text: Символически это записывается так: ( ∀ ε > 0 ) ( ∀ t 0 ∈ I ) ( ∃ δ ( t 0 , ε ) > 0 ) ( ∀ x 0 ∈ B δ ( t 0 , ε ) ) ( ∀ t ≥ t 0 , t ∈ J + ) ⇒ ( ‖ x ( t , t 0 , x 0 ) ‖ < ε ) {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)(\forall t_{0}\in I)(\exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0)(\forall x_{0}\in B_{\delta (t_{0},\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )} Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε: ( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ ( ε ) > 0 ) ( ∀ t 0 ∈ I ) ( ∀ x 0 ∈ B δ ( ε ) ) ( ∀ t ≥ t 0 , t ∈ J + ) ⇒ ( ‖ x ( t , t 0 , x 0 ) ‖ < ε ) {\displaystyle (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta (\varepsilon )>0)(\forall t_{0}\in I)(\forall x_{0}\in B_{\delta (\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )} Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если: ( ∃ ε > 0 ) ( ∃ t 0 ∈ I ) ( ∀ δ > 0 ) ( ∃ x 0 ∈ B δ ) ( ∃ t ∗ ≥ t 0 , t ∗ ∈ J + ) ⇒ ( ‖ x ( t ∗ , t 0 , x 0 ) ‖ ≥ ε ) {\displaystyle (\exists \varepsilon >0)(\exists t_{0}\in I)(\forall \delta >0)(\exists x_{0}\in B_{\delta })(\exists t_{*}\geq t_{0},t_{*}\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t_{*},t_{0},x_{0})\|\geq \varepsilon )} Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие lim t → ∞ ‖ x ( t , t 0 , x 0 ) ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})\|=0} для всякого x с начальным условием x0, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.