text: Формула Стирлинга является приближением, полученным из разложения факториала в ряд Стирлинга, который при n > 0 {\displaystyle n>0} имеет вид n ! ∼ 2 π n ( n e ) n exp ⁡ ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k ( 2 k − 1 ) n 2 k − 1 = = 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 12 n + 1 288 n 2 − 139 51840 n 3 − 571 2488320 n 4 + ⋯ ) = = 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 ( 2 1 ) ( 6 n ) 1 + 1 ( 2 3 ) ( 6 n ) 2 − 139 ( 2 3 ) ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) ( 6 n ) 3 − − 571 ( 2 6 ) ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) ( 6 n ) 4 + ⋯ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}=\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)=\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{\frac {1}{(2^{3})(6n)^{2}}}-{\frac {139}{(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}}-{}\right.\\&\qquad \left.{}-{\frac {571}{(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}}+\cdots \right),\end{aligned}}} где B j {\displaystyle B_{j}} — числа Бернулли с номером j {\displaystyle j} .