text: Марков показал, что если f ( x , y ) = a x 2 + b x y + c y 2 {\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}} является неопределённой бинарной квадратичной формой с вещественными коэффициентами и дискриминант D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac} , то существуют целые числа x, y, для которых f принимает ненулевое значение, по абсолютной величине не превосходящее D 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}} , если только f не имеет вид формы Маркова — умноженную на константу форму p x 2 + ( 3 p − 2 a ) x y + ( b − 3 a ) y 2 {\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}} , где (p, q, r) является тройкой Маркова и 0 < a < p / 2 , a q ≡ ± r mod p , b p − a 2 = 1. {\displaystyle 0<a<p/2,aq\equiv \pm r{\bmod {p}},bp-a^{2}=1.} Если X и Y принадлежат SL2(C), то Tr(X) Tr(Y) Tr(X⋅Y) + Tr(X⋅Y⋅X−1⋅Y−1) + 2 = Tr(X)2 + Tr(Y)2 + Tr(X⋅Y)2 так что в случае Tr(X⋅Y⋅X−1 ⋅ Y−1) = −2 Tr(X) Tr(Y) Tr(X⋅Y) = Tr(X)2 + Tr(Y)2 + Tr(X⋅Y)2 В частности, если X и Y имеют целочисленные составляющие, то Tr(X)/3, Tr(Y)/3 и Tr(X⋅Y)/3 является тройкой Маркова.