text: Применим формулу включений-исключений для свойств a 1 , … , a m {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}} : N ( a ¯ 1 … a ¯ m ) = N − ∑ i ≤ m N ( a i ) + ∑ i < j ≤ m N ( a i a j ) + … + ( − 1 ) m N ( a 1 … a m ) . {\displaystyle N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m})=N-\sum _{i\leq m}N(a_{i})+\sum _{i<j\leq m}N(a_{i}a_{j})+\ldots +(-1)^{m}N(a_{1}\ldots a_{m}).} Теперь применим формулу для свойств a 1 , … , a m {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}} к множеству N ( a m + 1 ) {\displaystyle N(a_{m+1})} объектов, для которых выполнено свойство a m + 1 {\displaystyle a_{m+1}} : N ( a ¯ 1 … a ¯ m a m + 1 ) = N ( a m + 1 ) − ∑ i ≤ m N ( a i a m + 1 ) + ∑ i < j ≤ m N ( a i a j a m + 1 ) + … + ( − 1 ) m N ( a 1 … a m a m + 1 ) . {\displaystyle N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m}a_{m+1})=N(a_{m+1})-\sum _{i\leq m}N(a_{i}a_{m+1})+\sum _{i<j\leq m}N(a_{i}a_{j}a_{m+1})+\ldots +(-1)^{m}N(a_{1}\ldots a_{m}a_{m+1}).} Наконец, применим формулу для одного свойства a m + 1 {\displaystyle a_{m+1}} к совокупности N ( a ¯ 1 … a ¯ m ) {\displaystyle N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m})} , объектов, которые не обладают свойствами a 1 , … , a m {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}} : N ( a ¯ 1 … a ¯ m a ¯ m + 1 ) = N ( a ¯ 1 … a ¯ m ) − N ( a ¯ 1 … a ¯ m a m + 1 ) . {\displaystyle N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m}{\overline {a}}_{m+1})=N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m})-N({\overline {a}}_{1}\ldots {\overline {a}}_{m}a_{m+1}).} Комбинируя выписанные три формулы, получим формулу включений-исключений для m + 1 {\displaystyle m+1} свойств a 1 , … , a m + 1 {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m+1}} .