對於費米子模式，Bogoliubov 變換的反對易關係要求使得運算符之間的交換性保持不變。這涉及到費米子的反對易性質，具體來講，即： 

\[
\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}\right\}=0,\quad \left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1
\]

由於反對易關係的特性，對於費米子，運算符的Bogoliubov變換需要滿足以下兩個條件：
1. \( uv = 0 \)：這意味著在進行變換的過程中，要麼 \(u\) 為零（這樣不會影響運算符），要麼 \(v\) 為零，這樣運算符間的反對易關係就不會被破壞。
2. \( |u|^2 + |v|^2 = 1 \)：這保證了算符的正規化性。

因此，這組條件會限制可能的Bogoliubov變換形式，導致不平凡的變換只能在特定情況下（如粒子-反粒子或粒子-空穴交換）實現。

相比之下，對於玻色子模式，Bogoliubov 變換的條件為：

\[
\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right] = |u|^2 - |v|^2 = 1
\]

在這種情況下，\(u\) 和 \(v\) 沒有被限制為零中的一個。這是因為玻色子運算符之間遵循正則對易關係，這種關係允許運算符之間有更大的靈活性來進行變換，因此 \(uv\) 不是必須為零，允許對 \(u\) 和 \(v\) 進行更多的獨立性選擇。這就是為什麼對於費米子模式有 \(uv = 0\) 的條件，而對於玻色子模式則不會如此限制的原因。
為什麼對於費米子模式，Bogoliubov 變換的條件限制為 $uv=0$，而對於玻色子模式卻不是？
在理論物理中，**Bogoliubov 變換**，又稱 **Bogoliubov-Valatin 變換**，是 1958 年由 Nikolay Bogolyubov 和 John George Valatin 各自為了求 BCS 理論在均勻系統中的解而獨立發展起來的。 Bogoliubov 變換是對正則對易關係或正則反對易關係代數的同構。 Bogoliubov 變換通常用於對角化哈密頓量，從而產生相應薛丁格方程的穩態解。 Bogoliubov 變換對於理解安魯效應、霍金輻射、核物理中的配對效應以及許多其他主題也很重要。

Bogoliubov 變換通常用於對角化哈密頓量，_並_相應地對波函數進行變換。因此，在變換後的波函數上使用對角化哈密頓量計算的算子特徵值與之前相同。

## 單玻色子模式案例

考慮簡諧振子中玻色子產生和湮滅算符的正則對換關係

　
: $\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.$

對於常複數 $u$ 和 $v$ ，定義一對新的運算符

　
: ${\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },$

　
: ${\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}},$

其中後者是第一個的厄米共軛。

Bogoliubov 變換是映射 ${\hat {a}}$ 和 ${\hat {a}}^{\dagger }$ 到 ${\hat {b}}$ 和 ${\hat {b}}^{\dagger }$ 的一種正則變換。為了使得變換是正則的，可以去算對易子從而找到常數 $u$ 和 $v$ 滿足的條件，即，

　
: $\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].$

那麼很明顯 $|u|^{2}-|v|^{2}=1$ 是轉換能成立的條件。

由於此條件的形式與雙曲恆等式所契合

　
: $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,$

常數 $u$ 和 $v$ 可以很容易地參數化為

　
: $u=e^{i\theta _{1}}\cosh r,$

　
: $v=e^{i\theta _{2}}\sinh r.$

這一變換可以被解釋為相空間的線性辛變換。通過與 Bloch-Messiah 分解比較，兩個相位角 $\theta _{1}$ 和 $\theta _{2}$ 對應於正交辛變換（即旋轉），而壓縮因子 $r$ 對應於對角變換。

### 應用

Bogoliubov 變換最重要的應用自然是 Nikolai Bogoliubov 本人討論的超流背景下的問題。 其他應用包括哈密頓量和反鐵磁性理論中的激發。此外，彎曲時空中的量子場論的真空定義發生變化，而這些不同真空之間也可以通過 Bogoliubov 變換來嘗試聯繫。這在霍金輻射的推導中有用到。 Bogoliubov 變換也廣泛用於量子光學，特別是在處理高斯態的么正變換（例如分束器、移相器和壓縮操作）時。

## 費米子模式

對於反對易關係

　
: $\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}\right\}=0,\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1,$

Bogoliubov 變換受限於 $uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1$ 。因此，唯一不平凡的可能性是 $u=0,|v|=1$ ，其對應於可能包含相移的粒子 - 反粒子交換（或多體系統中的粒子 - 空穴交換）。因此，對於單個粒子，Bogoliubov 變換隻能在 (1) 狄拉克費米子中實現，其粒子和反粒子是不同的（與馬約拉納費米子或手性費米子相反），或 (2) 對於多費米子系統，在其中有不止一種類型的費米子。

### 應用

這裡面最重要的應用還是 Nikolai Bogoliubov 本人的針對 BCS 超導理論的推導。 這裡必須要做 Bogoliubov 變換的原因主要是在平均場近似下，系統的哈密頓量可以寫為原始產生和湮滅算符的雙線性項 $\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle $ 之和，從而必須比通常的 Hartree–Fock 方法更進一步。特別地，在具有超導配對項的平均場 Bogoliubov–de Gennes 哈密頓 $\Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}$ 里，Bogoliubov 變換給出 $b,b^{\dagger }$ 來湮滅或產生准粒子（每個准粒子都具有明確定義的能量、動量和自旋，但其實際上對應於電子和空穴態的量子疊加的形式），而變換的具體系數 $u$ 和 $v$ 由 Bogoliubov–de Gennes 矩陣的特徵向量給出。同樣在核物理中，因為它可以描述重元素中核子的「配對能量」，這種方法也是適用的。

## 多模案例

接下來所考慮的希爾伯特空間是描述更高維的量子諧振子的空間（通常是無限維的）。

相應哈密頓量的基態被所有的湮滅算子湮滅：

　
: $\forall i\qquad a_{i}|0\rangle =0.$

所有激發態都由一些產生算符作用在基態的態的線性組合獲得：

　
: $\prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dagger }|0\rangle .$

可以做線性變換重新定義創建和湮滅算符：

　
: $a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\dagger }),$

其中係數 $u_{ij},v_{ij}$ 必須滿足一定的規則才能保證湮滅算符和生成算符 $a_{i}^{\prime \dagger }$ ，由 Hermitian 共軛給出，具有相同的玻色子的對於關係或費米子反對易關係。

上面的等式定義了算子的 Bogoliubov 變換。

被所有 $a'_{i}$ 作用都等於零的基態不同於原來的基態 $|0\rangle $ 。這裡可以認為是算符或者量子態，二者其一進行了 Bogoliubov 變換。它們也可以定義為壓縮態。 BCS 波函數是費米子壓縮相干態的一個例子。

## 統一的矩陣描述

因為 Bogoliubov 變換是算符的線性重組，所以將它們寫成矩陣變換更方便簡潔。如果一對湮滅算符 $(a,b)$ 按照下面變化

　
: ${\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}=U{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

其中 $U$ 是一個 $2\times 2$ 矩陣。那麼自然

　
: ${\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }\\\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}=U^{*}{\begin{pmatrix}a^{\dagger }\\b^{\dagger }\end{pmatrix}}$

對於費米子算符，對易關係的要求體現在對矩陣 $U$ 的兩個條件，即

　
: $U={\begin{pmatrix}u&v\\-v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}$

和

　
: $|u|^{2}+|v|^{2}=1$

對於玻色子算子，對易關係需要

　
: $U={\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}$

和

　
: $|u|^{2}-|v|^{2}=1$

這些條件可以統一寫成

　
: $U\Gamma _{\pm }U^{\dagger }=\Gamma _{\pm }$

其中

　
: $\Gamma _{\pm }={\begin{pmatrix}1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}$

而 $\Gamma _{\pm }$ 分別適用於費米子和玻色子。

### 使用矩陣描述對角化二次哈密頓量

Bogoliubov 變換讓我們通過對角化矩陣 $\Gamma _{\pm }H$ 來對角化二次哈密頓量

　
: ${\hat {H}}={\begin{pmatrix}a^{\dagger }&b^{\dagger }\end{pmatrix}}H{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}.$

在上面的符號中，區分運算符 ${\hat {H}}$ 和矩陣 $H$ 很重要。這個通過重寫 ${\hat {H}}$ 看到

　
: ${\hat {H}}={\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }&\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

而 $\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=D$ 若且唯若 $U$ 對角化了 $\Gamma _{\pm }H$ ，即 $U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=\Gamma _{\pm }D$ 。

下面列出了 Bogoliubov 變換的一些有用的性質。

## 相關條目

* 荷斯坦 - 普里馬科夫變換
* 約旦 - 維格納變換
* 喬丹 - 施溫格變換
* 克萊因變換
在量子力學裏，**包立不相容原理**（英語：Pauli exclusion principle，簡稱為**包立原理**或**不相容原理**）表明，兩個全同的費米子不能處於相同的量子態。這原理是由沃爾夫岡・包立於 1925 年通過分析實驗結果得到的結論。例如，由於電子是費米子，在一個原子裏，每個電子都擁有獨特的一組量子數 $n,\ell ,m_{\ell },m_{s}$ ，兩個電子各自擁有的一組量子數不能完全相同，假若它們的主量子數 $n$ ，角量子數 $\ell $ ，磁量子數 $m_{\ell }$ 分別相同，則自旋磁量子數 $m_{s}$ 必定不同，它們必定擁有相反的自旋磁量子數。換句話說，處於同一原子軌域的兩個電子必定擁有相反的自旋方向。

全同粒子是不可區分的粒子，按照自旋分為費米子、玻色子兩種。費米子的自旋為半整數，它的波函數對於粒子交換具有反對稱性，因此它遵守包立不相容原理，必須用費米 - 狄拉克統計來描述它的統計行為。費米子包括像夸克、電子、微中子等基本粒子。

玻色子的自旋為整數，它的波函數對於粒子交換具有對稱性，因此它不遵守包立不相容原理，它的統計行為只符合玻色 - 愛因斯坦統計。任意數量的全同玻色子都可以處於同樣量子態。例如，雷射產生的光子、玻色 - 愛因斯坦凝聚等等。

包立不相容原理是原子物理學與分子物理學的基礎理論，它促成了化學的變幻多端、奧妙無窮。2013 年，義大利的格蘭沙索國家實驗室團隊發佈實驗結果，違反包立不相容原理的機率上限被設定為 4.7×10-29。 在理論物理中，**Bogoliubov 變換**，又稱 **Bogoliubov-Valatin 變換**，是 1958 年由 Nikolay Bogolyubov 和 John George Valatin 各自為了求 BCS 理論在均勻系統中的解而獨立發展起來的。 Bogoliubov 變換是對正則對易關係或正則反對易關係代數的同構。 Bogoliubov 變換通常用於對角化哈密頓量，從而產生相應薛丁格方程的穩態解。 Bogoliubov 變換對於理解安魯效應、霍金輻射、核物理中的配對效應以及許多其他主題也很重要。

Bogoliubov 變換通常用於對角化哈密頓量，_並_相應地對波函數進行變換。因此，在變換後的波函數上使用對角化哈密頓量計算的算子特徵值與之前相同。 在理論物理中，**Bogoliubov 變換**，又稱 **Bogoliubov-Valatin 變換**，是 1958 年由 Nikolay Bogolyubov 和 John George Valatin 各自為了求 BCS 理論在均勻系統中的解而獨立發展起來的。 Bogoliubov 變換是對正則對易關係或正則反對易關係代數的同構。 Bogoliubov 變換通常用於對角化哈密頓量，從而產生相應薛丁格方程的穩態解。 Bogoliubov 變換對於理解安魯效應、霍金輻射、核物理中的配對效應以及許多其他主題也很重要。

Bogoliubov 變換通常用於對角化哈密頓量，_並_相應地對波函數進行變換。因此，在變換後的波函數上使用對角化哈密頓量計算的算子特徵值與之前相同。 在標準模型裏，**希格斯機制**（英語：**Higgs mechanism**）是一種生成質量的機制，能夠使基本粒子獲得質量。為什麼費米子、W 玻色子、Z 玻色子具有質量，而光子、膠子的質量為零？希格斯機制可以解釋這問題。希格斯機制應用自發對稱性破缺來賦予規範玻色子質量。在所有可以賦予規範玻色子質量，而同時又遵守規範理論的可能機制中，這是最簡單的機制。根據希格斯機制，希格斯場遍佈於宇宙，有些基本粒子因為與希格斯場之間交互作用而獲得質量。

更仔細地解釋，在規範場論裏，為了滿足局域規範不變性，必須設定規範玻色子的質量為零。由於希格斯場的真空期望值不等於零，造成自發對稱性破缺，因此規範玻色子會獲得質量，同時生成一種零質量玻色子，稱為戈德斯通玻色子，而希格斯玻色子則是伴隨著希格斯場的粒子，是希格斯場的振動。通過選擇適當的規範，戈德斯通玻色子會被抵銷，只存留帶質量希格斯玻色子與帶質量規範向量場。

費米子也是因為與希格斯場交互作用而獲得質量，但它們獲得質量的方式不同於 W 玻色子、Z 玻色子的方式。在規範場論裏，為了滿足局域規範不變性，必須設定費米子的質量為零。通過湯川耦合，費米子也可以因為自發對稱性破缺而獲得質量。

本條目的數學表述內容需要讀者了解一些量子場論的知識。所有方程式都遵守愛因斯坦求合約定。按照粒子物理學慣例，採用 CGS 單位制為物理量的單位，並且設定光速與約化普朗克常數的數值為 $1$ 。