text: В произвольной системе координат имеем: ( 25 ) b i j = ∑ s k ( s ) τ i ( s ) τ j ( s ) {\displaystyle (25)\qquad b_{ij}=\sum _{s}k^{(s)}\tau _{i}^{(s)}\tau _{j}^{(s)}} Рассмотрим действие коммутатора ковариантных производных на координатные векторы: ( 26 ) r i = − R i j k s r s {\displaystyle (26)\qquad \mathbf {r} _{i}=-R_{\,ijk}^{s}\mathbf {r} _{s}} Этот коммутатор мы можем записать через тензор полной кривизны: ( 27 ) r i = ∇ j ( ∇ k r i ) − ∇ k ( ∇ j r i ) = ∇ j b k i − ∇ k b j i = {\displaystyle (27)\qquad \mathbf {r} _{i}=\nabla _{j}(\nabla _{k}\mathbf {r} _{i})-\nabla _{k}(\nabla _{j}\mathbf {r} _{i})=\nabla _{j}\mathbf {b} _{ki}-\nabla _{k}\mathbf {b} _{ji}=} = ( ∇ j n ) b k i + n ∇ j b k i − ( ∇ k n ) b j i − n ∇ k b j i = − ( b j s b k i − b k s b j i ) r s + n ( ∇ j b k i − ∇ k b j i ) {\displaystyle \qquad =(\nabla _{j}\mathbf {n} )b_{ki}+\mathbf {n} \nabla _{j}b_{ki}-(\nabla _{k}\mathbf {n} )b_{ji}-\mathbf {n} \nabla _{k}b_{ji}=-(b_{j}^{s}b_{ki}-b_{k}^{s}b_{ji})\mathbf {r} _{s}+\mathbf {n} (\nabla _{j}b_{ki}-\nabla _{k}b_{ji})} Сравнивая формулы (26) и (27), находим: ( 28 ) R i j k s = b j s b k i − b k s b j i , R i j k l = b i k b j l − b i l b j k {\displaystyle (28)\qquad R_{\,ijk}^{s}=b_{j}^{s}b_{ki}-b_{k}^{s}b_{ji},\qquad R_{ijkl}=b_{ik}b_{jl}-b_{il}b_{jk}} ( 29 ) ∇ j b k i = ∇ k b j i {\displaystyle (29)\qquad \nabla _{j}b_{ki}=\nabla _{k}b_{ji}} Уравнение (29) называется уравнением Петерсона-Кодацци.