截角大十二面體的頂點座標展現了其獨特的對稱性和數學結構，這些性質有助於理解其與其他多面體的關聯。

1. **對稱性**：
   - 截角大十二面體的頂點座標顯示出高度的對稱性，特別是對於正軸對稱。每個座標都以±記號呈現，顯示出其在不同軸上的鏡像對稱。
   - 許多頂點的座標包含相同的代數形式，如 \( \frac{1}{2} \) 或 \( \frac{5 + \sqrt{5}}{4} \)，這些相似性表明它們在某些幾何特性上的一致性。

2. **與其它多面體的關聯**：
   - 構成截角大十二面體的頂點座標與某些均勻多面體的頂點座標相似，這反映出它們的頂點布局。舉例來說，非凸大斜方截半二十面體和大十二面截半二十面體都具有類似的頂點連接性。
   - 這些座標表明了多面體間的相互關聯，特別是在截角及變換過程中的變化。例如，從大十二面體進行的截角變換，保留了某些基本結構，因此截角大十二面體和對偶的多面體擁有相似的幾何特性。

3. **數學形式**：
   - 使用的數學表達式（例如根號形式）反映了其內部的幾何優雅性。根號5的存在常常與五邊形或五角星的結構有關，隱示著五邊形與十邊形之間的比例關係。
   - 這些座標在計算面積、體積以及其它幾何性質的時候特別有用。例如，頂點之間的距離可以用來計算體積和表面積，這對理解其幾何性能至關重要。

總結來說，截角大十二面體的頂點座標不僅表現出其內部的對稱性，還揭示了它與其它多面體之間的數學和幾何關聯，這些都是深入研究該多面體及其屬性的關鍵。
截角大十二面體的頂點座標中，有哪些特別的數學性質能夠幫助我們理解它的對稱性？這些座標如何反映其與其它多面體的關聯？
在幾何學中，**截角大十二面體**是一種具有二十面體對稱非凸均勻多面體，由 24 個面組成，其結構可以視為切去大十二面體的 12 個頂點而得，其具有 12 對互相平行面，因此也可以視為一種平行多面體，其對偶多面體為小星形五角化十二面體。

## 分類

1993 年，茲維・喀拉・埃爾發表的論文《Uniform Solution for Uniform Polyhedra》中，將截角大十二面體編號為 K42，表示其為一個二十面體對稱的多面體，同一年，馬德爾參考茲維・喀拉・埃爾的分類方式，將截角大十二面體給予索引編號 U37。其也被考克斯特的論文收錄，並給予編號 C47。溫尼爾也在他的書《多面體模型》中將之給予編號 W75。

## 性質

截角大十二面體由 24 個面、90 條邊和 60 個頂點組成，是一種二十四面體。每個頂點都是 2 個十邊形和 1 個五角星的公共頂點。

### 面的組成

截角大十二面體由 24 個面組成，在其二十四個面中，有 12 個五角星面和 12 個十邊形面，其中有 12 個面是非凸面。

### 二面角

截角大十二面體有兩種二面角，包括了十邊形 - 十邊形二面角和十邊形 - 五角星二面角。其中十邊形 - 十邊形二面角為五平方根倒數的反餘弦值；十邊形 - 五角星二面角為負的五平方根倒數之反餘弦值。

　
: ${\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{10\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63.434948823^{\circ }$

　
: ${\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {-{\sqrt {5}}}{5}}\approx 116.565051177^{\circ }$

其中 ${\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}$ 為十邊形和五角星的施萊夫利符號。

### 頂點座標

邊長長度為 1 單位且幾何中心位於原點的截角大十二面體，其頂點座標為

　
: $(\pm {\frac {1}{2}},0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},0)$ 、

　
: $(0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}})$ 、

　
: $(\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})$ 。

## 相關多面體

截角大十二面體的頂點布局與多種多面體相同。其中三種為均勻多面體相同，分別為非凸大斜方截半二十面體、大十二面截半二十面體和大斜方十二面體；還有 2 種複合多面體，分別是六複合五角柱和二十複合五角柱。

這個多面體是大十二面體經過截角變換後的結果，大十二面體在不同的截角深度也得到有不同的結果，例如節到中點後得到截半大十二面體，過截角後得到的立體則與對偶多面體的截角等價，為截角小星形十二面體。這種多面體外觀與正二十面體幾乎一樣，但其有 24 個面，12 個面是來自截角後的頂點以及 12 個截角的五角星與之重合。

### 對偶複合體

小星形五角化十二面體與其對偶的複合體為**複合截角大十二面體小星形五角化十二面體** 。其共有 84 個面、180 條邊和 84 個頂點，其尤拉示性數為 - 12，虧格為 7，有 12 個非凸面。

## 參見

* 大十二面體

## 參考文獻

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因。截角大十二面體. MathWorld.
在幾何學中，**截角大十二面體**是一種具有二十面體對稱非凸均勻多面體，由 24 個面組成，其結構可以視為切去大十二面體的 12 個頂點而得，其具有 12 對互相平行面，因此也可以視為一種平行多面體，其對偶多面體為小星形五角化十二面體。

## 分類

1993 年，茲維・喀拉・埃爾發表的論文《Uniform Solution for Uniform Polyhedra》中，將截角大十二面體編號為 K42，表示其為一個二十面體對稱的多面體，同一年，馬德爾參考茲維・喀拉・埃爾的分類方式，將截角大十二面體給予索引編號 U37。其也被考克斯特的論文收錄，並給予編號 C47。溫尼爾也在他的書《多面體模型》中將之給予編號 W75。 ## 性質

截角大十二面體由 24 個面、90 條邊和 60 個頂點組成，是一種二十四面體。每個頂點都是 2 個十邊形和 1 個五角星的公共頂點。

### 面的組成

截角大十二面體由 24 個面組成，在其二十四個面中，有 12 個五角星面和 12 個十邊形面，其中有 12 個面是非凸面。

### 二面角

截角大十二面體有兩種二面角，包括了十邊形 - 十邊形二面角和十邊形 - 五角星二面角。其中十邊形 - 十邊形二面角為五平方根倒數的反餘弦值；十邊形 - 五角星二面角為負的五平方根倒數之反餘弦值。

　
: ${\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{10\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63.434948823^{\circ }$

　
: ${\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {-{\sqrt {5}}}{5}}\approx 116.565051177^{\circ }$

其中 ${\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}$ 為十邊形和五角星的施萊夫利符號。 ## 性質

二十面截角十二面十二面體共由 44 個面、180 條邊和 120 個頂點組成。在其 44 個面中，有 20 個正六邊形、12 個十邊形和 12 個十角星。在其 120 個頂點中，每個頂點都是六邊形、十邊形和十角星的公共頂點，並且這些面在頂點周圍依照六邊形、十邊形和十角星的順序排列，在頂點圖中可以用[6,10,10/3]或 (10/3.6.10) 來表示。

### 表示法

二十面截角十二面十二面體在考克斯特 — 迪肯符號中可以表示為（x5/3x3x5\*a），在威佐夫記號中可以表示為 3 5/3 5 | 或 5/3 3 5 |。

### 分類

由於二十面截角十二面十二面體的頂點圖為不等邊三角形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，並可以透過星形正多面體進行廣義截角來構造，因此二十面截角十二面十二面體是一種自相交截角擬正多面體（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角擬正多面體一共有五種，分別為立方截角立方八面體、星形截角截半立方體、二十面截角十二面十二面體、截角截半大十二面體和大截角截半二十面體。這些立體由阿爾伯特・巴杜羅（Albert Badoureau）和約翰・皮奇（Johann Pitsch）於 1881 年發現並描述。 ## 性質

截角十二面體共有 32 個面、90 條邊和 60 個頂點，每個頂點都是 1 個三角形和 2 個十邊形的公共頂點，其頂點圖可以用 3.10.10 來表示，也可以簡寫為 3.102。

### 構造

截角十二面體可以經由正十二面體透過截角變換構造而成。截角變換使得正十二面體原本的正五邊形面變成正十邊形面，並在原本的頂點處形成正三角形。

### 體積與表面積

邊長為 a 的截角十二面體體積 V 和表面積 A 分別為：

　
: $A=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 100.990\,76a^{2}$

　
: $V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 85.039\,6646a^{3}$

### 頂點坐標

邊長為 2φ − 2 且幾何中心位於原點的截角十二面體其頂點坐標為：

　
: $\left(0\,,\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\left({\begin{smallmatrix}2+\varphi \end{smallmatrix}}\right)}\right)$ 、

　
: $\left(\pm {\frac {1}{\varphi }}\,,\pm {\varphi }\,,\pm {2{\varphi }}\right)$ 、

　
: (±φ, ±2, ±(φ + 1))。

其中 φ = ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ，為黃金比例.