text: Если производную по собственному времени для краткости обозначить точкой x ˙ μ = d x μ d τ , {\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }},} то T можно записать в виде 2 T = c 2 = ( 1 − r s r ) c 2 ( t ˙ ) 2 − 1 1 − r s r ( r ˙ ) 2 − r 2 ( φ ˙ ) 2 . {\displaystyle 2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}.} Постоянные величины, такие как c или корень квадратный из двух, не влияют на ответ вариационной задачи, и таким образом, перенося вариацию под интеграл, приходим к вариационному принципу Гамильтона 0 = δ ∫ 2 T d τ = ∫ δ T 2 T d τ = 1 c δ ∫ T d τ . {\displaystyle 0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .} Решение вариационной задачи даётся уравнениями Лагранжа d d τ ( ∂ T ∂ x ˙ σ ) = ∂ T ∂ x σ . {\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.} Когда они применяются к t и φ, эти уравнения приводят к существованию сохраняющихся величин d d τ = 0 , {\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left=0,} d d τ = 0 , {\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left=0,} что можно переписать как уравнения для L и E r 2 d φ d τ = L m , {\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},} ( 1 − r s r ) d t d τ = E m c 2 . {\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.} Как показано выше, подстановка этих уравнений в определение метрики Шварцшильда приводит к уравнению орбит.