text: Далее следует взять интеграл ∫ 10 x 2 − 8 x + 25 d x . {\displaystyle \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx.} В первую очередь, выделим полный квадрат в знаменателе, после чего проведём несложные алгебраические преобразования: ∫ 10 x 2 − 8 x + 25 d x = ∫ 10 ( x − 4 ) 2 + 9 d x = ∫ 10 / 9 ( x − 4 3 ) 2 + 1 d x = 10 3 ∫ 1 ( x − 4 3 ) 2 + 1 ( d x 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx\\&=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx={10 \over 3}\int {1 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,\left({dx \over 3}\right)\end{aligned}}} Теперь используем следующую подстановку w = ( x − 4 ) / 3 {\displaystyle w=(x-4)/3} d w = d x / 3 {\displaystyle dw=dx/3} что позволяет найти 10 3 ∫ d w w 2 + 1 = 10 3 arctg w + C = 10 3 arctg ⁡ ( x − 4 3 ) + C . {\displaystyle {10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\operatorname {arctg} \,w+C={10 \over 3}\operatorname {arctg} \left({x-4 \over 3}\right)+C.} Складывая оба найденных выражения, запишем окончательный результат интегрирования ∫ x + 6 x 2 − 8 x + 25 d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 − 8 x + 25 ) + 10 3 arctg ⁡ ( x − 4 3 ) + C . {\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+{10 \over 3}\operatorname {arctg} \left({x-4 \over 3}\right)+C.} В ряде случаев, при определённом навыке, удобнее использовать комплексное разложение многочлена.