text: Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов: P n ( x ) = ∑ m = 0 n ( C x m ∑ k = 0 m ( − 1 ) k C m k f m − k ) {\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,C_{m}^{k}\,f_{m-k}\right)} где C x m {\displaystyle C_{x}^{m}} — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты. f ( x 0 + t h ) = y 0 + t 1 ! μ δ y 0 + t 2 2 ! δ 2 y 0 + t ( t 2 − 1 2 ) 3 ! μ δ 3 y 0 + t 2 ( t 2 − 1 2 ) 4 ! δ 4 y 0 + {\displaystyle f(x_{0}+th)=y_{0}\ +\ {\frac {t}{1!}}\mu \delta y_{0}\ +\ {\frac {t^{2}}{2!}}\delta ^{2}y_{0}\ +\ {\frac {t(t^{2}-1^{2})}{3!}}\mu \delta ^{3}y_{0}\ +\ {\frac {t^{2}(t^{2}-1^{2})}{4!}}\delta ^{4}y_{0}\ +\ } + t ( t 2 − 1 2 ) ( t 2 − 2 2 ) 5 ! μ δ 5 y 0 + ⋯ + t 2 ( t 2 − 1 2 ) ( t 2 − 2 2 ) ⋯ ( 2 k ) ! δ 2 k y 0 {\displaystyle \ +\ {\frac {t(t^{2}-1^{2})(t^{2}-2^{2})}{5!}}\mu \delta ^{5}y_{0}\ +\ \cdots \ +\ {\frac {t^{2}(t^{2}-1^{2})(t^{2}-2^{2})\cdots }{(2k)!}}\delta ^{2k}y_{0}} (о значении символа μ {\displaystyle \ \mu } и связи центральных разностей δ m {\displaystyle \ \delta ^{m}} с разностями Δ m {\displaystyle \ \Delta ^{m}} см. Конечных разностей исчисление) Применяется при интерполировании функций для значений x {\displaystyle \ x} , близких к одному из средних узлов a {\displaystyle \ a} ; в этом случае естественно взять нечётное число узлов x − k , … , x − 1 , x 0 , x 1 , … , x k {\displaystyle x_{-k},\ \ldots ,\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{k}} , считая a {\displaystyle \ a} центральным узлом x 0 {\displaystyle \ x_{0}} . f ( x 0 + t h ) ≈ μ y 1 / 2 + ( t − 1 / 2 ) 1 ! δ y 1 / 2 + t ( t − 1 ) 2 ! μ δ 2 y 1 / 2 + t ( t − 1 ) ( t − 1 / 2 ) 3 ! δ 3 y 1 / 2 + {\displaystyle f(x_{0}+th)\approx \mu y_{1/2}\ +\ {\frac {(t-1/2)}{1!}}\delta y_{1/2}\ +\ {\frac {t(t-1)}{2!}}\mu \delta ^{2}y_{1/2}\ +\ {\frac {t(t-1)(t-1/2)}{3!}}\delta ^{3}y_{1/2}\ +\ } + t ( t − 1 ) ( t + 1 ) ( t − 2 ) 4 ! μ δ 4 y 1 / 2 + t ( t − 1 ) ( t + 1 ) ( t − 2 ) ( t − 1 / 2 ) 5 ! δ 5 y 1 / 2 + ⋯ + {\displaystyle \ +\ {\frac {t(t-1)(t+1)(t-2)}{4!}}\mu \delta ^{4}y_{1/2}\ +\ {\frac {t(t-1)(t+1)(t-2)(t-1/2)}{5!}}\delta ^{5}y_{1/2}\ +\ \cdots \ \ +\ } + t ( t − 1 ) ( t + 1 ) ⋯ ( t − k ) ( t + k − 1 ) ( t − 1 / 2 ) ( 2 k + 1 ) ! δ 2 k + 1 y 1 / 2 {\displaystyle \ +\ {\frac {t(t-1)(t+1)\cdots (t-k)(t+k-1)(t-1/2)}{(2k+1)!}}\delta ^{2k+1}y_{1/2}} Применяется при интерполировании функций для значений x {\displaystyle \ x} , близких середине a {\displaystyle \ a} между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов x − k , … , x − 1 , x 0 , x 1 , … , x k , x k + 1 {\displaystyle x_{-k},\ \ldots ,\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{k},\ x_{k+1}} , и располагать их симметрично относительно a ( x 0 < a < x 1 ) . {\displaystyle a(x_{0}\ <a\ <\ x_{1}).} Интерполяция Большая советская энциклопедия Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;