text: В 1842 году, Мальмстену также удалось подсчитать несколько важнейших логарифмических рядов, среди которых наиболее выделяются следующие два: ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ln ⁡ ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 = π 4 ( ln ⁡ π − γ ) − π ln ⁡ Γ ( 3 4 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\ln \pi -\gamma )-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)} и ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 sin ⁡ a n ⋅ ln ⁡ n n = π ln ⁡ { π 1 2 − a 2 π Γ ( 1 2 + a 2 π ) } − a 2 ( γ + ln ⁡ 2 ) − π 2 ln ⁡ cos ⁡ a 2 , − π < a < π . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\,=\,\pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}{\Gamma \left(\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}{\big (}\gamma +\ln 2{\big )}-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a<\pi .} Последний результат особенно важен так как он представляет собой разложение в ряд Фурье логарифма Гамма-функции, результат, который обычно, и как показано в, ошибочно приписывается Ернсту Куммеру, который получил похожую формулу 1 π ∑ n = 1 ∞ sin ⁡ 2 π n x ⋅ ln ⁡ n n = ln ⁡ Γ ( x ) − 1 2 ln ⁡ ( 2 π ) + 1 2 ln ⁡ ( 2 sin ⁡ π x ) − 1 2 ( γ + ln ⁡ 2 π ) ( 1 − 2 x ) , 0 < x < 1 , {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}=\ln \Gamma (x)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \pi x)-{\frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2\pi )(1-2x)\,,\qquad 0<x<1,} лишь в 1847 году (строго говоря, результат Куммера получается из результата Мальмстена полагая a=π(2x-1)).