text: Положение относительно угла кривошипа (преобразованием отношений в треугольнике): l 2 − r 2 = x 2 − 2 ⋅ r ⋅ x ⋅ cos ⁡ A {\displaystyle l^{2}-r^{2}=x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A} l 2 − r 2 = x 2 − 2 ⋅ r ⋅ x ⋅ cos ⁡ A + r 2 {\displaystyle l^{2}-r^{2}=x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A+r^{2}} l 2 − r 2 + r 2 − r 2 sin 2 ⁡ A = x 2 − 2 ⋅ r ⋅ x ⋅ cos ⁡ A + r 2 cos 2 ⁡ A {\displaystyle l^{2}-r^{2}+r^{2}-r^{2}\sin ^{2}A=x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A+r^{2}\cos ^{2}A} l 2 − r 2 sin 2 ⁡ A = ( x − r ⋅ cos ⁡ A ) 2 {\displaystyle l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A=(x-r\cdot \cos A)^{2}} x − r ⋅ cos ⁡ A = l 2 − r 2 sin 2 ⁡ A {\displaystyle x-r\cdot \cos A={\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}} x = r cos ⁡ A + l 2 − ( r sin ⁡ A ) 2 {\displaystyle x=r\cos A+{\sqrt {l^{2}-(r\sin A)^{2}}}} Скорость по отношению к углу поворота кривошипа (первая производная взята, используя правило дифференцирования сложной функции): x ′ = d x d A = − r sin ⁡ A + ( 1 2 ) . ( − 2 ) . r 2 sin ⁡ A cos ⁡ A l 2 − r 2 sin 2 ⁡ A = − r sin ⁡ A − r 2 sin ⁡ A cos ⁡ A l 2 − r 2 sin 2 ⁡ A {\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'&=&{\frac {dx}{dA}}\\&=&-r\sin A+{\frac {({\frac {1}{2}}).(-2).r^{2}\sin A\cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}\\&=&-r\sin A-{\frac {r^{2}\sin A\cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}\end{array}}} Ускорение относительно угла кривошипа (вторая производная взята, используя правило дифференцирования сложной функции и частное правило): x ″ = d 2 x d A 2 = − r cos ⁡ A − r 2 cos 2 ⁡ A l 2 − r 2 sin 2 ⁡ A − − r 2 sin 2 ⁡ A l 2 − r 2 sin 2 ⁡ A − r 2 sin ⁡ A cos ⁡ A . ( − 1 2 ) ⋅ ( − 2 ) . r 2 sin ⁡ A cos ⁡ A ( l 2 − r 2 sin 2 ⁡ A ) 3 = − r cos ⁡ A − r 2 ( cos 2 ⁡ A − sin 2 ⁡ A ) l 2 − r 2 sin 2 ⁡ A − r 4 sin 2 ⁡ A cos 2 ⁡ A ( l 2 − r 2 sin 2 ⁡ A ) 3 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}x''&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\\&=&-r\cos A-{\frac {r^{2}\cos ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}-{\frac {-r^{2}\sin ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{2}\sin A\cos A.(-{\frac {1}{2}})\cdot (-2).r^{2}\sin A\cos A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\&=&-r\cos A-{\frac {r^{2}(\cos ^{2}A-\sin ^{2}A)}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{4}\sin ^{2}A\cos ^{2}A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\end{array}}} График показывает x, x', x" по отношению к углу поворота кривошипа для различных радиусов кривошипа, где L — длина шатуна (l) и R — радиус кривошипа (r): Анимация движения поршня с шатуном одинаковой длины и с кривошипом переменного радиуса на графике выше: Кривошипно-шатунный механизм используется в двигателях внутреннего сгорания, поршневых компрессорах, поршневых насосах, швейных машинах, кривошипных прессах, в приводе задвижек некоторых квартирных и сейфовых дверей.