text: Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнительных формул для функций Якоби cn ⁡ ( x + y ) = cn ⁡ ( x ) cn ⁡ ( y ) − sn ⁡ ( x ) sn ⁡ ( y ) dn ⁡ ( x ) dn ⁡ ( y ) 1 − k 2 sn 2 ⁡ ( x ) sn 2 ⁡ ( y ) , {\displaystyle \operatorname {cn} (x+y)={\frac {\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}},} sn ⁡ ( x + y ) = sn ⁡ ( x ) cn ⁡ ( y ) dn ⁡ ( y ) + sn ⁡ ( y ) cn ⁡ ( x ) dn ⁡ ( x ) 1 − k 2 sn 2 ⁡ ( x ) sn 2 ⁡ ( y ) , {\displaystyle \operatorname {sn} (x+y)={\frac {\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {cn} (y)\,\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {dn} (x)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}},} dn ⁡ ( x + y ) = dn ⁡ ( x ) dn ⁡ ( y ) − k 2 sn ⁡ ( x ) sn ⁡ ( y ) cn ⁡ ( x ) cn ⁡ ( y ) 1 − k 2 sn 2 ⁡ ( x ) sn 2 ⁡ ( y ) . {\displaystyle \operatorname {dn} (x+y)={\frac {\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)-k^{2}\,\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {sn} (y)\,\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)}{1-k^{2}\,\operatorname {sn} ^{2}(x)\,\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.} Если m = 1 {\displaystyle m=1} , то u = ∫ 0 φ d θ 1 − sin 2 ⁡ θ = ln ⁡ ( 1 cos ⁡ φ − tg ⁡ φ ) . {\displaystyle u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta }}}}=\operatorname {ln} \left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\operatorname {tg} \varphi \right).} Отсюда sin ⁡ φ = sn u = e u − 1 e u + 1 = th u . {\displaystyle \sin \varphi =\operatorname {sn} \,u={\frac {e^{u}-1}{e^{u}+1}}=\operatorname {th} \,u.} Отсюда cn u = 1 − sn 2 u = 1 ch u {\displaystyle \operatorname {cn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u}}} и dn u = 1 − sn 2 u = 1 ch u . {\displaystyle \operatorname {dn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u}}.} Таким образом, при m = 1 {\displaystyle m=1} эллиптические функции вырождаются в гиперболические.