text: Справедливы следующие формулы: r ∂ ∂ r = x ∂ ∂ x + y ∂ ∂ y , {\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}},} ∂ ∂ φ = − y ∂ ∂ x + x ∂ ∂ y . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \varphi }}=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.} Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к любой данной точке полярной кривой r ( φ ) {\displaystyle r(\varphi )} в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде: x = r ( φ ) cos ⁡ φ , {\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi ,} y = r ( φ ) sin ⁡ φ . {\displaystyle y=r(\varphi )\sin \varphi .} Дифференцируя оба уравнения по φ {\displaystyle \varphi } получим: d x d φ = r ′ ( φ ) cos ⁡ φ − r ( φ ) sin ⁡ φ , {\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,} d y d φ = r ′ ( φ ) sin ⁡ φ + r ( φ ) cos ⁡ φ . {\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .} Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке ( r , r ( φ ) ) {\displaystyle (r,\;r(\varphi ))} : d y d x = r ′ ( φ ) sin ⁡ φ + r ( φ ) cos ⁡ φ r ′ ( φ ) cos ⁡ φ − r ( φ ) sin ⁡ φ . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.} Пусть R {\displaystyle R} — область, которую образуют полярная кривая r ( φ ) {\displaystyle r(\varphi )} и лучи φ = a {\displaystyle \varphi =a} и φ = b {\displaystyle \varphi =b} , где 0 < b − a < 2 π {\displaystyle 0<b-a<2\pi } .