text: Для любой пары ξ , η ∈ T p M {\displaystyle \xi ,\eta \in T_{p}M} касательных векторов в точке p, тензор Риччи R i c ( ξ , η ) {\displaystyle \mathrm {Ric} (\xi ,\eta )} , по определению, отображает ( ξ , η ) {\displaystyle (\xi ,\eta )} в след линейного автоморфизма T p M → T p M {\displaystyle T_{p}M\to T_{p}M} , заданного тензором кривизны Римана R: ζ ↦ R ( ζ , η ) ξ {\displaystyle \zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi } Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам: Ric = R i j d x i ⊗ d x j {\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}} где R i j = R k i k j . {\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.} — след тензора Римана в координатном представлении.