text: Теперь для функции f ∈ S ∗ ( R ) {\displaystyle f\in S^{*}(\mathbb {R} )} её преобразованием Фурье называется обобщённая функция f ^ ∈ S ∗ ( R ) {\displaystyle {\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb {R} )} , действующая на основные функции по правилу ⟨ f ^ , φ ⟩ = ⟨ f , φ ^ ⟩ . {\displaystyle \langle {\hat {f}},\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi }}\rangle .} Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции: ⟨ δ ^ , φ ⟩ = ⟨ δ , φ ^ ⟩ = ⟨ δ , 1 2 π ∫ − ∞ ∞ φ ( x ) e − i ω x d x ⟩ = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ φ ( x ) ⋅ 1 d x = ⟨ 1 2 π , φ ⟩ . {\displaystyle \langle {\hat {\delta }},\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi }}\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\;\varphi \right\rangle .} Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}} .