text: Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция ( ⋅ , ⋅ ) , {\displaystyle (\cdot ,\cdot ),} обладающая следующими тремя свойствами: Билинейность: для любых векторов u , v , w {\displaystyle u,v,w} и для любых вещественных чисел a , b ( a u + b v , w ) = a ( u , w ) + b ( v , w ) {\displaystyle a,b\quad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)} и ( u , a v + b w ) = a ( u , v ) + b ( u , w ) ; {\displaystyle (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);} Симметричность: для любых векторов u , v ( u , v ) = ( v , u ) ; {\displaystyle u,v\quad (u,v)=(v,u);} Положительная определённость: для любого u ( u , u ) ⩾ 0 , {\displaystyle u\quad (u,u)\geqslant 0,} причём ( u , u ) = 0 ⇒ u = 0. {\displaystyle (u,u)=0\Rightarrow u=0.} Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством.