text: Одно из таких решений обнаружил Симха Брудно в 1964, дающее решение уравнения Якоби-Маддена: 5400 4 + 1770 4 + ( − 2634 ) 4 + 955 4 = ( 5400 + 1770 − 2634 + 955 ) 4 . {\displaystyle 5400^{4}+1770^{4}+(-2634)^{4}+955^{4}=(5400+1770-2634+955)^{4}.\,} Якоби и Мадден начали с a 4 + b 4 + c 4 + d 4 = ( a + b + c + d ) 4 {\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}} И тождества, a 4 + b 4 + ( a + b ) 4 = 2 ( a 2 + a b + b 2 ) 2 {\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}=2(a^{2}+ab+b^{2})^{2}} Добавив ( a + b ) 4 + ( c + d ) 4 {\displaystyle (a+b)^{4}+(c+d)^{4}} к обоим частям уравнения, a 4 + b 4 + ( a + b ) 4 + c 4 + d 4 + ( c + d ) 4 = ( a + b ) 4 + ( c + d ) 4 + ( a + b + c + d ) 4 {\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}+c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4}=(a+b)^{4}+(c+d)^{4}+(a+b+c+d)^{4}} можно видеть, что это частный случай пифагоровой тройки, ( a 2 + a b + b 2 ) 2 + ( c 2 + c d + d 2 ) 2 = ( ( a + b ) 2 + ( a + b ) ( c + d ) + ( c + d ) 2 ) 2 = 1 4 ( ( a + b ) 2 + ( c + d ) 2 + ( a + b + c + d ) 2 ) 2 {\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}={\big (}(a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2}{\big )}^{2}={\tfrac {1}{4}}{\big (}(a+b)^{2}+(c+d)^{2}+(a+b+c+d)^{2}{\big )}^{2}} Они затем использовали решение Брудно и некую эллиптическую кривую для построения бесконечной серии решений как уравнения Якоби-Маддена, так и уравнения Эйлера.