text: В отличие от обычного биномиального коэффициента, гауссов биномиальный коэффициент имеет конечные значения для m → ∞ {\displaystyle m\rightarrow \infty } (предел имеет аналитический смысл для | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} ): ( ∞ r ) q = lim m → ∞ ( m r ) q = 1 q ! ( 1 − q ) r {\displaystyle {\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{_{q}!\,(1-q)^{r}}}} ( 0 0 ) q = ( 1 0 ) q = 1 {\displaystyle {0 \choose 0}_{q}={1 \choose 0}_{q}=1} ( 1 1 ) q = 1 − q 1 − q = 1 {\displaystyle {1 \choose 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1} ( 2 1 ) q = 1 − q 2 1 − q = 1 + q {\displaystyle {2 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q} ( 3 1 ) q = 1 − q 3 1 − q = 1 + q + q 2 {\displaystyle {3 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}} ( 3 2 ) q = ( 1 − q 3 ) ( 1 − q 2 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) = 1 + q + q 2 {\displaystyle {3 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2})}}=1+q+q^{2}} ( 4 2 ) q = ( 1 − q 4 ) ( 1 − q 3 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) = ( 1 + q 2 ) ( 1 + q + q 2 ) = 1 + q + 2 q 2 + q 3 + q 4 {\displaystyle {4 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2})}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}} Вместо этих алгебраических выражений, можно также дать комбинаторное определение гауссовых биномиальных коэффициентов.