text: (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция f ∈ C ( ( a , b ) ) {\displaystyle f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}} непрерывна на ( a , b ) , {\displaystyle (a,b),} и имеет в каждой точке x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} производную f ′ ( x ) . {\displaystyle f'(x).} Тогда f {\displaystyle f} не убывает на ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} тогда и только тогда, когда ∀ x ∈ ( a , b ) f ′ ( x ) ≥ 0 ; {\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;} f {\displaystyle f} не возрастает на ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} тогда и только тогда, когда ∀ x ∈ ( a , b ) f ′ ( x ) ≤ 0. {\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0.} (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция f ∈ C ( ( a , b ) ) {\displaystyle f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}} непрерывна на ( a , b ) , {\displaystyle (a,b),} и имеет в каждой точке x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} производную f ′ ( x ) . {\displaystyle f'(x).} Тогда если ∀ x ∈ ( a , b ) f ′ ( x ) > 0 , {\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)>0,} то f {\displaystyle f} строго возрастает на ( a , b ) ; {\displaystyle (a,b);} если ∀ x ∈ ( a , b ) f ′ ( x ) < 0 , {\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)<0,} то f {\displaystyle f} строго убывает на ( a , b ) . {\displaystyle (a,b).} Обратное, вообще говоря, неверно.