text: Задавая решётку Γ {\displaystyle \Gamma } её базисом, Γ = { m ω 1 + n ω 2 ∣ m , n ∈ Z } {\displaystyle \Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}} , можно записать ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = 1 z 2 + ∑ ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ( 1 ( z − m ω 1 − n ω 2 ) 2 − 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 2 ) . {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right).} Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, ℘ ( a z ; a ω 1 , a ω 2 ) = a − 2 ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle \wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{-2}\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})} , обозначив τ = ω 2 / ω 1 {\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}} , имеет место равенство ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = ω 1 − 2 ℘ ( z / ω 1 ; 1 , τ ) . {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ).} Поэтому рассматривают ℘ ( z ; τ ) = ℘ ( z ; 1 , τ ) = 1 z 2 + ∑ ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ( 1 ( z − m − n τ ) 2 − 1 ( m + n τ ) 2 ) . {\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m-n\tau )^{2}}}-{\frac {1}{(m+n\tau )^{2}}}\right).} Функция Вейерштрасса ℘ E : E ↦ C ^ {\displaystyle \wp _{E}:E\mapsto {\widehat {\mathbb {C} }}} — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.