text: Можно показать, что q = q + q n − k + 1 q = q + q k q . {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}} Можно заметить из предыдущих рекурсивных отношений, что следующие варианты q {\displaystyle q} -биномиальной теоремы являются расширениями в терминах этих коэффициентов: ( z ; q ) n = ∑ j = 0 n q ( − z ) j q ( j 2 ) = ( 1 − z ) ( 1 − q z ) ⋯ ( 1 − z q n − 1 ) ( − q ; q ) n = ∑ j = 0 n q 2 q j ( q ; q 2 ) n = ∑ j = 0 2 n q ( − 1 ) j 1 ( z ; q ) m + 1 = ∑ n ≥ 0 q z n . {\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}} Можно получить q-аналог гамма-функции, называемый q-гамма-функцией и определённый как Γ q ( x ) = ( 1 − q ) 1 − x ( q ; q ) ∞ ( q x ; q ) ∞ {\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}} Функция сходится к обычной гамма-функции при q, стремящемся к 1 изнутри диска.