text: Его образом на гиперсфере будет отрезок: ( 43 ) d n = n i d u i = − ( b i j d u i ) r j {\displaystyle (43)\qquad d\mathbf {n} =\mathbf {n} _{i}du^{i}=-(b_{i}^{j}du^{i})\mathbf {r} _{j}} Теперь мы можем рассмотреть параллелепипед, построенный на n {\displaystyle n} векторах: ( 44 ) ( d r ) ( 1 ) = r 1 d u 1 , ( d r ) ( 2 ) = r 2 d u 2 , … ( d r ) ( n ) = r n d u n {\displaystyle (44)\qquad (d\mathbf {r} )^{(1)}=\mathbf {r} _{1}du^{1},\;(d\mathbf {r} )^{(2)}=\mathbf {r} _{2}du^{2},\;\dots \;(d\mathbf {r} )^{(n)}=\mathbf {r} _{n}du^{n}} Объем этого параллелепипеда будет величиной мультивектора, составленного из следующих векторов: ( 45 ) d τ ( r ) = ( r 1 ∧ r 2 ∧ ⋯ ∧ r n ) d u 1 d u 2 ⋯ d u n {\displaystyle (45)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{(\mathbf {r} )}=(\mathbf {r} _{1}\wedge \mathbf {r} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {r} _{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}} Образами векторов (44) на гиперсфере S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} будут такие векторы: ( 46 ) ( d n ) ( 1 ) = n 1 d u 1 = ( − ∑ i 1 b 1 i 1 r i 1 ) d u 1 ( d n ) ( 2 ) = n 2 d u 2 = ( − ∑ i 2 b 2 i 2 r i 2 ) d u 2 ⋯ ( d n ) ( n ) = n n d u n = ( − ∑ i n b n i n r i n ) d u n {\displaystyle (46)\qquad {\begin{matrix}(d\mathbf {n} )^{(1)}=\mathbf {n} _{1}du^{1}=(-\sum _{i_{1}}b_{1}^{i_{1}}\mathbf {r} _{i_{1}})du^{1}\\(d\mathbf {n} )^{(2)}=\mathbf {n} _{2}du^{2}=(-\sum _{i_{2}}b_{2}^{i_{2}}\mathbf {r} _{i_{2}})du^{2}\\\cdots \\(d\mathbf {n} )^{(n)}=\mathbf {n} _{n}du^{n}=(-\sum _{i_{n}}b_{n}^{i_{n}}\mathbf {r} _{i_{n}})du^{n}\end{matrix}}} Из этих образов мы также составляем мультивектор: ( 47 ) d τ ( n ) = ( n 1 ∧ n 2 ∧ ⋯ ∧ n n ) d u 1 d u 2 ⋯ d u n = ( − 1 ) n det ( b j i ) d τ ( r ) {\displaystyle (47)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{(\mathbf {n} )}=(\mathbf {n} _{1}\wedge \mathbf {n} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {n} _{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}=(-1)^{n}\det(b_{j}^{i})\,d{\boldsymbol {\tau }}^{(\mathbf {r} )}} Из формулы (47) видно, что образ мультивектора пропорционален оригиналу с коэффициентом пропорциональности, который мы обозначим так: ( 48 ) K = ( − 1 ) n det ( b j i ) = ( − k ( 1 ) ) ( − k ( 2 ) ) ⋯ ( − k ( n ) ) {\displaystyle (48)\qquad K^{}=(-1)^{n}\det(b_{j}^{i})=(-k^{(1)})(-k^{(2)})\cdots (-k^{(n)})} и назовем его кривизной Гаусса n {\displaystyle n} -й степени.