光錐在閔考斯基時空中是因果聯繫的重要概念，它用來描述一個事件（時空中的一個點）能夠和其他事件之間的因果關係。光錐的形狀和特性反映了光速的極限，並且確定了哪些事件可以互相影響。

在光錐中，有三種不同的區域，分別對應不同類型的事件：

1. **光錐內部的事件**：
   - 這些事件都可以通過小於光速的手段（如物體的移動）與當前事件建立因果聯繫。數學上，它們的時空間隔稱為**類時間隔**，滿足不等式 \(s^{2} < 0\)。這意味著從當前事件可以達到這些事件。

2. **光錐表面的事件**：
   - 這是光錐的邊界，所有的事件在這個區域內都能以光速與當前事件建立因果聯繫。它們的時空間隔稱為**類光或零性間隔**，滿足等式 \(s^{2} = 0\)。這表示這些事件正好位於光的傳播路徑上。

3. **光錐外部的事件**：
   - 這些事件與當前事件無法建立因果聯繫，因為它們的時空間隔屬於**類空間隔**，滿足不等式 \(s^{2} > 0\)。這表示若要達到這些事件，所需的速度將需要超過光速，這在相對論中被認為是不可能的。

總結來說，光錐的內部事件可以被影響，而表面事件以光速相互影響，光錐外部的事件則無法進行因果聯繫。這樣的結構使得光錐成為理解和描述因果關係的重要工具，也是狹義相對論的核心概念之一。
光錐在閔考斯基時空中是如何與因果聯繫相關的？能否解釋光錐的內部、表面及外部事件之間的區別？
在狹義相對論中，**光錐**（英語：Light cone）是閔考斯基時空下能夠與一個單一事件通過光速存在因果聯繫的所有點的集合，並且它具有勞侖茲不變性。光錐也可以看作是閔考斯基時空下的一束光隨時間演化的軌跡。在三維空間中，光錐可以通過將兩條正交的水平軸取做空間坐標，將垂直於水平面的豎直軸取做時間坐標從而實現可視化。為了簡明起見，這裡首先考慮的是平面上的光錐：即用來描述它的閔考斯基圖只具有一維時間（縱軸）和一維空間（橫軸），我們將看到光錐在勞侖茲變換下具有不變性。

## 勞侖茲變換

正常勞侖茲群的勞侖茲變換包括兩種基本變換操作：旋轉（英語：Rotation）和直線運動（英語：Boost），而直線運動也可以看作是時間與空間坐標軸之間的相對旋轉（具體見下文）。勞侖茲變換彼此間是非對易的，這意味著勞侖茲群是一個非阿貝爾群；這兩種變換操作和平移變換操作一起包含在同樣為非阿貝爾群的龐加萊群中。我們考慮其中的直線運動變換：

　
: $\Lambda _{\nu }^{\mu ^{\prime }}={\begin{pmatrix}cosh\,\phi &-sinh\,\phi &0&0\\-sinh\,\phi &cosh\,\phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

這個勞侖茲變換描述的是坐標系沿 x 軸的等速運動情形，其中參數 $\phi \,$ 和坐標系的運動速度 $v\,$ 之間的關係為

　
: $v=tanh\,\phi \,$

將這個關係代入上面的變換矩陣中可以得到勞侖茲變換較為初等的傳統形式，即

　
: $t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

　
: $x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

　
: $y'=y$

　
: $z'=z$

## 閔考斯基圖

在閔考斯基圖中，一維時間和一維空間相互正交，橫軸為空間 x 軸，縱軸為時間 t 軸。在上文中沿 x 軸運動的勞侖茲變換下，產生的新坐標系與原坐標系之間的關係為

　
: $t^{\prime }=t\,cosh\,\phi -x\,sinh\,\phi \,$

　
: $x^{\prime }=-t\,sinh\,\phi +x\,cosh\,\phi \,$

其結果就是兩條坐標軸會同時向內發生旋轉，如左圖所示，其中還表示了任意一點 A 在不同坐標下的投影。變換後的兩條坐標軸在歐幾里得幾何下不是正交的，但在勞侖茲變換的意義下仍然是正交的。

在自然單位下，光速 $c=1\,$ ，則在閔考斯基圖中光的軌跡由方程式 $x=\pm t\,$ 給出；同樣，對於勞侖茲變換後的坐標系，光的軌跡由方程式 $x^{\prime }=\pm t^{\prime }\,$ 給出。如右圖所示，光的軌跡在勞侖茲變換下的不同坐標系中都是相同的，即光速在所有慣性系下都是相同的，這也正是狹義相對論的光速不變原理的體現。

## 光錐

從閔考斯基圖上的光的軌跡 $x=\pm t\,$ 可以建立光錐的概念。對於閔考斯基時空中的任一事件，都對應有時空中的一組點的集合能夠通過光的軌跡（在閔考斯基時空中是直線）與之聯繫，這組點的集合被稱作光錐。在通常的二維空間和一維時間表示中光錐由兩個對稱的圓錐體組成，它的特性是具有勞侖茲不變性。兩個對稱的圓錐分別代表了當前事件的過去和未來：

* 光錐內部的所有點（如左圖中的事件 B）都可以通過小於光速的速度與當前事件建立因果聯繫，它們與當前事件的間隔被稱作類時間隔

　
: $s^{2}=-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}<0$

* 光錐表面上的所有點都可以通過光速與當前事件建立因果聯繫，它們與當前事件的間隔被稱作類光或零性間隔

　
: $s^{2}=-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$

* 光錐外部的所有點（如左圖中的事件 C）都無法與當前事件建立因果聯繫，它們與當前事件的間隔被稱作類空間隔

　
: $s^{2}=-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}>0$

由於光錐本身具有勞侖茲不變性，事件之間的間隔屬於類時還是類空的也與觀察者所在的參考系無關。其中對於類空間隔的事件，由於兩者沒有因果聯繫，不能認為它們也具有古典力學中描述的所謂同時性，即無法認為任何類空間隔的兩個事件是同時的。

光錐的概念同樣可以擴展到廣義相對論中，這時的光錐可以定義為一個事件的因果未來和因果過去的邊界，並包含了這個時空中的因果結構資訊。構成光錐的仍然是這個時空中光的世界線，此時對應的時空圖是潘洛斯 - 卡特圖。由於在廣義相對論中時空可以是彎曲的，光錐也有可能是收縮或傾斜的。

## 參考文獻

* Sean Carroll. Lecture Notes on General Relativity (PDF). ArXiv. [2008-10-10]. （原始内容存档 (PDF) 于 2020-07-25）.
* Charles W. Misner, John A. Wheeler and Kip S. Thorne. Gravitation. W. H. Freeman. 1973. ISBN 978-0716703440.
* Sean Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Benjamin Cummings. 2003. ISBN 978-0805387322.
* Bernard F. Schutz. A First Course in General Relativity. Cambridge University Press. 1985. ISBN 978-0521277037.

## 外部連結

* 閔考斯基時空：介紹光錐
* 狹義相對論中的悖論
* 製作一個你自己的光錐，可以看到你已經與哪些星體建立了因果聯繫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
**閔可夫斯基圖**（Minkowski diagram）是一種**時空圖**（spacetime diagram），用以表示閔可夫斯基時空的事件的坐標。它是一種理解狹義相對論現象的工具。

在四維的坐標系，以時間乘以光速（ct）為其中一軸，稱之為時間軸；其他的 x 軸、y 軸、z 軸，稱之為空間軸。在這四維時空上的每一點，都代表一個事件 E。對應特定的慣性參考系，E 發生的時間和地點 (ct,x,y,z)。

每個質點在時空的活動都可以在時空圖上以連續的曲線表示，稱為**世界線**。

例如，在直角坐標繫上，若質點均速運動， $x(t)=vt$ ，它的世界線便是一條穿過原點、斜率為 $v/c$ 的直線 (斜率是關於時間軸 ct 軸的，而非 x 軸)。若質點是簡諧運動， $x(t)=\sin \omega t$ ，它的世界線便會一條沿時間軸變化的正弦曲線。

（為了方便在平面上表示，下面的閔可夫斯基圖多數只有時間軸和一條空間軸 x 軸。） ## 簡介

在現代物理學（特別是廣義相對論）中，時空是用勞侖茲流形表示的。流形中兩點之間的因果關係可以用來描述時空中哪些事件可以影響到其他的哪些事件。

閔考斯基時空是勞侖茲流形的簡單代表。由於閔考斯基時空是平直的，因而其中兩點之間的因果關係非常容易表示。

任意勞侖茲流形（可能是彎曲的）的因果結構由於曲率的存在會較為複雜。對於這些流形中的因果結構的討論就得從有鄰點對的光滑曲線的角度來描述：首先討論曲線切向量的各種情況，然後給出因果關係的定義。

### 切向量

如果 $\,(M,g)$ 是一個勞侖茲流形（流形 $M$ 的度規為 $g$ ），那麼這個流形上任意點的切向量 $X$ 就可以分為下屬三種情況：

* 類時向量： $\,g(X,X)<0$
* 零向量或類光向量： $\,g(X,X)=0$
* 類空向量： $\,g(X,X)>0$

（度規的符號數為 $(-,+,+,+,\cdots )$ ）。如果一個切向量是零向量或類時向量，那麼它就是「非類空向量」。這裡對各種切向量的命名方式是從閔考斯基時空中的情況推廣而來的。 在狹義相對論中，**光錐**（英語：Light cone）是閔考斯基時空下能夠與一個單一事件通過光速存在因果聯繫的所有點的集合，並且它具有勞侖茲不變性。光錐也可以看作是閔考斯基時空下的一束光隨時間演化的軌跡。在三維空間中，光錐可以通過將兩條正交的水平軸取做空間坐標，將垂直於水平面的豎直軸取做時間坐標從而實現可視化。為了簡明起見，這裡首先考慮的是平面上的光錐：即用來描述它的閔考斯基圖只具有一維時間（縱軸）和一維空間（橫軸），我們將看到光錐在勞侖茲變換下具有不變性。 ## 坐標轉換

對應慣性參考系 O，它在一閔可夫斯基圖為直角坐標系。若另一個慣性參考系 O' 對應 O 以均速 $u$ 沿 x 方向行進，則有慣性坐標系 O'，x' 軸跟 x 軸的夾角等於 $ct'$ 軸和 $ct$ 軸的夾角，夾角 $\alpha =\arctan(u/c)$ 。

若事件 E 在直角坐標系 O 的坐標為 (ct, x)，量度 E 在 O' 的坐標時，長度需除以 ${\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}$ 。這個長度的變化是因為兩個坐標系原時的不同。

## 光錐

若有一道光經過 (0,0,0,0)，它所有可能的世界線是兩個圓錐面，圓錐的頂角是 90°，一個在 $ct\leq 0$ （未來），另一個在 $ct\geq 0$ （過去），稱為光錐。圓錐面將平面分成五部分

* 未來光錐內的點（表示的事件），與原點是類空的；
* 過去光錐內的點，與原點是類空的；
* 光錐外的點（有 $x\leq 0,x\geq 0$ 兩邊），與原點是類時的；
* 在光錐上的點，是類光的。