text: В случае, когда ∑ a n = ∑ b n = ∑ ( − 1 ) n , {\displaystyle \sum {a_{n}}=\sum {b_{n}}=\sum {{(-1)}^{n}},} члены произведения Коши получаются из конечной диагональной суммы: c n = ∑ k = 0 n a k b n − k = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( − 1 ) n − k = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n = ( − 1 ) n ( n + 1 ) . {\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}} И тогда результирующая последовательность: ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) = 1 − 2 + 3 − 4 + … . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\ldots .} Поэтому метод суммирования, который сохраняет произведение Коши и даёт сумму 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1 2 , {\displaystyle 1-1+1-1+\ldots ={\frac {1}{2}},} также даст сумму 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 4 . {\displaystyle 1-2+3-4+\ldots ={\frac {1}{4}}.} С использованием результатов, полученных в предыдущей секции, из этого вытекает эквивалентность суммируемости 1 − 1 + 1 − 1 + … {\displaystyle 1-1+1-1+\ldots } и 1 − 2 + 3 − 4 + … {\displaystyle 1-2+3-4+\ldots } при использовании методов суммирования, являющихся линейными, стабильными и сохраняющих произведение Коши.