text: Если обозначить через Λ M {\displaystyle \Lambda M} пространство гладких 1-периодических кривых на M, замкнутые геодезические с периодом 1 — это в точности критические точки функции энергии E : Λ M → R {\displaystyle E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R} } , определённой формулой E ( γ ) = ∫ 0 1 g γ ( t ) ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) d t . {\displaystyle E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.} Если γ {\displaystyle \gamma } — замкнутая геодезическая с периодом p, перепараметризованная кривая t ↦ γ ( p t ) {\displaystyle t\mapsto \gamma (pt)} является замкнутой геодезической с периодом 1, а потому она является критической точкой E. Если γ {\displaystyle \gamma } является критической точкой E, таковыми являются и перепараметризованные кривые γ m {\displaystyle \gamma ^{m}} , для любого m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } , определённые формулой γ m ( t ) := γ ( m t ) {\displaystyle \gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)} .