text: Тогда a 0 = 1 , a 1 = 0 {\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=0} , что даёт решение в виде θ ( ξ ) = sin ⁡ ξ ξ . {\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}.} Рассмотрим уравнение Лейна — Эмдена: 1 ξ 2 d d ξ ( ξ 2 d θ d ξ ) + θ 5 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0.} Для d θ d ξ {\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}} получим d θ d ξ = 1 2 ( 1 + ξ 2 3 ) 3 / 2 2 ξ 3 = ξ 3 3 3 / 2 . {\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3^{3/2}}}.} Дифференцируем по ξ: θ 5 = ξ 2 3 / 2 + 3 ξ 2 9 5 / 2 = 9 9 5 / 2 . {\displaystyle \theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9^{5/2}}}={\frac {9}{9^{5/2}}}.} После упрощения получаем θ 5 = 1 5 / 2 . {\displaystyle \theta ^{5}={\frac {1}{^{5/2}}}.} Таким образом, уравнение имеет решение θ ( ξ ) = 1 1 + ξ 2 / 3 {\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}} при n = 5 {\displaystyle n=5} .