text: В произвольный момент времени «убегающий» всегда находится на касательной к кривой траектории движения «преследователя», то есть d y d x = − y a − x , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {-y}{a-x}},} на основании чего запишем дифференциальное уравнение: y + y ′ ( a − x ) = 0 {\displaystyle y+y'(a-x)=0\;} , где y > 0 {\displaystyle y>0} Из условия a = V ⋅ t {\displaystyle a=V\cdot t} следует y y ′ + V t = x {\displaystyle {\frac {y}{y'}}+Vt=x} , после дифференцирования по времени y ˙ = y ′ ⋅ x ˙ {\displaystyle {\dot {y}}=y'\cdot {\dot {x}}} и y ˙ ′ = y ″ ⋅ x ˙ {\displaystyle {\dot {y}}'=y''\cdot {\dot {x}}} , на основании которых: x ˙ = d x d t = V ⋅ y ′ 2 y ⋅ y ″ {\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {V\cdot y'^{2}}{y\cdot y''}}} Запишем выражение для определения длины кривой: l = W t = k ∫ 0 x 1 + ( y ′ ) 2 d x {\displaystyle l=Wt=k\int _{0}^{x}{\sqrt {1+(y')^{2}}}\mathrm {d} x} Из d x 2 + d y 2 = W 2 d t 2 {\displaystyle \mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}=W^{2}\mathrm {d} t^{2}} и w 2 = d x 2 d t 2 + d y 2 d t 2 = x ˙ 2 + ( y ′ ⋅ x ˙ ) 2 {\displaystyle w^{2}={\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\dot {x}}^{2}+(y'\cdot {\dot {x}})^{2}} следует x ˙ = W 1 + y ′ 2 {\displaystyle {\dot {x}}={\frac {W}{\sqrt {1+y'^{2}}}}} Аналогично проводим дифференцирование по y {\displaystyle y} : y ″ − k ⋅ y ′ 2 y ⋅ 1 + y ′ 2 = 0 {\displaystyle y''-k\cdot {\frac {y'^{2}}{y}}\cdot {\sqrt {1+y'^{2}}}=0} Решение с подстановкой u = x ′ = 1 y ′ , y ″ = − 1 u 3 d u d x {\displaystyle u=x'={\frac {1}{y'}},y''={\frac {-1}{u^{3}}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}} , при разделении переменных приводит к − d u 1 + u 2 = k ⋅ d y y {\displaystyle {\frac {-\mathrm {d} u}{\sqrt {1+u^{2}}}}=k\cdot {\frac {\mathrm {d} y}{y}}} после интегрирования получаем: arsinh ⁡ u = k ⋅ ln ⁡ y + C {\displaystyle \operatorname {arsinh} u=k\cdot \ln y+C} и далее после использования формального определения sinh из C 1 = e C {\displaystyle C_{1}=e^{C}} получаем: x ′ = d x d y = 1 2 {\displaystyle x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\frac {1}{2}}\left} Повторно интегрируем с определением постоянной интегрирования C 2 {\displaystyle C_{2}} .