text: В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел (так, чтобы получился действительный результат): − x 3 = − x 3 {\displaystyle {\sqrt{-x}}=-{\sqrt{x}}} Кубический корень из комплексного числа (из любого числа) c {\displaystyle c} имеет ровно три значения (частный случай свойства корня n-ой степени): c 3 = | c | 3 ( cos ⁡ ϕ + 2 k π 3 + i sin ⁡ ϕ + 2 k π 3 ) , k = 0 , 1 , 2 , ϕ = arg ⁡ c . {\displaystyle {\sqrt{c}}={\sqrt{\left|c\right|}}\left(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi +2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2,\quad \phi =\arg {c}.} Здесь под | c | 3 {\displaystyle {\sqrt{\left|c\right|}}} понимается арифметический корень из положительного числа | c | . {\displaystyle \left|c\right|.} В частности 1 3 = { 1 cos ⁡ 2 π 3 + i sin ⁡ 2 π 3 = − 1 2 + i 3 2 cos ⁡ 2 π 3 − i sin ⁡ 2 π 3 = − 1 2 − i 3 2 {\displaystyle {\sqrt{1}}={\begin{cases}1\\\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\cos {\frac {2\pi }{3}}-i\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{cases}}} − 1 3 = { − 1 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 = 1 2 + i 3 2 cos ⁡ π 3 − i sin ⁡ π 3 = 1 2 − i 3 2 {\displaystyle {\sqrt{-1}}={\begin{cases}-1\\\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{cases}}} Два комплексных значения кубического корня получаются из вещественных по формуле: x 3 2 , 3 = x 3 ( − 1 2 ± i 3 2 ) . {\displaystyle {\sqrt{x}}_{2,3}={\sqrt{x}}\left(-{\frac {1}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right).} Эти значения необходимо знать для решения кубических уравнений по формуле Кардано.