text: Рассмотрим вектор-функцию F : R 2 → R 2 {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} F ( x , y ) = . {\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y}\\\end{bmatrix}}.} Матрица Якоби F {\displaystyle F} имеет вид J F ( x , y ) = . {\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y},&{-e^{x}{\cdot }\sin y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y},&{e^{x}{\cdot }\cos y}\\\end{bmatrix}}.} Её определитель: det = e 2 x ⋅ cos 2 ⁡ y + e 2 x ⋅ sin 2 ⁡ y = e 2 x . {\displaystyle \det=e^{2x}{\cdot }\cos ^{2}y+e^{2x}{\cdot }\sin ^{2}y=e^{2x}.} Заметим, что e 2 x ≠ 0 {\displaystyle e^{2x}\neq 0} в любой точке.