text: Рассмотрим гамильтониан для одной долины H + = − i ℏ v ( 0 i ∂ ∂ x + ∂ ∂ y − i ∂ ∂ x + ∂ ∂ y 0 ) . ( 4.1 ) {\displaystyle H_{+}=-i\hbar v{\begin{pmatrix}0&i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\\-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&0\end{pmatrix}}.\qquad (4.1)} Волновая функция представляется в виде спинора состоящего из двух компонентов Ψ = ( ϕ χ ) . ( 4.2 ) {\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}.\qquad (4.2)} Эта функция удовлетворяет следующему уравнению для свободных частиц { − i ℏ v ( i ∂ χ ∂ x + ∂ χ ∂ y ) = E ϕ − i ℏ v ( − i ∂ ϕ ∂ x + ∂ ϕ ∂ y ) = E χ ( 4.3 ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-i\hbar v\left(i{\frac {\partial \chi }{\partial x}}+{\frac {\partial \chi }{\partial y}}\right)=E\phi &\\-i\hbar v\left(-i{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)=E\chi &\end{matrix}}\right.\qquad (4.3)} Подставляя второе уравнение в первое получим волновое уравнение ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ∂ 2 ϕ ∂ y 2 = − E 2 ℏ 2 v 2 ϕ , ( 4.4 ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}=-{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}v^{2}}}\phi ,\qquad (4.4)} решением которого будет плоская волна ϕ = 1 2 e i k x x + i k y y . ( 4.5 ) {\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.5)} Собственные значение имеют вид непрерывного линейного спектра E = ± ℏ v k F = ± ℏ v k x 2 + k y 2 . ( 4.6 ) {\displaystyle E=\pm \hbar vk_{F}=\pm \hbar v{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.\qquad (4.6)} Вторую компоненту волновой функции легко найти подставив найденное решение во второе уравнение (4.3) χ = − i ℏ v ( k x + i k y ) E 1 2 e i k x x + i k y y = − i e i θ ℏ v k F E 1 2 e i k x x + i k y y . ( 4.7 ) {\displaystyle \chi =-i{\frac {\hbar v\left(k_{x}+ik_{y}\right)}{E}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}=-ie^{i\theta }{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.7)} Поэтому волновая функция для K + {\displaystyle K^{+}} долины запишется в виде Ψ = 1 2 ( 1 − i e i θ ℏ v k F E ) e i k x x + i k y y . ( 4.8 ) {\displaystyle \Psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-ie^{i\theta }{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}\end{pmatrix}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.8)} Лозовик Ю. Е. , Меркулова С.П., Соколик А.А. Коллективные электронные явления в графене // УФН. — 2008. — Т. 178, № 7. — С. 757–776.