text: Половины сопутствующих чисел Пелля H n {\displaystyle H_{n}} и числа Пелля P n {\displaystyle P_{n}} могут быть получены несколькими эквивалентными путями: Возведение в степень: ( 1 + 2 ) n = H n + P n 2 {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}} ( 1 − 2 ) n = H n − P n 2 . {\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.} Откуда следует: H n = ( 1 + 2 ) n + ( 1 − 2 ) n 2 . {\displaystyle H_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.} и P n 2 = ( 1 + 2 ) n − ( 1 − 2 ) n 2 . {\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.} Парные рекуррентные отношения: H n = { 1 , n = 0 H n − 1 + 2 P n − 1 , n > 0 {\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1,n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1},n>0\end{cases}}} P n = { 0 , n = 0 ; H n − 1 + P n − 1 , n > 0 {\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1},n>0\end{cases}}} или, в матричном виде: ( H n P n ) = ( 1 2 1 1 ) ( H n − 1 P n − 1 ) = ( 1 2 1 1 ) n ( 1 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.} Таким образом ( H n 2 P n P n H n ) = ( 1 2 1 1 ) n . {\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.} Разность H n {\displaystyle H_{n}} и P n 2 {\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}} равна ( 1 − 2 ) n ≈ ( − 0.41421 ) n {\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}\approx (-0.41421)^{n}} , что быстро стремится к нулю.