201060136
Gleitkörper in konvexen Polytopen.
1. Einleitung Ist P ein ra-dimensionales konvexes Polytop im euklidischen Raum E(n ^ 2), so wird ein konvexer Körper K < E als Gleitkörper des Polytops P bezeichnet, wenn er sich, grob gesagt, in P ungehindert beliebig drehen läßt, wobei er stets an allen (n — 1)dimensionalen Seiten des Polytops entlanggleitet. Eine genauere Definition lautet: Der Körper K heißt Gleitkörper des Polytops P, wenn und nur wenn es zu jeder Drehung d :£""-> E eine Translation : E-> E gibt, so daß jede (n — l)-dimensionale Seite von P berührt. Unter Drehungen sind dabei und im folgenden stets eigentliche Drehungen zu verstehen. Offenbar ist ein Gleitkörper eines Polytops P notwendig in P enthalten. Ein Gleitkörper heiße nichttrivial, wenn er keine Kugel ist. Statt ,,Gleitkörper" ist auch die Bezeichnung ,,Rotor" benutzt worden. Im Fall n = 2 ist der Ausdruck ,,Gleitkurve" üblich. Über Spezialfälle von Gleitkörpern gibt es eine ausgedehnte Literatur. So sind die Körper konstanter Breite, die ja genau die Gleitkörper von Würfeln sind, Gegenstand zahlreicher Untersuchungen. Sieht man von diesen Körpern ab, so sind vor allem die zweidimensionalen Gleitkörper eingehender betrachtet worden. Meissner [8] hat die Gleitkurven der regulären Polygone bestimmt; die Eigenschaft eines konvexen Bereiches, Gleitkurve eines regulären Ä-Ecks zu sein, drückt sich danach in einer einfachen Bedingung an die Fourierkoeffizienten der Stützfunktion des Bereiches aus. Daraus geht insbesondere hervor, daß die Gesamtheit der Gleitkurven eines beliebigen regulären Polygons von unendlich vielen Parametern abhängt. Die Arbeiten über Gleitkurven regulärer Polygone befassen sich vorwiegend mit besonderen Klassen solcher Kurven, mit Extremalaufgaben und Abschätzungen sowie mit kinematischen Betrachtungen; ausführliche Literaturangaben dazu findet man bei Goldberg [5], Schaal [12], Focke [3]. Die Gleitkurven aller regulären Polygone erschöpfen bereits alle überhaupt möglichen Gleitkurven, denn jede Gleitkurve eines konvexen Polygons ist auch Gleitkurve eines gewissen regulären Polygons. Dafür, daß ein konvexes Polygon eine nichttriviale Gleitkurve besitzt, ist notwendig und hinreichend, daß das Polygon einem Kreis umbeschrieben ist und daß es entweder ein Parallelogramm ist oder daß je zwei seiner Seiten einen mit kommensurablen Winkel miteinander bilden. Dies ist zuerst von Fujiwara [4] und damTnoch einmal (für Dreiecke) von Kamenezki [7] gefunden worden; ein einfacher Beweis stammt von Schaal [11].
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Isoperimetric inequalities for infinite hyperplane systems
Let be an infinite discrete system ofk-dimensional flats inn-dimensional Euclidean space. If the totalk-dimensional volume of the flats in intersected with the ball of center 0 and radiusr, divided by the volume of that ball, tends to a limit forr→∞, then this limit is called thedensity of. We consider isoperimetric problems of the following kind. If is a hyperplane system of positive density, find sharp upper bounds for the density of the system ofk-flats (k∈{0, ...,n−2}) that are generated as intersections of hyperplanes in. Ideas from the theory of uniform distribution of sequences are employed to define a large class of hyperplane systems, calleduniform, for which all necessary densities exist, isperimetric inequalities can be proved, and systems with extremal intersection densities can be characterized.
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Ähnlichkeits- und Translationssätze für Eiflächen
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On the projections of a convex polytope
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Characterization of certain polytopes by intersection properties of their translates
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Über eine Integralgleichung in der Theorie der konvexen Körper
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Stability of a spline collocation method for strongly elliptic multidimensional singular integral equations
SummaryWe consider a spline collocation method for strongly elliptic zero order pseudodifferential equationspgwAu=f on a cube ω=(0, 1)m. Utilizing multilinear spline functions which are zero at the boundary σω we collocate at the meshpoints inside ω. For classical strongly elliptic translation invariant pseudodifferential operators, we verify the stability of the considered collocation method inL2(ω). Afterwards, form≦2 and a right hand sidef∈H8(ω),s>m/2, we prove an asymptotic convergence estimate.