text: Рассмотрим симметричные матрицы X = | x 11 x 12 x 13 ⋯ x 1 n x 12 x 22 x 23 ⋯ x 2 n x 13 x 23 x 33 ⋯ x 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n x 2 n x 3 n ⋯ x n n | , D = | 2 ∂ ∂ x 11 ∂ ∂ x 12 ∂ ∂ x 13 ⋯ ∂ ∂ x 1 n ∂ ∂ x 12 2 ∂ ∂ x 22 ∂ ∂ x 23 ⋯ ∂ ∂ x 2 n ∂ ∂ x 13 ∂ ∂ x 23 2 ∂ ∂ x 33 ⋯ ∂ ∂ x 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ ∂ x 1 n ∂ ∂ x 2 n ∂ ∂ x 3 n ⋯ 2 ∂ ∂ x n n | {\displaystyle X={\begin{vmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\x_{12}&x_{22}&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\x_{13}&x_{23}&x_{33}&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1n}&x_{2n}&x_{3n}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}2{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{22}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{33}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &2{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}} Герберт Тёрнбулл в 1948 году открыл следующее равенство: det ( X D + ( n − i ) δ i j ) = det ( X ) det ( D ) {\displaystyle \det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D)} Комбинаторное доказательство можно найти в работе, ещё одно доказательство и интересные обобщения в работе, см. также обсуждение ниже.