高階弦波輸入描述函數（HOSIDF）主要用於描述在弦波輸入下非線性系統的各階諧波成份的振幅及相位。其特點及適用情境如下：

### 特點：

1. **多階諧波響應**：HOSIDF 能夠分析非線性系統對於諧波輸入的響應，特別是當輸入信號包含較高頻次的諧波時，能夠提供對應的振幅及相位信息。

2. **更高的準確度**：相較於傳統描述函數，HOSIDF 提供了更精確的系統响应描述，因為它考慮到了非線性系統中高階諧波的影響，並能反映出更複雜的動態行為。

3. **高度非線性處理**：HOSIDF 特別適用於分析振盪非線性程度較高的系統，例如反饋回路中的強非線性元件，這些情況下傳統描述函數可能不足以捕捉系統的實際行為。

### 適用情境：

1. **高非線性系統**：當被分析的系統具有明顯的非線性特徵，或在給定的操作範圍內，出現強烈的高階諧波時，HOSIDF 可以用來更有效地捕捉這些非線性特性。

2. **振盪器設計**：在設計涉及振盪器的控制系統時，使用 HOSIDF 可以幫助理解如何基頻和高階諧波共同影響系統的穩定性和響應特性。

3. **信號處理系統**：在需要處理未知或不穩定輸入信號特性的系統中，HOSIDF 能夠幫助描述這些信號對非線性系統的影響，提供系統設計者更多的信息來進行調整。

總之，HOSIDF 在需要精確描述和分析高階諧波響應的非線性系統中具有重要的應用價值，但其使用需要根據系統的具體特性來判斷，以確保所提供的模型能夠有效反映實際情況。
高階弦波輸入描述函數（HOSIDF）在描述非線性系統的各階諧波成份時，有何特點及其適用情境？
**描述函數**（describing function）是控制系統中用近似方式處理非線性系統的方法，由 Nikolay Mitrofanovich Krylov 及尼古拉・博戈柳博夫在 1930 年代提出，後來由 Ralph Kochenburger 延伸。描述函數是以準線性為基礎，是用會依輸入波形振幅而變化的線性時不變傳遞函數來近似非線性系統的作法。依照定義，真正線性時不變系統的傳遞函數不會隨輸入函數的振幅而變化（因為是線性系統）。因此，其和振幅的相依性就會產生一群的線性系統，這些系統結合起來的目的是為了近似非線性系統的特性。描述函數是少數廣為應用來設計非線性系統的方法，描述函數是在分析閉迴路控制器（例如工業過程控制、伺服機構、電子振盪器）的極限環時，常見的數學工具。

## 原理

考慮一個慢速，穩定的線性系統，其回授路徑中有不連續（但有分段連續）的非線性特性（例如有飽和的放大器、或是有死區效應的元件）。在非線性元件上看到的連續區域會視線性系統的振幅而定。若線性系統輸出的振幅變小，其非線性元件的特性可能又會變換到另一個區域。這種在二個連續區間之間的切換會造成週期性的振盪。描述函數方式法目的是要預設這些振盪的特性（也就是其基頻），作法是假設慢速系統特性類似低通濾波器或帶通濾波器，會將能量集中在單一頻率。即使輸出波形有多個不同的模態，描述函數仍可以提供有關頻率的資訊，也許也包括振幅相關的資訊。此情形下，描述函數有點類似在描述回授系統的滑動模式。

利用低通濾波器的假設，系統響應可以表示為一組正弦曲線中的一個弦波。此情形下，系統可以表示為弦波描述函數（SIDF） $H(A,\,j\omega )$ ，是對振幅為 A，頻率為 $\omega $ 的弦波輸入的系統響應。SIDF 是描述線性函數傳遞函數 $H(j\omega )$ 的變體。在準線性系統中，輸入信號為弦波時，其輸出也是相同頻率的弦波，但其振幅及相位的關係可以用 $H(A,\,j\omega )$ 表示。以此觀點來看，許多系統在弦波輸入下的響應雖不一定是純弦波，但大部份輸出能量集中在是和輸入信號相同的頻率 $\omega $ ，因此可以近似為準線性系統。其原因是這類系統在其本質上有低通或是帶通的特性，因此高次的諧波受到了抑制，也有可能是特意加入了濾波器。弦波描述函數（SIDF）的重要用途之一是消除弦波電子振盪器的非理想訊號。

考慮非線性系統 $u=f(xd).$ ，在弦波輸入 $xd=Asin\omega t$ 下，其描述函數可以表示為 $H(A,\,j\omega )=g+jb,$ ，其中的實部 g 及虛部 b 可以表示如下：

　
: $g(A,\,j\omega )={\frac {1}{\pi A}}\int _{0}^{2\pi }f(A\sin \omega t)\sin \omega td\omega t$

　
: $b(A,\,j\omega )={\frac {1}{\pi A}}\int _{0}^{2\pi }f(A\sin \omega t)\cos \omega td\omega t$

也有其他型式的描述函數，例如水平輸入以及高斯雜訊輸入的描述函數。描述函數無法完整的描述系統，不過多半已可以處理像是控制或是穩定性的問題。描述函數最適用於分析非線性程度相對輕微的系統。此外，高階弦波輸入描述函數（HOSIDF）描述非線性系統在弦波輸入下，其各階諧波成份的振幅及相位。高階弦波輸入描述函數是描述函數是延伸版本，用在響應的非線性程度非常明顯的場合。

## 注意事項

在許多種類的系統中，描述函數都可以產生一定準確度的結果，不過也有些情形會失效。例如在一些很強調其高階諧波特性的系統，描述函數就不一定能發揮作用。Tzypkin 曾經用起停式控制系統為例說明過。另一個比較簡單的例子是由非反相施密特觸發器加上反相積分器組成的閉迴路振盪器，以積分器的輸出為施密特觸發器的輸入。施密特觸發器的輸出是方波，而積分器的輸出是三角波，的三角波的波峰恰好就是方波的切換點。振盪器中的這兩部份輸出都落後輸入 90 度。若是用描述函數來處此一電路，施密特觸發器的輸入會變成頻率為其基頻的弦波，通過觸發器也會有延遲，但會比 90 度要小（弦波觸發觸發器的時機會比三角波要快），因此描述函數下，系統振盪的方式會和原系統的不同。

若是符合阿依熱爾曼猜想或卡爾曼猜想的條件，可能利用描述函數找不到週期解，相反的，也有週期解的反例（隱藏振盪）。因此描述函數的應用也需要確認是否適合。

## 參考資料

## 延伸閱讀

## 相關條目

* 諧波平衡法

## 外部連結

* Electrical Engineering Encyclopedia: Describing Functions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
## 原理

考慮一個慢速，穩定的線性系統，其回授路徑中有不連續（但有分段連續）的非線性特性（例如有飽和的放大器、或是有死區效應的元件）。在非線性元件上看到的連續區域會視線性系統的振幅而定。若線性系統輸出的振幅變小，其非線性元件的特性可能又會變換到另一個區域。這種在二個連續區間之間的切換會造成週期性的振盪。描述函數方式法目的是要預設這些振盪的特性（也就是其基頻），作法是假設慢速系統特性類似低通濾波器或帶通濾波器，會將能量集中在單一頻率。即使輸出波形有多個不同的模態，描述函數仍可以提供有關頻率的資訊，也許也包括振幅相關的資訊。此情形下，描述函數有點類似在描述回授系統的滑動模式。 ## 原理

考慮一個慢速，穩定的線性系統，其回授路徑中有不連續（但有分段連續）的非線性特性（例如有飽和的放大器、或是有死區效應的元件）。在非線性元件上看到的連續區域會視線性系統的振幅而定。若線性系統輸出的振幅變小，其非線性元件的特性可能又會變換到另一個區域。這種在二個連續區間之間的切換會造成週期性的振盪。描述函數方式法目的是要預設這些振盪的特性（也就是其基頻），作法是假設慢速系統特性類似低通濾波器或帶通濾波器，會將能量集中在單一頻率。即使輸出波形有多個不同的模態，描述函數仍可以提供有關頻率的資訊，也許也包括振幅相關的資訊。此情形下，描述函數有點類似在描述回授系統的滑動模式。 **高階弦波輸入描述函數**簡稱 **HOSIDF**，最早是由 P.W.J.M. Nuij 開始使用的。是弦波輸入描述函數的延伸，描述在弦波輸入信號，系統在各諧波的響應（增益及相位）。HOSIDF 和經典的頻率響應函數有直觀上的相似性，定義一個穩定、因果、時不變的非線性系統在以下弦波輸入下的週期性輸出：

$$
u(t)=\gamma \sin(\omega _{0}t+\varphi _{0})
$$

輸出為 $y(t)$ ，包括輸入頻率的諧波：

$$
y(t)=\sum \limits _{k=0}^{K}|H_{k}(\omega _{0},\gamma )|\gamma ^{k}\cos {\big (}k(\omega _{0}t+\varphi _{0})+\angle H_{k}(\omega _{0},\gamma ){\big )}
$$

定義輸入及輸出信號的單邊頻譜為 $U(\omega )$ 及 $Y(\omega )$ ，使得 $|U(\omega _{0})|=\gamma $ ，可以得到 k 階 HOSIDF 的定義：

$$
H_{k}(\omega _{0},\gamma )={\frac {Y(k\omega _{0},\gamma )}{U^{k}(\omega _{0},\gamma )}}
$$ ## 好處及應用

HOSIDF 的應用及分析在已識別非線性模型時有其優勢，若完全不知道其模型，也有其優勢。後者的優勢在於 HOSIDF 不太需要對系統有所假設，在不使用先進數學工具的情形下可以輕鬆進行識別。就算已識別出非線性模型，HOSIDF 仍比使用已識別的非線性模型要好。HOSIDF 在其識別及解釋上是直觀的，而其他非線性模型會受實際系統特性，只能收到有限的直接資訊。而且在非線性無法忽略的應用中，HOSIDF 是描述函數很自然的延伸。實務上 HOSIDF 有二個不同的應用：因為在識別上的容易，HOSIDF 可以在系統設計時提供在線的測試。而將 HOSIDF 應用在非線性控制器設計，會較傳統的時域調適效果有顯著的提昇。

## 參考資料