text: Тогда δ Φ = ∫ 1 2 ( 2 f ′ ( x ) ( δ f ( x ) ) ′ + 3 ( f ( x ) ) 2 δ f ( x ) ) d x . {\displaystyle \delta \Phi =\int \limits _{1}^{2}\left(2f'(x)(\delta f(x))'+3(f(x))^{2}\delta f(x)\right)\,dx.} Теперь, чтобы δ f ( x ) {\displaystyle \delta f(x)} не стояло под знаком производной, мешающим вынести за скобки δ f ( x ) {\displaystyle \delta f(x)} из обоих членов (оставшееся в скобках суть вариационная производная), надо в первом слагаемом воспользоваться интегрированием по частям: δ Φ = ∫ 1 2 2 f ′ ( x ) ( δ f ( x ) ) ′ d x + ∫ 1 2 3 ( f ( x ) ) 2 δ f ( x ) d x = {\displaystyle \delta \Phi =\int \limits _{1}^{2}2f'(x)(\delta f(x))'\,dx+\int \limits _{1}^{2}3(f(x))^{2}\delta f(x)\,dx=} = 2 f ′ ( x ) δ f ( x ) | 1 2 − ∫ 1 2 ( 2 f ′ ( x ) ) ′ δ f ( x ) d x + ∫ 1 2 3 ( f ( x ) ) 2 δ f ( x ) d x . {\displaystyle =2f'(x)\delta f(x){\bigg |}_{1}^{2}-\int \limits _{1}^{2}(2f'(x))'\delta f(x)\,dx+\int \limits _{1}^{2}3(f(x))^{2}\delta f(x)\,dx.} Теперь можно опять превратить сумму интегралов в один и вынести за скобки δ f {\displaystyle \delta f} : δ Φ = 2 f ′ ( x ) δ f ( x ) | 1 2 − ∫ 1 2 ( 2 f ′ ( x ) ) ′ δ f ( x ) d x + ∫ 1 2 3 ( f ( x ) ) 2 δ f ( x ) d x = {\displaystyle \delta \Phi =2f'(x)\delta f(x){\bigg |}_{1}^{2}-\int \limits _{1}^{2}(2f'(x))'\delta f(x)\,dx+\int \limits _{1}^{2}3(f(x))^{2}\delta f(x)\,dx=} = 2 f ′ ( x ) δ f ( x ) | 1 2 + ∫ 1 2 ( − ( 2 f ′ ( x ) ) ′ δ f ( x ) + 3 ( f ( x ) ) 2 δ f ( x ) ) d x = {\displaystyle =2f'(x)\delta f(x){\bigg |}_{1}^{2}+\int \limits _{1}^{2}\left(-(2f'(x))'\delta f(x)+3(f(x))^{2}\delta f(x)\right)\,dx=} = 2 f ′ ( x ) δ f ( x ) | 1 2 + ∫ 1 2 ( − ( 2 f ′ ( x ) ) ′ + 3 ( f ( x ) ) 2 ) δ f ( x ) d x , {\displaystyle =2f'(x)\delta f(x){\bigg |}_{1}^{2}+\int \limits _{1}^{2}\left(-(2f'(x))'+3(f(x))^{2}\right)\delta f(x)\,dx,} оставив граничный член 2 f ′ ( x ) δ f ( x ) | 1 2 = 2 f ′ ( 2 ) δ f ( 2 ) − 2 f ′ ( 1 ) δ f ( 1 ) {\displaystyle 2f'(x)\delta f(x){\bigg |}_{1}^{2}=2f'(2)\delta f(2)-2f'(1)\delta f(1)} , стоящим отдельно.