text: Находим тензор Римана: ( 31 ) R i j k l = b i k b j l − b i l b j k = ∑ p , s ( k ( p ) τ i ( p ) τ k ( p ) k ( s ) τ j ( s ) τ l ( s ) − k ( p ) τ i ( p ) τ l ( p ) k ( s ) τ j ( s ) τ k ( s ) ) = {\displaystyle (31)\qquad R_{ijkl}=b_{ik}b_{jl}-b_{il}b_{jk}=\sum _{p,s}\left(k^{(p)}\tau _{i}^{(p)}\tau _{k}^{(p)}k{(s)}\tau _{j}^{(s)}\tau _{l}^{(s)}-k^{(p)}\tau _{i}^{(p)}\tau _{l}^{(p)}k{(s)}\tau _{j}^{(s)}\tau _{k}^{(s)}\right)=} = ∑ p , s k ( p ) k ( s ) τ i ( p ) τ j ( s ) ( τ k ( p ) τ l ( s ) − τ l ( p ) τ k ( s ) ) {\displaystyle \qquad =\sum _{p,s}k^{(p)}k^{(s)}\tau _{i}^{(p)}\tau _{j}^{(s)}\left(\tau _{k}^{(p)}\tau _{l}^{(s)}-\tau _{l}^{(p)}\tau _{k}^{(s)}\right)} Введем обозначения бивектора — ориентированной площадки σ ( p s ) {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{(ps)}} , построенной на двух векторах главных направлений: ( 32 ) σ ( p s ) = τ ( p ) ∧ τ ( s ) {\displaystyle (32)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}^{(ps)}={\boldsymbol {\tau }}^{(p)}\wedge {\boldsymbol {\tau }}^{(s)}} или то же в компонентах: ( 33 ) σ i j ( p s ) = τ i ( p ) τ j ( s ) − τ j ( p ) τ i ( s ) {\displaystyle (33)\qquad \sigma _{ij}^{(ps)}=\tau _{i}^{(p)}\tau _{j}^{(s)}-\tau _{j}^{(p)}\tau _{i}^{(s)}} Эти бивекторы имеют единичную площадь и взаимно ортогональны: ( 34 ) | σ ( p s ) | = | τ ( p ) | | τ ( s ) | sin ⁡ ϕ = 1 {\displaystyle (34)\qquad |{\boldsymbol {\sigma }}^{(ps)}|=|{\boldsymbol {\tau }}^{(p)}||{\boldsymbol {\tau }}^{(s)}|\sin \phi =1} ( 35 ) σ i j ( p s ) σ ( k l ) i j = 0 , if ( p s ) ≠ ( k l ) {\displaystyle (35)\qquad \sigma _{ij}^{(ps)}\sigma ^{(kl)\,ij}=0,\;{\mbox{if }}(ps)\neq (kl)} В правой части формулы (31) диагональные слагаемые с одинаковыми индексами p = s {\displaystyle p=s} равны нулю, а недиагональные разбиваются на две одинаковые по количеству группы: слагаемые с p < s {\displaystyle p<s} , и слагаемые с p > s {\displaystyle p>s} .