text: Формулы половинного угла: sin ⁡ α 2 = 1 − cos ⁡ α 2 , 0 ⩽ α ⩽ 2 π , {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,} cos ⁡ α 2 = 1 + cos ⁡ α 2 , − π ⩽ α ⩽ π , {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,} tg α 2 = 1 − cos ⁡ α sin ⁡ α = sin ⁡ α 1 + cos ⁡ α , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},} ctg α 2 = sin ⁡ α 1 − cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ α sin ⁡ α , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},} tg α 2 = 1 − cos ⁡ α 1 + cos ⁡ α , 0 ⩽ α < π , {\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,} ctg α 2 = 1 + cos ⁡ α 1 − cos ⁡ α , 0 < α ⩽ π . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}},\quad 0<\alpha \leqslant \pi .} Формулы для произведений функций двух углов: sin ⁡ α sin ⁡ β = cos ⁡ ( α − β ) − cos ⁡ ( α + β ) 2 , {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},} sin ⁡ α cos ⁡ β = sin ⁡ ( α − β ) + sin ⁡ ( α + β ) 2 , {\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}},} cos ⁡ α cos ⁡ β = cos ⁡ ( α − β ) + cos ⁡ ( α + β ) 2 , {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}},} tg α tg β = cos ⁡ ( α − β ) − cos ⁡ ( α + β ) cos ⁡ ( α − β ) + cos ⁡ ( α + β ) , {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}},} tg α ctg β = sin ⁡ ( α − β ) + sin ⁡ ( α + β ) sin ⁡ ( α + β ) − sin ⁡ ( α − β ) , {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}},} ctg α ctg β = cos ⁡ ( α − β ) + cos ⁡ ( α + β ) cos ⁡ ( α − β ) − cos ⁡ ( α + β ) . {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}}.} Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов: sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ γ = sin ⁡ ( α + β − γ ) + sin ⁡ ( β + γ − α ) + sin ⁡ ( α − β + γ ) − sin ⁡ ( α + β + γ ) 4 , {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},} sin ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ γ = − cos ⁡ ( α + β − γ ) + cos ⁡ ( β + γ − α ) + cos ⁡ ( α − β + γ ) − cos ⁡ ( α + β + γ ) 4 , {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},} sin ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ = sin ⁡ ( α + β − γ ) − sin ⁡ ( β + γ − α ) + sin ⁡ ( α − β + γ ) − sin ⁡ ( α + β + γ ) 4 , {\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},} cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ = cos ⁡ ( α + β − γ ) + cos ⁡ ( β + γ − α ) + cos ⁡ ( α − β + γ ) + cos ⁡ ( α + β + γ ) 4 . {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.} Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше. sin 2 ⁡ α = 1 − cos ⁡ 2 α 2 = tg 2 α 1 + tg 2 α , {\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},} cos 2 ⁡ α = 1 + cos ⁡ 2 α 2 = ctg 2 α 1 + ctg 2 α , {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha }},} tg 2 α = 1 − cos ⁡ 2 α 1 + cos ⁡ 2 α = sin 2 α 1 − sin 2 α , {\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatorname {sin} ^{2}\,\alpha }{1-\operatorname {sin} ^{2}\,\alpha }},} ctg 2 α = 1 + cos ⁡ 2 α 1 − cos ⁡ 2 α , = cos 2 α 1 − cos 2 α , {\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }},={\frac {\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }{1-\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }},} sin 3 ⁡ α = 3 sin ⁡ α − sin ⁡ 3 α 4 , {\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{4}},} cos 3 ⁡ α = 3 cos ⁡ α + cos ⁡ 3 α 4 , {\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{4}},} tg 3 α = 3 sin ⁡ α − sin ⁡ 3 α 3 cos ⁡ α + cos ⁡ 3 α , {\displaystyle \operatorname {tg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }},} ctg 3 α = 3 cos ⁡ α + cos ⁡ 3 α 3 sin ⁡ α − sin ⁡ 3 α , {\displaystyle \operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }},} sin 4 ⁡ α = cos ⁡ 4 α − 4 cos ⁡ 2 α + 3 8 , {\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{8}},} cos 4 ⁡ α = cos ⁡ 4 α + 4 cos ⁡ 2 α + 3 8 , {\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{8}},} tg 4 α = cos ⁡ 4 α − 4 cos ⁡ 2 α + 3 cos ⁡ 4 α + 4 cos ⁡ 2 α + 3 , {\displaystyle \operatorname {tg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}},} ctg 4 α = cos ⁡ 4 α + 4 cos ⁡ 2 α + 3 cos ⁡ 4 α − 4 cos ⁡ 2 α + 3 . {\displaystyle \operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}}.} sin ⁡ α ± sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α ± β 2 cos ⁡ α ∓ β 2 , {\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}},} cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 , {\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}},} cos ⁡ α − cos ⁡ β = − 2 sin ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 , {\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}},} tg ⁡ α ± tg ⁡ β = sin ⁡ ( α ± β ) cos ⁡ α cos ⁡ β , {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }},} ctg ⁡ α ± ctg ⁡ β = sin ⁡ ( β ± α ) sin ⁡ α sin ⁡ β , {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }},} 1 ± sin ⁡ 2 α = ( sin ⁡ α ± cos ⁡ α ) 2 , {\displaystyle 1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2},} sin ⁡ α ± cos ⁡ α = 2 ⋅ sin ⁡ ( α ± π 4 ) . {\displaystyle \sin \alpha \pm \cos \alpha ={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(\alpha \pm {\pi \over 4}\right).} Существует представление: A sin ⁡ α + B cos ⁡ α = A 2 + B 2 sin ⁡ ( α + ϕ ) , {\displaystyle A\sin \alpha +B\cos \alpha ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\;\sin(\alpha +\phi ),} где угол ϕ {\displaystyle \phi } находится из соотношений: sin ⁡ ϕ = B A 2 + B 2 , {\displaystyle \sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},} cos ⁡ ϕ = A A 2 + B 2 . {\displaystyle \cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.} Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла: sin ⁡ x = sin ⁡ x 1 = 2 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 sin 2 ⁡ x 2 + cos 2 ⁡ x 2 = 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 , {\displaystyle \sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},} cos ⁡ x = cos ⁡ x 1 = cos 2 ⁡ x 2 − sin 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 + sin 2 ⁡ x 2 = 1 − tg 2 ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 , {\displaystyle \cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},} tg ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x = 2 tg ⁡ x 2 1 − tg 2 ⁡ x 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},} ctg ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x = 1 − tg 2 ⁡ x 2 2 tg ⁡ x 2 , {\displaystyle \operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}},} sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ x 2 1 − tg 2 ⁡ x 2 , {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},} cosec ⁡ x = 1 sin ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ x 2 2 tg ⁡ x 2 . {\displaystyle \operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}.} Формула Эйлера: e i ϑ = cos ⁡ ϑ + i sin ⁡ ϑ . {\displaystyle e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta .} Формула Эйлера позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов: sin ⁡ z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! z 2 n + 1 = e i z − e − i z 2 i = sh ⁡ i z i ; {\displaystyle \sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\,={\frac {\operatorname {sh} iz}{i}};} cos ⁡ z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! z 2 n = e i z + e − i z 2 = ch ⁡ i z ; {\displaystyle \cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\,=\operatorname {ch} iz;} tg z = sin ⁡ z cos ⁡ z = e i z − e − i z i ( e i z + e − i z ) ; {\displaystyle \operatorname {tg} \,z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}};} ctg z = cos ⁡ z sin ⁡ z = i ( e i z + e − i z ) e i z − e − i z ; {\displaystyle \operatorname {ctg} \,z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}};} sec ⁡ z = 1 cos ⁡ z = 2 e i z + e − i z ; {\displaystyle \sec z={\frac {1}{\cos z}}={\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}};} cosec z = 1 sin ⁡ z = 2 i e i z − e − i z , {\displaystyle \operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},} где i 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.} Соответственно, для вещественного x: cos ⁡ x = Re ⁡ ( e i x ) , {\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),} sin ⁡ x = Im ⁡ ( e i x ) . {\displaystyle \sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}).} Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями: sin ⁡ ( x + i y ) = sin ⁡ x ch y + i cos ⁡ x sh y , {\displaystyle \sin(x+iy)=\sin x\,\operatorname {ch} \,y+i\cos x\,\operatorname {sh} \,y,} cos ⁡ ( x + i y ) = cos ⁡ x ch y − i sin ⁡ x sh y . {\displaystyle \cos(x+iy)=\cos x\,\operatorname {ch} \,y-i\sin x\,\operatorname {sh} \,y.} Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае.