text: Для всех U,V,W: если U ≤ V и V ≤ W, то U ≤ W; так как если U содержит V и V содержит W, то U содержит W. Для всех U, V: существует множество U ∩ {\displaystyle \cap } V такое, что U ≤ U ∩ {\displaystyle \cap } V и V ≤ U ∩ {\displaystyle \cap } V; так как и U, и V содержат U ∩ {\displaystyle \cap } V. В частично упорядоченном множестве P, множество нижних границ некоторого элемента из P, то есть множество вида {a| a из P, a ≤x} где x — фиксированный элемент из P, является направленным множеством.