einer lokal bikompakten, nicht separablen Gruppe gibt es zwei MSglichkeiten. Nach der ersten gewShnlichen Definition wird m zuni.chst ffir alle Borelschen Mengen erkl/rt und dann zum vollstndigen Mass vervollst/indigt; nach der zweiten wird dagegen m zun/chst nur fir die Mengen mit Baireschen charakteristischen Funktionenwir wollen solche Menge Bairesch nennendefiniert und dann vervollst/indigt. Sind nun diese zwei Definitionen /quivalent ? In der vorliegenden Note soll diese Frage bejahend beantwortet werden. Dabei benutzen wir die Quasi-separabili$i$" der lokal bikompakten Gruppe, d.h. dass jede solche Gruppe als eine separable betrachtet werden kann, solange man mit hSchstens abzhlbar vielen Baireschen Funktionen zu tun hat. (Fflr den genauen Sinn dieser Behauptung siehe unten, 3.)
A note on topological groups
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