text: Тогда (при таких начальных условиях) средний квадрат удаления диффундирующих частиц (или соответствующая характеристика распределения температуры) от начальной точки ⟨ x 2 ⟩ = ∫ − ∞ + ∞ x 2 c f ( x , t ) d x = 2 D t . {\displaystyle \langle x^{2}\rangle =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}c_{f}(x,\;t)\,dx=2Dt.} В случае произвольного начального распределения c ( x , 0 ) {\displaystyle c(x,\;0)} общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как свёртка: c ( x , t ) = ∫ − ∞ + ∞ c ( x ′ , 0 ) c f ( x − x ′ , t ) d x ′ = ∫ − ∞ + ∞ c ( x ′ , 0 ) 1 4 π D t exp ⁡ ( − ( x − x ′ ) 2 4 D t ) d x ′ . {\displaystyle c(x,\;t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }c(x',\;0)c_{f}(x-x',\;t)\,dx'=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }c(x',\;0){\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x')^{2}}{4Dt}}\right)\,dx'.} Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).