text: Гиперболические функции задаются следующими формулами: гиперболический синус: sh ⁡ x = e x − e − x 2 {\displaystyle \operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} (в англоязычной литературе обозначается sinh ⁡ x {\displaystyle \sinh x} ) гиперболический косинус: ch ⁡ x = e x + e − x 2 {\displaystyle \operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} (в англоязычной литературе обозначается cosh ⁡ x {\displaystyle \cosh x} ) гиперболический тангенс: th ⁡ x = sh ⁡ x ch ⁡ x = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}} (в англоязычной литературе обозначается tanh ⁡ x {\displaystyle \tanh x} ) гиперболический котангенс: cth ⁡ x = 1 th ⁡ x {\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}} (в англоязычной литературе обозначается coth ⁡ x {\displaystyle \coth x} ) гиперболический секанс: sch ⁡ x = 1 ch ⁡ x {\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}} Гиперболический секанс иногда также обозначается как sech ⁡ x {\displaystyle \operatorname {sech} x} . гиперболический косеканс: csch ⁡ x = 1 sh ⁡ x {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}} Ввиду соотношения ch 2 ⁡ t − sh 2 ⁡ t = 1 {\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}t-\operatorname {sh} ^{2}t=1} гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} ( x = ch ⁡ t {\displaystyle x=\operatorname {ch} t} , y = sh ⁡ t {\displaystyle y=\operatorname {sh} t} ).