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Beispiel numerischer Einheitenbestimmung
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Bericht ber ein Manuskript aus dem Nachla von Felix Hausdorff: Der Kugel-Durchschnittssatz
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Zur numerischen Bestimmung einer Einheitenbasis
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Periodische Ketten linearer Transformationen.
Über die Ergebnisse der nachfolgenden Untersuchung habe ich April 1950 in einer Sitzung der Mathematiker-Vereinigung Uppsala vorgetragen. Bekannt ist der Satz von Lagrange, welcher aussagt, daß eine reelle Zahl dann und nur dann einen periodischen KettenbrucJti besitzt, wenn sie algebraisch vom 2. Grade über dem Körper der rationalen Zahlen ist. Nach Lagrange) waren mehrere Mathematiker bestrebt, einen analogen Satz für algebraische Zahlen höheren Grades zu beweisen. G. J. Jacobi) definierte ein Verfahren, welches für gewisse reelle algebraische Zahlen 3. Grades periodisch ist; ob sein Verfahren aber für alle diese Zahlen periodisch ausfällt, ist bis heute nicht entschieden. Ähnliche Ergebnisse erhielt Nils Pipping); seine Bestrebungen richten sich indessen vorwiegend auf Kriterien, welche die algebraischen Zahlen und ihren Grad durch abbrechende Rechenverfahren charakterisieren, so, wie die Zahlen 1. Grades durch einen abbrechenden Kettenbruch charakterisiert sind. Tiefgehende Untersuchungen über das Jacobi-Verfahren stellte O.Perron) an. H. Minkowskis) Verfahren der sukzessiven Bestimmung von Linearformen in n Veränderlichen ist im Falle n = 3 für Zahlen 3. Grades mit negativer Diskriminante periodisch, für die Zahlen 3. Grades mit positiver Diskriminante nicht periodisch. Doch kann der Begriff der Periodizität so gelockert werden, daß ein Kriterium für die Zahlen 3. (und höheren) Grades herauskommt. Angaben über verwandte Literatur findet man bei I. F. Koksma). Hier wird ein Verfahren behandelt, welches — ähnlich wie das Kettenbruchverfahren — auf sukzessiver Anwendung immer des gleichen Rechenschemas beruht. Objekte sind aber nicht Zahlen, sondern dreireihige Matrizen. Eine vorgegebene (reelle) Matrix (mit geeigneten Voraussetzungen) wird umkehrbar ganz rational in drei weitere transformiert, auf diese werden die gleichen Rechenprozesse angewendet usf. Wir sprechen von einer Entwicklung einer Matrix in eine Kette linearer Transformationen. Wird für eine solche Entwicklung der Begriff der Periodizität sinngemäß eingeführt, so gilt dem Lagrangeschen Satz entsprechend: Matrizen mit periodischer Entwicklung lassen sich zahlentheoretisch charakterisieren. Der Beweis dieses Satzes (Satz 13, S. 122) ist das Hauptziel der Untersuchung.
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Ebenen und Bewegungsgruppen in Riemannschen Räumen