text: Таким образом ζ ( s , q ) = 1 s − 1 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 Δ n q 1 − s {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}} = 1 s − 1 log ⁡ ( 1 + Δ ) Δ q 1 − s . {\displaystyle ={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}.} Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление в виде преобразования Меллина: ζ ( s , q ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 e − q t 1 − e − t d t {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt} для Re(s)>1 и Re(q) >0. ζ ( 1 − s , x ) = 1 2 s {\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left} , где β ( x ; s ) = 2 Γ ( s + 1 ) ∑ n = 1 ∞ exp ⁡ ( 2 π i n x ) ( 2 π n ) s = 2 Γ ( s + 1 ) ( 2 π ) s Li s ( e 2 π i x ) {\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})} .