卡迪森 - 辛格問題的解決過程中，以下數學領域的貢獻對於最終答案有幫助：

1. **泛函分析**：這是卡迪森 - 辛格問題的主要數學背景，涉及 C\*- 代數及其相關理論。問題本身是在這一領域中提出的，泛函分析的技術對理解問題至關重要。

2. **線性代數**：問題涉及的對角連續線性算子及其延拓的性質，與線性代數的基本概念密切相關，特別是矩陣和算子的性質。

3. **組合數學**：鋪砌猜想涉及將元素分劃為若干子集合，這與組合數學中的分劃、選擇及其性質相關。

4. **概率論與隨機過程**：某些證明過程可能利用到線性運算中概率論的概念，尤其是在涉及到隨機過程的估計或界限時。

5. **圖論**：偏差理論與部分結果可以用於推導圖的分劃問題，這展示了卡迪森 - 辛格問題與圖論之間的聯繫。

6. **實分析與數理邏輯**：馬庫斯、斯皮爾曼和斯里瓦斯塔瓦在使用交織多項式族的技巧時，涉及了一些重載返回的技術，這可能執行了實分析及數理邏輯的某些概念。

這些數學領域的交叉合作，促成了對卡迪森 - 辛格問題的深入理解，並最終導致該問題的解決。
卡迪森 - 辛格問題的解決過程中，哪些數學領域的貢獻對於問題的最終答案有幫助？
數學上，**卡迪森 - 辛格問題**（英語：Kadison–Singer problem）於 1959 年提出，有關泛函分析，問某個特定 C\*- 代數上的任意線性泛函，延拓到另一個較大的 C\*- 代數時，是僅有唯一的可能，抑或可以有多個不同的延拓。2013 年，問題得到解決，答案為肯定（即唯一）。

問題源出 1940 年代保羅・狄拉克對量子力學理論基礎的研究。1959 年，理察・卡迪森與艾沙道爾・辛格給出嚴格的問題敍述。此後，發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題，皆與卡迪森 - 辛格問題等價。卡迪森、辛格，以及日後多個作者，都相信問題答案為否定（即不唯一），然而於 2013 年，亞當・馬庫斯、丹尼爾・斯皮爾曼、尼基・斯里瓦斯塔瓦合著論文給出肯定的答案。翌年，三人因此獲 SIAM 頒發波利亞獎。

馬 - 斯 - 斯三氏皆為電腦科學家，本來並非研究 C\*- 代數。馬庫斯甚至稱自己在解決該問題後，「仍無法用 C\*- 代數的語言來描述它」。解決問題的轉捩點，是喬爾・安德森（Joel Anderson）將其重寫成不牽涉 C\*- 代數理論的等價形式。安德森於 1979 年證明，其「鋪砌猜想」（英語：paving conjecture）與卡迪森 - 辛格問題等價。該猜想僅牽涉有限維希爾伯特空間的算子，而相比之下，原問題的空間則是無窮維。此後，亦有其他學者，如尼克・威佛（Nik Weaver），在有限維空間中，給出其他等價問法。威佛的版本吸引了馬 - 斯 - 斯三氏研究。而此版本用交織多項式族（英語：interlacing family）獲解決。

## 原問題敍述

先引入若干定義：

**${\boldsymbol {\ell }}^{2}$**
: 平方可和的複序列空間，即 $\ell ^{2}=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ):x_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i}\left|x_{i}\right|^{2}<\infty \right\}$ 。此空間為可分希爾伯特空間，內積定義由 $\langle x,y\rangle =\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}$ 給出。

**${\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})$**
: 從 $\ell ^{2}$ 到 $\ell ^{2}$ 的連續線性算子組成的集合。此集合上，有加減法、乘法、伴隨等運算，構成一個 C\*- 代數。

**${\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})$**
: 從 $\ell ^{2}$ 到 $\ell ^{2}$ 的對角連續線性算子集合。換言之， $D(\ell ^{2})=\left\{\left.f:\ell ^{2}\to \ell ^{2}\right|f(x)=(a_{1}x_{1},a_{2}x_{2},\ldots ),{\text{ 其 中 }}a_{i}\in \mathbb {C} ,{\text{ 且 }}a_{i}{\text{ 有 界 }}\right\}$ 。 $D(\ell ^{2})$ 包含於 $B(\ell ^{2})$ ，故為其子 C\*- 代數。

**態**
: C\*- 代數 $A$ 上的態，是連續線性泛函 $\varphi :A\to \mathbb {C} $ ，將單位元 $I$ 映到 $1$ ，且對任意半正定的 $T\geq 0$ ，有 $\varphi (T)\geq 0$ （即此時 $\varphi (T)$ 要取實值，且該實值為非負）。

**純態**
: 接續上項， $\varphi $ 稱為純態，意思是在 $A$ 上所有態組成的集合中， $\varphi $ 是極端點，即不能寫成其他態的凸組合。

由哈恩 - 巴拿赫定理， $D(\ell ^{2})$ 上的任意泛函，必能延拓到 $B(\ell ^{2})$ 上。卡迪森與辛格二人問，對於純態，此延拓是否唯一。所以，卡迪森 - 辛格問題是要證明或否證以下命題：

> 對 $D(\ell ^{2})$ 上的任意純態 $\varphi $ ， $B(\ell ^{2})$ 上都存在唯一的態 $\psi $ ，使 $\psi $ 延拓 $\varphi $ ，即兩者限制到 $D$ 時等同。
> 
> 

此命題已證為真。

## 鋪砌猜想敍述

卡迪森 - 辛格問題的答案為肯定，當且僅當以下**鋪砌猜想**為真：

>  對任意的 $\varepsilon >0$ ，存在正整數 $k$ 使得：對每個 $n$ ，以及對 $n$ 維希爾伯特空間 $\mathbb {C} ^{n}$ 上的每個線性算子 $T$ （可視為 $n\times n$ 方陣），若其對角線全零，則存在某種方法將 $\{1,\dots ,n\}$ 分劃為 $k$ 份 $A_{1},\dots ,A_{k}$ ，使得
> 
> 　
> : : $\|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|$ 對於每個 $j=1,\ldots ,k$ 都成立。
> 
> 此處 $P_{A_{j}}$ 是正交投影，將 $\mathbb {C} ^{n}$ （坐標以 $1,2,\ldots ,n$ 為下標）映到坐標僅以 $A_{j}$ 元素為下標的子空間。換言之， $P_{A_{j}}TP_{A_{j}}$ 是下標為 $A_{j}$ 元素的各行列，相交而得的子方陣。而矩陣範數 $\|\cdot \|$ 取為譜範數，即來自 $\mathbb {C} ^{n}$ 上歐氏範數的算子範數。
> 
> 

注意命題中， $k$ 只能與 $\varepsilon $ 有關，但不取決於 $n$ 。

## 偏差敍述

尼克・威佛（Nik Weaver）證明，以下「偏差理論」命題，同樣與卡迪森 - 辛格問題（的肯定答案）等價：

> 設有向量 $u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}$ ，滿足 $\sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I$ （ $d\times d$ 單位方陣），且對每個 $i$ ， $\|u_{i}\|_{2}^{2}\leq \delta $ 。則存在一種方法將 $\{1,\ldots ,m\}$ 分劃成兩個子集 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，使得對於 $j=1,2$ 都有
> 
> 　
> : $\left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}.$
> 
> 

馬庫斯、斯皮爾曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交織多項式族（英語：interlacing families）的技巧，證明上述命題為真。該命題又有以下推論：

> 
> 設向量 $v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}$ 滿足 $\|v_{i}\|_{2}^{2}\leq \alpha $ （對所有 $i$ ），還有
> 
> 　
> : $\sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1$ 對滿足 $\|x\|=1$ 的所有向量 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 成立。
> 
> 則可以將 $\{1,\ldots ,m\}$ 分劃成兩個子集 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，使得對 $j=1,2$ ，以及滿足 $\|x\|=1$ 的任意向量 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ ，皆有：
> 
> 　
> : $\left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}.$
> 
> 

「偏差」一詞的含義，在 $\alpha $ 較小時顯明：在單位球面上取值恆為 $1$ 的二次型，可以分拆成兩個大致相等的二次型，而分拆出來的二次型在單位球面上各處的取值，離 $1/2$ 的偏差很小。利用命題此種形式，可以推導出關於圖分劃的若干結果。

## 參考文獻

## 外部鏈結

* Nicholas J. A. Harvey. An introduction to the Kadison–Singer Problem and the Paving Conjecture [卡迪森 - 辛格問題與鋪砌猜想的介紹] (PDF). 2013-07-11 [2021-10-16]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2021-10-21） （英語）.
* 陶哲軒. Real stable polynomials and the Kadison-Singer problem [實穩定多項式與卡迪森 - 辛格問題] (網誌). 2013-11-04 [2021-10-16]. （原始內容存檔於 2022-01-19） （英語）.
## 斯蒂爾終身成就獎

終身成就獎是頒給一直為數學界貢獻的得獎者，包括長期深入的研究，培養博士生（下一代的數學家），或對特定的數學領域的研究方向作出值得世人銘記的影響。

* 2020 凱倫・烏倫貝克
* 2019 傑夫・奇格
* 2018 讓・布爾甘
* 2017 詹姆斯・阿瑟
* 2016 巴裡・西蒙
* 2015 維克托・卡茨
* 2014 菲利普・奧古斯都・格裡菲斯
* 2013 雅科夫・西奈
* 2012 Ivo Babuška
* 2011 約翰・米爾諾
* 2010 威廉・富爾頓
* 2009 路易斯・卡法雷利
* 2008 喬治・盧斯蒂格
* 2007 Henry P. McKean
* 2006 Frederick W. Gehring、丹尼斯・蘇利文
* 2005 伊斯拉埃爾・蓋爾范德
* 2004 Cathleen Synge Morawetz
* 2003 葛立恆， Victor Guillemin
* 2002 邁克爾・阿廷、埃利亞斯・施泰因
* 2001 Harry Kesten
* 2000 艾沙道爾・辛格
* 1999 Richard V. Kadison
* 1998 納森・雅各布森
* 1997 Ralph S. Phillips
* 1996 志村五郎
* 1995 約翰・泰特
* 1994 路易・尼倫伯格
* 1993 尤金・登金 ## 評價

卡爾松在多個領域都有建樹，有人評價他總是解決開創性的最困難的問題，然後就轉到其他領域，將空間留給他人。

阿貝爾委員會這樣評價卡爾松：「他的工作已經永遠改變了我們對分析的看法。他不僅證明了極難的問題，而且他引入的證明方法與定理本身同等重要。」

## 社會活動

卡爾松是瑞典科學院院士，美國藝術與科學院、俄羅斯科學院、英國皇家學院、法國、丹麥、挪威、芬蘭、匈牙利等科學院外籍院土。1968 年到 1984 年曾任 Mttag－Leffler 研究所所長。曾擔任 Acta Mathematica 雜誌編輯。

卡爾松曾於 1978 年到 1982 年任國際數學聯盟主席，期間極力促成中國數學會取得代表權。他還積極建立了表彰年輕理論計算科學家的奈望林納獎。他還熱心數學普及工作，曾撰寫了科普著作「Matematik för vår tid」（我們時代的數學）。他培養的 26 名博士，大多成為全世界各大名校的教授。

## 著作

* Complex dynamics , Springer
* Matematik för vår tid 在數學和計算機科學領域中，**計算數論**（英語：computational number theory，或稱為**算法數論**（英語：algorithmic number theory），是伴隨著電子計算機的產生而產生的，藉助於高性能計算機的計算能力來研究和解決數論和算術幾何問題，如素數判定、整數分解算法，計算丟番圖方程的解，算術幾何的顯式方法等。它廣泛應用於密碼學，如 RSA 算法，橢圓曲線密碼學，後量子密碼學，並用於研究數論中的猜想和開放性問題，如黎曼猜想，貝赫和斯維訥通 - 戴爾猜想，Abc 猜想，谷山 - 志村猜想，佐藤 - 泰特猜想，朗蘭茲綱領等

## 軟體包

* Magma
* Sage
* Number Theory Library
* PARI/GP
* 快速數論函數庫 **里納特・卡爾松**（瑞典語：**Lennart Carleson**，1928 年 3 月 18 日 —），瑞典數學家。生於斯德哥爾摩。1992 年因「其在傅立葉分析、複分析、擬共形映射及動力系統理論方面的基礎性貢獻」獲得沃爾夫獎，2006 年又因「其在調和分析和光滑動力系統方面深刻和重大的貢獻」而獲得阿貝爾獎。

## 生平

1950 年獲得烏普薩拉大學博士學位，1950 年至 1951 年在美國哈佛大學做博士後研究。後在烏普薩拉大學、斯德哥爾摩大學、皇家理工學院任教。1986 年兼任美國加州大學洛杉磯分校教授，並曾擔任史丹福大學和麻省理工學院客座教授。

## 學術成就

卡爾松是當代分析大師，解決了許多困難的未決問題。其中最轟動的是他在 1965 年證明了 Lusin 猜想成立，解決了困擾傅立葉分析領域多年的一個基礎問題。這一結果的證明過程非常之難，以至於此後 30 年內很少有數學家能夠應用。

他的另一重大貢獻是解決了日冕問題 (Corona)，由此得到的卡爾松測度已經成為傅立葉分析和複分析的基本工具。

1972 年證明在二維情形任意階的 Bochner-Riesz 均值都有界（4/3<p<4），1988 年與 Benedicks 合作證明 Hénon 映射對非空參數集均存在奇異吸引子從而打開了系統研究此類動力系統的大門，也是他非常有影響的貢獻。