諾特定理（Noether's theorem）是一個重要的理論，揭示了物理系統中的對稱性與守恆定律之間的深刻關聯。文中提到的旋轉不變性，即物理系統的性質不隨空間取向變化而改變，根據諾特定理對應到的守恆量就是角動量的守恆。

這一關聯可以擴展到其他類型的對稱性，例如平移不變性。當一個物理系統的作用量在空間中的平移下保持不變時，這意味著無論系統的位置如何變化，其物理性質都是一致的。根據諾特定理，平移不變性對應的守恆量是動量。即如果一個系統的位勢和作用量對於空間中的任意平移不變，則系統的總動量是守恆的。

這類對稱性所帶來的物理含義是相似的，都反映了自然界的某些基本結構和平衡性。例如：

1. **旋轉不變性**：物理系統的性質不依賴於方向的改變，因此角動量是一個鎖定的守恆量。
   
2. **平移不變性**：系統的性質不受位置的改變影響，總動量在此框架下保持不變。

此外，還有其他更一般的對稱性，如時間平移不變性。當一個系統的行為在不同的時間點下都保持一致時，根據諾特定理，這導致能量的守恆。這表示物理系統的總能量不隨時間變化而改變。

總結來說，從諾特定理的角度來看，旋轉不變性、平移不變性和時間平移不變性等對稱性都對應著不同的守恆量，並強調了自然界的統一性和一致性。這樣的對稱性不僅是物理學的基本原則，也是理解宇宙運作的基石。
文中提到的諾特定理與旋轉不變性之間的關聯性，能否從這個角度進一步探討其他對稱性（如平移不變性）對應的守恆定律？這些對稱性是否帶來了相似的物理含義？
在數學裏，給予一個定義於內積空間的函數，假若對於任意旋轉，函數的參數值可能會改變，但是函數的數值仍舊保持不變，則稱此性質為**旋轉不變性**（rotational invariance），或**旋轉對稱性**（rotational symmetry），因為函數對於旋轉具有對稱性。例如，假設以 xyz - 參考系的原點為固定點，任意旋轉 xyz - 參考系，而函數 $f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 的數值保持不變，因此，函數 $f(x,\,y,\,z)$ 對於任意旋轉具有不變性，或對於任意旋轉具有對稱性。

在物理學裏，假若物理系統的性質跟它在空間的取向無關，則這系統具有旋轉不變性。根據諾特定理，假若物理系統的作用量具有旋轉不變性，則角動量守恆。

根據物理學家多年來仔細研究的結果，到目前為止，所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性。

## 球對稱位勢範例

### 哈密頓算符的旋轉不變性

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 $V(r)$ ，其哈密頓算符 $H$ 可以表示為

　
: $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)$ ；

其中， $\hbar $ 是約化普朗克常數， $m$ 是質量， $r$ 是徑向距離。

現在，以 z - 軸為旋轉軸，旋轉此系統的 x - 軸與 y - 軸 $\theta $ 角弧，則新直角坐標 $\mathbf {r} '=(x',\,y',\,z')$ 與舊直角坐標的關係式為

　
: $x'=x\cos \theta -y\sin \theta $ 、

　
: $y'=x\sin \theta +y\cos \theta $ 、

　
: $z'=z$ 。

偏導數為

　
: ${\frac {\partial }{\partial x'}}=\cos \theta {\frac {\partial }{\partial x}}-\sin \theta {\frac {\partial }{\partial y}}$ 、

　
: ${\frac {\partial }{\partial y'}}=\sin \theta {\frac {\partial }{\partial x}}+\cos \theta {\frac {\partial }{\partial y}}$ 、

　
: ${\frac {\partial }{\partial z'}}={\frac {\partial }{\partial z}}$ 。

那麼，導數項目具有旋轉不變性：

　
: $\nabla '^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z'}}\right)^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{2}=\nabla ^{2}$ 。

由於徑向距離具有旋轉不變性：

　
: $r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=r$ ，

旋轉之後，新的哈密頓算符 $H'$ 是

　
: $H'=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla '^{2}+V(r')=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)=H$ 。

所以，球對稱位勢量子系統的哈密頓算符具有旋轉不變性。

### 角動量守恆

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 $V(r)$ ，則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符 $R$ 為一個對於 z - 軸的無窮小旋轉 $\delta \theta $ 。則正弦函數與餘弦函數可以分別近似為

　
: $\sin \delta \theta \approx \delta \theta $ 、

　
: $\cos \delta \theta \approx 1$ 。

新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為

　
: $x'\approx x-y\delta \theta $ 、

　
: $y'\approx x\delta \theta +y$ 、

　
: $z'=z$ 。

將 $R$ 作用於波函數 $\psi (x,\,y,\,z)$ ，

　
: $R\psi (x,\,y,\,z)=\psi (x',\,y',\,z')\approx \psi (x,\,y,\,z)+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}\psi (x,\,y,\,z)$ ；

其中， $L_{z}$ 是角動量的 z - 分量， $L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)$ 。

所以，旋轉算符 $R$ 可以表達為

　
: $R=1+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}$ 。

假設 $\psi _{E}(\mathbf {r} )$ 是哈密頓算符的能級本徵態，則

　
: $H\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} )$ 。

由於 $\mathbf {r} $ 只是一個虛設變數，

　
: $H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')$ 。

在做一個微小旋轉之後，

　
: $RH\psi _{E}(\mathbf {r} )=RE\psi _{E}(\mathbf {r} )=ER\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')$ 、

　
: $HR\psi _{E}(\mathbf {r} )=H\psi _{E}(\mathbf {r} ')=H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')$ 。

所以， $(RH-HR)\psi _{E}(\mathbf {r} )=0$ 。哈密頓算符的能級本徵態 $\psi _{E}(\mathbf {r} )$ 形成一組完備集 (complete set)，旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是

　
: $[R,\,H]=0$ 。

因此，

　
: $[L_{z},\,H]=0$ 。

根據埃倫費斯特定理， $L_{z}$ 的期望值對於時間的導數是

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [L_{z},\,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle $ 。

所以，

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle $ 。

由於 $L_{z}$ 顯性地不含時間，

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =0$ 。

總結， $\langle L_{z}\rangle $ 不含時間， $L_{z}$ 是個運動常數。角動量的 z - 分量守恆。類似地，可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以，整個角動量守恆。

## 參閱

* 各向同性
* 軸對稱
* 明顯對稱性破缺
* 馬克士威定理 (Maxwell's theorem)

## 參考文獻

* Gasiorowics, Stephen. Quantum Physics (3rd ed.). Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000.
* Stenger, Victor J. (2000). _Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes_. Prometheus Books. 特別參考第十二章。非專科性書籍。
**諾特定理**是理論物理的中心結果之一，它表達了每個連續對稱性都有著相應的守恆定律。例如，物理定律不隨著時間而改變，這表示它們有關於時間的某種對稱性。舉例來說，若現實中重力的強度每天都有所改變，就會違反能量守恆定律，因為觀察者可以在重力弱的那天把重物舉起，然後在重力強的時候放下來，這樣就得到了比一開始輸入的更多的能量。

諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立的。它得名於 20 世紀初的數學家埃米・諾特。諾特定理和量子力學深刻相關，因為它僅用經典力學的原理就可以認出和海森堡測不準原理相關的物理量（譬如位置和動量）。

## 定理的數學表述

對該定理一種比較完善的表述方法為：

　
: 對於每個局部作用下的可微對稱性，存在一個對應的守恆流。

### 解釋

上述命題中的「對稱性」一詞精確一點來說是指物理定律在滿足某種技術要求的一維李群作用下所滿足的協變性。物理量的守恆定律通常用連續性方程表達。

定理的形式化命題僅從不變性條件就導出和一個守恆的物理量相應的流的表達式。該守恆量稱為諾特荷，而該流稱為諾特流。諾特流至多相差一個無散度向量場。 在數學裏，給予一個定義於內積空間的函數，假若對於任意旋轉，函數的參數值可能會改變，但是函數的數值仍舊保持不變，則稱此性質為**旋轉不變性**（rotational invariance），或**旋轉對稱性**（rotational symmetry），因為函數對於旋轉具有對稱性。例如，假設以 xyz - 參考系的原點為固定點，任意旋轉 xyz - 參考系，而函數 $f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 的數值保持不變，因此，函數 $f(x,\,y,\,z)$ 對於任意旋轉具有不變性，或對於任意旋轉具有對稱性。

在物理學裏，假若物理系統的性質跟它在空間的取向無關，則這系統具有旋轉不變性。根據諾特定理，假若物理系統的作用量具有旋轉不變性，則角動量守恆。

根據物理學家多年來仔細研究的結果，到目前為止，所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性。 假若，在某種變換下，一個系統的某物理量保持不變，則稱此物理量為**不變量**（invariant）。例如，在伽利略變換下，時間是個不變量；在勞侖茲變換下，光速、靜質量、電荷量等等，都是不變量。這類變換表達出不同觀察者的參考系之間的關係。例如，在火車站台的查票員的參考系，與在移動中的火車內的乘客的參考系，這兩個參考系之間的關係。

假若，在某種變換下，一個系統的某物理性質保持不變，則稱此物理性質為**不變性**（invariance）。例如，在內積空間內，對於任意旋轉，向量的內積保持不變，稱此性質為旋轉不變性。

根據諾特定理，對於一種變換，每一種不變性代表一條基本的守恆定律。例如，對於平移變換的不變性導致動量守恆定律，對於時間演化的不變性導致能量守恆定律。

在現代理論物理裏，不變性是很重要的概念。許多理論是由對稱性與不變性表達。

在張量數學裏，協變性與反變性是不變性的數學性質的推廣。在電磁學和相對論裏，時常會應用到這些概念。

## 參閱

* 正則變換
* 勞侖茲協變性
* 不動點定理 ## 應用

諾特定理的應用幫助物理學家在物理的任何一般理論中通過分析各種使得所涉及的定律的形式保持不變的變換而獲得深刻的洞察力。例如：

* 對於物理系統對於空間平移的不變性（換言之，物理定律不隨著空間中的位置而變化）給出了動量的守恆律；
* 對於轉動的不變性給出了角動量的守恆律；
* 對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律。

在量子場論中，和諾特定理相似，沃德－高橋恆等式（Ward-Takahashi）產生出更多的守恆定律，例如從電勢和向量勢的規範不變性得出電荷的守恆。

諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵 1。