text: Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих сторон A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . {\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {OA\cdot OB}{OC\cdot OD}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {OB\cdot OC}{OD\cdot OA}}.} Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D . {\displaystyle AB\cdot BC=OB^{2}+{\frac {OA\cdot OB\cdot OC}{OD}}.} Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD, то O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . {\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.} Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . {\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.} Если M1 и M2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то O M 1 O M 2 = O A ⋅ O C O B ⋅ O D = e + g f + h , {\displaystyle {\frac {OM_{1}}{OM_{2}}}={\frac {OA\cdot OC}{OB\cdot OD}}={\frac {e+g}{f+h}},} где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C и D соответственно.