text: Множество A = ⋃ n = 0 ∞ { 2 2 n , … , 2 2 n + 1 − 1 } {\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}} чисел, чье двоичное представление содержит нечетное число цифр, — пример множества, не обладающего асимптотической плотностью, так как верхняя плотность равна d ¯ ( A ) = lim m → ∞ 1 + 2 2 + ⋯ + 2 2 m 2 2 m + 1 − 1 = lim m → ∞ 2 2 m + 2 − 1 3 ( 2 2 m + 1 − 1 ) = 2 3 , {\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}\,,} в то время, как нижняя d _ ( A ) = lim m → ∞ 1 + 2 2 + ⋯ + 2 2 m 2 2 m + 2 − 1 = lim m → ∞ 2 2 m + 2 − 1 3 ( 2 2 m + 2 − 1 ) = 1 3 . {\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}\,.}