當一個度量空間是閉且有限的時候，它**自然地是完備的**。這是因為在一個有限的度量空間中，任何柯西序列必然會收斂於該空間內的一個點。

以下是具體的分析：

1. **閉集的定義**：根據定義，閉集包含其極限點。這意味著對於一個序列，如果它的極限點存在，那麼這個極限點必須在該閉集內。

2. **有限性**：如果一個空間是有限的，那麼無論我們如何選擇序列，序列中點的數量始終有限。這意味著若序列是柯西序列（即對於每個ε>0，存在N，使得對所有的m,n>N，有d(x_m, x_n)<ε成立），這要求序列的成員在某個有限的樣本空間內變得越來越接近。由於空間是有限的，最終序列的成員將趨近於某個點，而這個點必然在閉集內。

3. **直觀之處**：因此，從直觀上看，當我們在一個有限且閉的空間中，無法出現無法收斂的情形，每條柯西序列都最終會集中於空間中的一個點。

### 反例

在延續上述思路的情況下，其實不存在一個有限的閉集會導致不完備的情況。對於其它可能的空間（如無窮多的開或閉集），則會出現其他情況，這樣的情況使得直覺存在挑戰。

但在這裡，可以強調的是：

- **任何閉集的特性**：在常見的度量空間（例如實數空間）中，閉集的特性加上有限性，自然會導致該空間的完備性。

### 總結

總之，當一個度量空間是閉且有限的時候，該空間會自然而然地完備，並不會存在反例來挑戰這一點。這是由於有限性限制了序列的行為方式，加上閉集的性質確保了極限點的存在性。
文獻中提到的完備性與閉集的區別，是否能進一步探討當一個空間是閉且有限的時候，它是否自然地會導致該空間完備，還是存在反例來挑戰這種直覺？
**完備空間**，或稱**完備度量空間**（英語：Complete metric space）是具有下述性質的一種度量空間：空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內。 

## 例子

* 有理數空間不是完備的，因為 ${\sqrt {2}}$ 的有限位小數表示是一個柯西序列，但是其極限 ${\sqrt {2}}$ 不在有理數空間內。
* 實數空間是完備的
* 開區間 (0,1) 不是完備的。序列 (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...) 是柯西序列但其不收斂於 (0, 1) 中任何的點。
* 令 _S_ 為任一集合，_S**N**_為 _S_ 中的所有序列。如下定義 _S**N**_上任意兩個序列 (_xn_) 和 (_yn_) 的距離：如果存在某個最小的 N，使 $x_{N}\neq y_{N}$ ，那麼定義距離為 1/N；否則（所有的對應項都相等）距離為 0。按此方式定義的度量空間是完備的。該空間同胚於離散空間 _S_ 的可數個副本的積。

## 相關定理

* 任一緊緻度量空間都是完備的。實際上，一個度量空間是緊緻的若且唯若該空間是完備且完全有界的。
* 完備空間的任一子空間是完備的若且唯若它是一個閉子集。
* 若 _X_ 為一集合，_M_ 是一個完備度量空間，則所有從 _X_ 映射到 _M_ 的有界函數 _f_ 的集合 B (_X_, _M_) 是一個完備度量空間，其中集合 B (_X_, _M_) 中的距離定義為：

　
: $d(f,g):=\sup \left\{\,d(f(x),g(x)):x\in X\,\right\}$ 。

* 若 _X_ 為一拓撲空間，_M_ 是一個完備度量空間，則所有從 _X_ 映射到 _M_ 的連續有界函數 _f_ 的集合 Cb(_X_,_M_) 是 B (_X_, _M_)（按上一條目的定義）中的閉子集，因而也是完備的。
* 貝爾綱定理：任一完備度量空間為一貝爾空間。就是說，該空間的可數個無處稠密子集的併集無內點。

## 完備化

### 定義

對任一度量空間 _M_，我們可以構造相應的完備度量空間 _M'_ （或者表示為 ${\bar {M}}$ ），使得原度量空間成為新的完備度量空間的稠密子空間。_M'_ 具備以下普適性質：若 _N_ 為任一完備度量空間，_f_ 為任一從 _M_ 到 _N_ 的一致連續函數，則存在唯一的從 _M'_ 到 _N_ 的一致連續函數 _f'_ 使得該函數為 _f_ 的擴展。新構造的完備度量空間 _M'_ 在等距同構意義下由該性質所唯一決定，稱為 _M_ 的**完備化空間**。

以上定義是基於 _M_ 是 _M'_ 的稠密子空間的概念。我們還可以將**完備化空間**定義為包含 _M_ 的最小完備度量空間。可以證明，這樣定義的完備化空間存在，唯一（在等距同構意義下），且與上述定義等價。

對於交換環及於其上的模，同樣可以定義相對於一個理想的完備性及完備化。詳見條目完備化 (環論)。

### 構造

類似於從有理數域出發定義無理數的方法，我們可以通過柯西序列給原空間添加元素使其完備。

對 _M_ 中的任意兩個柯西序列 _x=_(_x_n) 和 _y=_(_y_n)，我們可以定義它們間的距離：
d (_x_,_y_) = limn d(_x_n,_y_n)（實數域完備所以該極限存在）。按此方式定義的度量還只是偽度量，這是因為不同的柯西序列均可收斂到 0。但我們可以象很多情況中所做的一樣（比如從 _Lp_ 到 ${\mathcal {L}}^{p}$ ），將新的度量空間定義為所有柯西序列的集合上的等價類的集合，其中等價類是基於距離為 0 的關係（易於驗證該關係是等價關係）。這樣，令 _ξx_ = {_y_ 是 _M_ 上的柯西序列： $y_{n}\rightarrow x$ }，_M'_ ={_ξx：x ∈ M_}，原空間 _M_ 就以 _x_ $\rightarrow $ _ξx_ 的映射方式嵌入到新的完備度量空間 _M'_ 中。易於驗證，_M_ 等距同構於 _M'_ 的稠密子空間。

康托法構造實數是該完備化方法的一個特例：實數域是有理數域作為以通常的差的絕對值為距離的度量空間的完備化空間。

### 性質

康托爾的實數建構是上述構造的特例；此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值，得到的完備空間則為 p 進數。

若將上述流程施於賦範向量空間，可得到一個巴拿赫空間，原空間是其中的稠密子空間。若施於一個內積空間，得到的則是希爾伯特空間，原空間依然是其稠密子空間。

## 相關概念

* 完備與閉：前面講，完備類似於閉，那麼，「完備」與「閉」的區別在何處呢？它們的區別在於，完備是空間或集合的性質，而閉是子集的性質。通常我們說某個集合是閉集或開集，實際上是指該集合是 _R1_ 或某個拓撲空間的閉子集或開子集。例如，開區間 (0, 1) 是全集 (0, 1) 或 $(0,1)\cup (2,3)$ 的閉子集，因為 (0, 1) 在這兩個全集中的導集是其自身。但 (0, 1) 是 _R1_ 的開子集。閉子集可以用收斂序列定義，因為收斂序列的極限點總是在全集中的，極限點在子集中與否決定該子集是否為閉子集。與此相對，完備性的定義中沒有全集的概念，這也是為什麼在其定義中必須用柯西序列而不能用收斂序列，因為在收斂序列的定義中必有極限點，若該極限點不在度量空間中，則收斂序列中的點到該極限點距離是未定義的。

## 參見

* 數學分析術語

## 參考資料

* Tsolomitis, Yuli Eidelman ; Vitali Milman ; Antonis. Functional analysis an introduction. Providence, RI: American Mathematical Soc. 2004. ISBN 9780821836460.
在拓撲空間中，**閉集**是指其補集為開集的集合。在一個拓撲空間內，閉集可以定義為一個包含所有其極限點的集合。在完備度量空間中，一個閉集的極限運算是閉合的。不要混淆於閉流形。

## 閉集等價的定義

在一個任意的拓撲空間 $(X,{\mathcal {T}})$ 內，一個集合 $C$ 是閉集若且唯若它與它的閉包 ${\bar {C}}$ 相同。等價地，一個集合 $C$ 是閉集若且唯若所有的極限點都是這個集合中的點；也就是， $C'\subseteq C$ 。

## 性質

閉集包含其自身的邊界。換句話說，這個概念基於「外部」的概念，如果你在一個閉集的外部，你稍微「抖動」一下仍在這個集合的外部。注意，這個概念在邊界為空的時候還是真的，比如在有理數的度量空間中，對於平方小於 2 的數的集合。

任意多個閉集的交集是閉集；有限多個閉集的併集是閉集。特別的，空集和全空間是閉集。

交集的性質也被用來定義空間 $X$ 上的集合 $A$ 的閉包，即 $X$ 的閉合子集中最小的 $A$ 的父集。特別的， $A$ 的閉包可以通過所有的其閉合父集的交集來構造。 ## 相關定理

* 任一緊緻度量空間都是完備的。實際上，一個度量空間是緊緻的若且唯若該空間是完備且完全有界的。
* 完備空間的任一子空間是完備的若且唯若它是一個閉子集。
* 若 _X_ 為一集合，_M_ 是一個完備度量空間，則所有從 _X_ 映射到 _M_ 的有界函數 _f_ 的集合 B (_X_, _M_) 是一個完備度量空間，其中集合 B (_X_, _M_) 中的距離定義為：

　
: $d(f,g):=\sup \left\{\,d(f(x),g(x)):x\in X\,\right\}$ 。

* 若 _X_ 為一拓撲空間，_M_ 是一個完備度量空間，則所有從 _X_ 映射到 _M_ 的連續有界函數 _f_ 的集合 Cb(_X_,_M_) 是 B (_X_, _M_)（按上一條目的定義）中的閉子集，因而也是完備的。
* 貝爾綱定理：任一完備度量空間為一貝爾空間。就是說，該空間的可數個無處稠密子集的併集無內點。 ## 例子

* 區間 $[a,b]$ 在實數上是閉集。（方括號、圓括號的集合符號，參見區間文中的解釋。）
* 單位區間 $[0,1]$ 在實數 $\mathbb {R} $ 的度量空間中是閉集。而集合 $[0,1]\cap \mathbb {Q} $ 在有理數 $\mathbb {Q} $ 上是閉集，但在實數 $\mathbb {R} $ 上並不是閉集。
* 有些集合既不是開集也不是閉集，如實數 $\mathbb {R} $ 上的半開區間 $[0,1)$ 。
* 有些集合既是開集也是閉集叫做閉開集，最簡單的例子就是空集合以及拓樸空間本身。
* 半區間 $[1,\infty )$ 在實數 $\mathbb {R} $ 上是閉集。
* 康托爾集是一個獨特的閉集，它包含所有邊界點，並且沒有一處是稠密的。
* 僅包含一個點的集合（顯然它是有限集）在豪斯多夫空間內是閉集。
* 如果 $X$ 和 _$Y$_ 是拓撲空間，而 $f$ 是一個從 _$X$_ 到 _$Y$_ 的連續函數當且僅當 _$Y$_ 中任意的閉集 $C$ 的原像 $f^{-1}(C)$ 在 _$X$_ 中也是閉集。 ## 相關定理

* 任一緊緻度量空間都是完備的。實際上，一個度量空間是緊緻的若且唯若該空間是完備且完全有界的。
* 完備空間的任一子空間是完備的若且唯若它是一個閉子集。
* 若 _X_ 為一集合，_M_ 是一個完備度量空間，則所有從 _X_ 映射到 _M_ 的有界函數 _f_ 的集合 B (_X_, _M_) 是一個完備度量空間，其中集合 B (_X_, _M_) 中的距離定義為：

　
: $d(f,g):=\sup \left\{\,d(f(x),g(x)):x\in X\,\right\}$ 。

* 若 _X_ 為一拓撲空間，_M_ 是一個完備度量空間，則所有從 _X_ 映射到 _M_ 的連續有界函數 _f_ 的集合 Cb(_X_,_M_) 是 B (_X_, _M_)（按上一條目的定義）中的閉子集，因而也是完備的。
* 貝爾綱定理：任一完備度量空間為一貝爾空間。就是說，該空間的可數個無處稠密子集的併集無內點。