text: Тогда имеет место оценка: | ∑ x ∈ A ∑ y ∈ B χ ( x + y ) | ≤ c ‖ A ‖ ⋅ ‖ B ‖ q − ε 2 20 , c = c ( ε ) > 0. {\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{x\in A}\sum \limits _{y\in B}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\|\cdot \|B\|q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{20}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.} Метод А. А. Карацубы позволяет получать нетривиальные оценки сумм такого рода и в некоторых случаях, когда указанные выше условия на множества A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} заменяются иными, например: ‖ A ‖ > q ε {\displaystyle \|A\|>q^{\varepsilon }} , ‖ A ‖ ⋅ ‖ B ‖ > q 1 / 2 + ε . {\displaystyle {\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }.} В случае же, когда A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} представляют собой множества простых чисел отрезков ( 1 , X ] {\displaystyle (1,X]} , ( 1 , Y ] {\displaystyle (1,Y]} соответственно, причём X ≥ q 1 / 4 + ε {\displaystyle X\geq q^{1/4+\varepsilon }} , Y ≥ q 1 / 4 + ε {\displaystyle Y\geq q^{1/4+\varepsilon }} , имеет место оценка вида: | ∑ p ≤ X ∑ p ′ ≤ Y χ ( p + p ′ ) | ≤ c π ( X ) π ( Y ) q − c 1 ε 2 , {\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{p\leq X}\sum \limits _{p'\leq Y}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{-c_{1}\varepsilon ^{2}},} где π ( Z ) {\displaystyle \pi (Z)} — количество простых чисел, не превосходящих Z {\displaystyle Z} , c = c ( ε ) > 0 {\displaystyle c=c(\varepsilon )>0} , а c 1 {\displaystyle c_{1}} — некоторая абсолютная постоянная.