119458260
Inequalities involving derivatives
122032003
Periodic solutions of ordinary differential equations with one-sided growth restrictions
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Gewöhnliche Differential-Ungleichungen im Banachraum
Dieser Satz geht auf PEnROZ~ [7] (wenn nieht welter) zurfick. Der Beweis ist sehr einfach ; vgl. z.B. WALTEn ([10], Satz 8 V). Man spricht auch yon cinem ,,Monotoniesatz", well aus ihm folgt, dab das Anfangswertproblem y ' = / ( t , y), y(O) -~ Yo ein monotones Problem ist: Is t w ( O ) > Yo, w ' > / ( t , w), so folgt w > y in J , w ist , ,Oberfunktion" (PnHRON). Entsprechend sind Unterfunktionen definiert. In der obigen Formulierung werden an / keine l~egularit/itsforderungen gestellt. Der Satz kann noch allgemeiner ibrmuliert werden, indem man in der Definition von P v die Ableitung v' durch (z. B.) die obere linksseitige Dini-Derivierte D v ersetzt. Er gilt dann sogar fiir stetige Funktionen v, w. Vergleiche dazu die Bemerkungen bei WALTER ([10], S. 57 und S. 62). Setzt man voraus, dal] / in J • R 1 stetig ist, so kann man auf Grund des obigen Satzes sehr einfaeh die Existenz yon Maximalund Minimalintegralen beweiscn. Ebenso ergibt sich dann cinfach ein abge/~nderter Monotoniesatz:
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Ordinary differential inequalities in ordered Banach spaces
x <y+xi -=zyi for i = I,..., n. The function f (t, x) defined in a set D C J x Rn and with values in Rn, is said to be quasimonotone increasing in x (in short quasimonotone), if each component fi( t, x1 , . . . , xn) is weakly increasing in xj for i # j; more exactly, if (t, 4, (t, y) E D, x < y, xt = yi implies fi(t, x) 6 fi(t, y) (2) (i = l,..., n). (A) Let f (t, x) be quasimonotone increasing in x. Let v, w be continuous in. J and d$%rentiable in Jo and let (4 40) < 4% (b) v’ -f (t, v) < w’ -f (t, w) in Jo.
123447202
Parabolic differential equations and inequalities with several time variables
On presente une theorie des inegalites differentielles lineaires correspondant a l'equation parabolique: Σ i=1 m d i (t,x)u td i=Σ j,k=1 n a jk (t,x)u xd j xd k+Σ j=1 n b j (t,x)u xd j+C(t,x)u
121145385
A Note on Sturm-Type Comparison Theorems for Nonlinear Operators
1300115
Flexible precision control and dynamic data structures for programming mathematical and numerical algorithms