text: Шаг 2: Вычисляем x = ( a + a 2 − n ) ( p + 1 ) / 2 = ( 2 + − 6 ) 7 . {\displaystyle x=\left(a+{\sqrt {a^{2}-n}}\right)^{(p+1)/2}=\left(2+{\sqrt {-6}}\right)^{7}.} ( 2 + − 6 ) 2 = 4 + 4 − 6 − 6 = − 2 + 4 − 6 . {\displaystyle \left(2+{\sqrt {-6}}\right)^{2}=4+4{\sqrt {-6}}-6=-2+4{\sqrt {-6}}.} ( 2 + − 6 ) 4 = ( − 2 + 4 − 6 ) 2 = − 1 − 3 − 6 . {\displaystyle \left(2+{\sqrt {-6}}\right)^{4}=\left(-2+4{\sqrt {-6}}\right)^{2}=-1-3{\sqrt {-6}}.} ( 2 + − 6 ) 6 = ( − 2 + 4 − 6 ) ( − 1 − 3 − 6 ) = 9 + 2 − 6 . {\displaystyle \left(2+{\sqrt {-6}}\right)^{6}=\left(-2+4{\sqrt {-6}}\right)\left(-1-3{\sqrt {-6}}\right)=9+2{\sqrt {-6}}.} ( 2 + − 6 ) 7 = ( 9 + 2 − 6 ) ( 2 + − 6 ) = 6. {\displaystyle \left(2+{\sqrt {-6}}\right)^{7}=\left(9+2{\sqrt {-6}}\right)\left(2+{\sqrt {-6}}\right)=6.} Таким образом, x = 6 {\displaystyle x=6} является решением, как и x = − 6 mod 1 3 = ( − 6 + 13 ) mod 1 3 = 7. {\displaystyle x=-6{\bmod {1}}3=(-6+13){\bmod {1}}3=7.} Действительно, 6 2 = 36 mod 1 3 = 10 {\displaystyle \ 6^{2}=36{\bmod {1}}3=10} и 7 2 = 49 mod 1 3 = 10. {\displaystyle 7^{2}=49{\bmod {1}}3=10.} В первой части доказательства убедимся, что F p 2 = F p ( a 2 − n ) = { x + y a 2 − n : x , y ∈ F p } {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}=\mathbf {F} _{p}({\sqrt {a^{2}-n}})=\{x+y{\sqrt {a^{2}-n}}:x,y\in \mathbf {F} _{p}\}} действительно является полем.