text: Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов: sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + x 9 9 ! − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},} cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + x 8 8 ! − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! . {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.} Пользуясь этими формулами, а также равенствами tg x = sin ⁡ x cos ⁡ x , {\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},} ctg x = cos ⁡ x sin ⁡ x , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},} sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}} и cosec x = 1 sin ⁡ x , {\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},} можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций: tg x = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 x 7 + 62 2835 x 9 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) | B 2 n | ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ( − π 2 < x < π 2 ) , {\displaystyle {\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}} ctg x = 1 x − x 3 − x 3 45 − 2 x 5 945 − x 7 4725 − ⋯ = 1 x − ∑ n = 1 ∞ 2 2 n | B 2 n | ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ( − π < x < π ) , {\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}} sec ⁡ x = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + 277 8064 x 8 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ | E n | ( 2 n ) ! x 2 n , ( − π 2 < x < π 2 ) , {\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{n}|}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}} cosec ⁡ x = 1 x + 1 6 x + 7 360 x 3 + 31 15120 x 5 + 127 604800 x 7 + ⋯ = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) | B 2 n | ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ( − π < x < π ) , {\displaystyle \operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),} где B n {\displaystyle B_{n}} — числа Бернулли, E n {\displaystyle E_{n}} — числа Эйлера.