text: Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций ϑ 01 ( z ∣ q ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − 2 cos ⁡ ( 2 π z ) q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ) , ϑ 10 ( z ∣ q ) = 2 q 1 4 cos ⁡ ( π z ) ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + 2 cos ⁡ ( 2 π z ) q 2 m + q 4 m ) , ϑ 11 ( z ∣ q ) = − 2 q 1 4 sin ⁡ ( π z ) ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − 2 cos ⁡ ( 2 π z ) q 2 m + q 4 m ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}} Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления: ϑ 00 ( z ; τ ) = − i ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ⁡ ( 2 u z + π u ) sin ⁡ ( π u ) d u ; ϑ 01 ( z ; τ ) = − i ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ⁡ ( 2 u z ) sin ⁡ ( π u ) d u ; ϑ 10 ( z ; τ ) = − i e i z + 1 4 i π τ ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ⁡ ( 2 u z + π u + π τ u ) sin ⁡ ( π u ) d u ; ϑ 11 ( z ; τ ) = e i z + 1 4 i π τ ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ⁡ ( 2 u z + π τ u ) sin ⁡ ( π u ) d u . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}} См. статью Йи (2004). φ ( e − π x ) = ϑ ( 0 ; i x ) = θ 3 ( 0 ; e − π x ) = ∑ n = − ∞ ∞ e − x π n 2 φ ( e − π ) = π 4 Γ ( 3 4 ) φ ( e − 2 π ) = 6 π + 4 2 π 4 2 Γ ( 3 4 ) φ ( e − 3 π ) = 27 π + 18 3 π 4 3 Γ ( 3 4 ) φ ( e − 4 π ) = 8 π 4 + 2 π 4 4 Γ ( 3 4 ) φ ( e − 5 π ) = 225 π + 100 5 π 4 5 Γ ( 3 4 ) φ ( e − 6 π ) = 3 2 + 3 3 4 + 2 3 − 27 4 + 1728 4 − 4 3 ⋅ 243 π 2 8 6 1 + 6 − 2 − 3 6 Γ ( 3 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt{27\pi +18{\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {{\sqrt{8\pi }}+2{\sqrt{\pi }}}{4\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt{225\pi +100{\sqrt {5}}\pi }}{5\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {{\sqrt{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt{3}}+2{\sqrt {3}}-{\sqrt{27}}+{\sqrt{1728}}-4}}\cdot {\sqrt{243{\pi }^{2}}}}{6{\sqrt{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}\;{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}}\end{aligned}}} Следующие два тождества для рядов доказал Иштван Мезо: ϑ 4 2 ( q ) = i q 1 4 ∑ k = − ∞ ∞ q 2 k 2 − k ϑ 1 ( 2 k − 1 2 i ln ⁡ q , q ) , ϑ 4 2 ( q ) = ∑ k = − ∞ ∞ q 2 k 2 ϑ 4 ( k ln ⁡ q i , q ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\\vartheta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}} Эти отношения выполняются для всех 0 < q < 1.