在橢圓曲線的上下文中，主齊性空間的概念被用來分析曲線解的結構，尤其是當考慮曲線 \( C \) 在某個域 \( K \) 上沒有可理點的情況。這種情況下，曲線 \( C \) 可以被理解為與某個橢圓曲線 \( E \) 之間的主齊性空間的關係。

具體而言，如果你有一個橢圓曲線 \( E \)，它在 \( K \) 上有一個點作為加法法則的單位元素（即其「原點」），則 \( E \) 可以在 \( K \) 上進行定義並具有良好的性質。在這裡，橢圓曲線 \( E \) 的「主齊性空間」則是那些與 \( E \) 同構但並不必然在 \( K \) 上有點的曲線 \( C \)，也就是說：

1. **同構性**：曲線 \( C \) 在某個擴域上同構於橢圓曲線 \( E \)，這意味著 \( C \) 在這個擴域上可以找到解，然而在 \( K \) 上則沒有。

2. **主齊性結構**：這樣的曲線 \( C \) 可以視為 \( E \) 的一個主齊性空間。在這種情況下，任何 \( K \) 上的一個解對應橢圓曲線 \( E \) 的解，都可藉由在 \( K \) 上進行的對應性來建立，而這些解的結構可以透過主齊性空間的行為來理解。

具體來說，對於曲線 \( C \) 在某個擴域上所得的解集，可以利用 \( E \) 的性質來分析 \( C \) 上的解。例如，通過橢圓曲線 \( E \) 的群結構，任何在 \( E \) 上的解都可以轉換到 \( C \) 上，但 \( C \) 在 \( K \) 上缺乏解的情況則意味著它在 \( K \) 上的表現形式變得複雜。

這樣一來，對於非具可理點的曲線 \( C \)，我們可以將其視為在更大的域中與 \( E \) 的關係的映射（或對應），這有助於我們理解其在代數幾何和數論中的性質，並提供了額外的結構以便探索解的不同可能性。例如，這樣的分析可在幾何上展現出 \( C \) 的點雖然在 \( K \) 上消失，但它在某些擴域中仍然保有同構性，揭露了它在更一般性質上的特徵，進而可能影響 Selmer 群等數論結構的討論。

因此，主齊性空間在這種情境下成為理解和研究橢圓曲線解結構的一個有力工具，連結了不同數域間的性質以及它們在幾何上的表現。
在橢圓曲線的上下文中，如何將主齊性空間的概念應用於分析曲線的解的結構？例如，對於某個不具可理點的曲線 C，如何通過其相應的橢圓曲線 E 的主齊性空間描述其在更大的域上的行為？
數學上，對於 群 _G_ 的**主齊性空間**，或者叫 **_G_- 旋子**（英文：torsor），是一個集合 _X_， _G_ 在其上自由並可遞地作用。也即，_X_ 是 _G_ 的齊性空間，滿足每個點的定點子群都是平凡群。

在其它範疇中有類似的定義，其中

* _G_ 是一拓撲群， _X_ 是一拓撲空間，而作用是連續的，
* _G_ 是一李群， _X_ 是一光滑流形而作用是光滑的，
* _G_ 是一代數群， _X_ 是一代數簇而作用是正則的。

## 定義

若 _G_ 是非交換的，則必須根據作用是在左或右分清左或右主齊性空間。本條目使用右作用作為代表。要更顯式地給出定義，我們說 _X_ 是一個 _G_- 主齊性空間，如果存在一個（適當地範疇中的）映射 _X_ × _G_ → _X_，滿足

　
: $x\cdot 1=x$

　
: $x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h$

對於所有 _x_ ∈ _X_ 和所有 _g，h_ ∈ _G_ 成立，並且滿足如下映射 _X_ × _G_ → _X_ × _X_

　
: $(x,g)\mapsto (x,x\cdot g)$

為同構。注意這表示 _X_ 和 _G_ 是同構的，但是 — 很基本的一點是 — 在 _X_ 中沒有特別的 ' 么元 '。也即，_X_ 看起來和 _G_ 一樣，但是我們需要忘記哪一點是么元。這個概念經常在數學中作為通向內蘊觀點的一個途徑，常見的說法為『扔掉原點』。

因為 _X_ 不是一個群，我們不能將元素相加；但是我們可以取它們的『差』。也就是，存在一個映射 _X_ × _X_ → _G_ 將 (_x_，_y_) 映到一個唯一的元素 _g_ ∈ _G_，滿足 _y_ = _x_·_g_。

## 例子

每個群 _G_ 可以將自己視為一個在左乘或者右乘作用下的左或右 _G_- 主齊性空間。

另外一個例子是仿射空間的概念：向量空間 _V_ 之下的仿射空間 _A_ 的想法可以簡潔地表述為 _A_ 是 _V_ 作為平移的加法群作用的主齊性空間。

給定向量空間 _V_，可以將 _G_ 取作一般線性群 GL (_V_)，而 _X_ 取作所有（有序）基的集合。則 _G_ 通過作用在 _V_ 中的向量上而作用於 _X_；並且它可遞地作用，因為任何基可以通過 _G_ 轉換成為另一個。而且，一個固定一個基中每個向量的線性變換會固定所有 _V_ 中的 _v_，因此它是一般線性群 GL (_V_) 的么元，也就是說 _G_ 的作用是自由的：所以 X 確實是一個_主_齊性空間。在線性代數中跟隨基的依賴性的一個論證辦法就是跟蹤 _X_ 中的變量 _x_。

## 應用

主齊性空間概念是主叢的一個特殊情況：它就是基空間為一點的主叢。換句話說，主叢的局部理論就是一族依賴於基空間中的參數的主齊性空間的理論。可以通過取叢的一個截面來給定「原點」 - 這樣的截面通常是_局部地在基空間上_存在 - 也就是叢_局部平凡_，因此局部地結構就是卡積的結構。但是截面經常不是全局存在的。例如一個微分流形 M 有一個和其切叢相應的標架主叢。全局截面只有當 M 是可平行化時才存在；而那是很強的拓撲限制。

在數論中，有一個（看似不同的）使用主齊性空間的原因，就是為了在域 K 上定義橢圓曲線 E（以及更一般的交換簇）。一旦理解了這點，很多其它例子也是同樣的情況，應用於其它的代數群：正交群的二次型，以及射影線性群的 Severi-Brauer 簇就是兩個例子。

在橢圓曲線情況，對丟番圖方程的意義，在於 K 可能不是代數閉的。可以存在曲線 C，它在 K 沒有點，而它在更大的域上同構於 E，E 按定義有 K 上一點作為它的加法律的么元。也就是，在這個情況我們應該區分虧格為 1 的 C，和有一個 K - 點的橢圓曲線 E（或者說，有一個解在 K 中的一個丟番圖方程）。曲線 C 其實就是 E 上的主齊性空間，並在 K 為一個數域的情況構成一個有更豐富結構的集合（Selmer 群理論）。實際上，典型的 **Q** 上的平面三次曲線 C 沒有理由有一個有理點；標準的韋爾斯特拉斯（Weierstrass）模型確總是有一個，也就是無窮遠點，但是必須有一點在 K 上以將 C 置入_在_ K 上的形式。

這個理論在局部分析中有所發展，導出了 Tate-Shafarevich 群的定義。通常取主齊性空間理論的方法，首先在代數閉域上，然後回降到更小的域上，這是下降的一個方面。它立刻導致伽羅瓦上同調，因為主齊性空間代表了群上同調 H1 的等價類。

## 其它用法

主齊性空間一詞也用於沒有可遞性的情況，特別時在層論中。

這個情況下，可以討論在空間 _X_ 上的（右）_G_- 主齊性空間 _E_（_X_ 時一個概形／流形／拓撲空間，等等。）作為一個有自由（右）_G_ 作用作用的空間 _E_，滿足如下映射

　
: $E\times _{X}G\rightarrow E\times _{X}E$

（由下式給出）

　
: $(x,g)\mapsto (x,xg)$

為在適當的範疇中的雙射。當在光滑範疇中是雙射。在 _G_-- 主齊性空間（_G_ 是李群）則是精確主 _G_ 叢。 主齊性空間在這個意義下和對應於上同調 _H_1(_X,G_) 中的對應的基。

## 參見

* 埃爾朗根綱領
* 克萊因幾何

## 外部連結

* Torsors 簡介（英文） 作者 John Baez
在數學上，**橢圓曲線**（英語：Elliptic curve，縮寫為 EC）為一平面代數曲線，由如下形式的方程定義

　
: $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$ ，

且滿足其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。（當係數域的特徵為 2 或 3 時，上面的方程不能涵蓋所有非奇異的三次曲線；見下面的 #一般域上的橢圓曲線。）

正式地，橢圓曲線是光滑的、射影的、虧格為 1 的代數曲線，其上有一個特定的點 _O_。橢圓曲線是阿貝爾簇 – 也就是說，它有代數上定義的乘法，並且對該乘法形成阿貝爾群 – 其中 _O_ 即為單位元。

若 $y^{2}=P(x)\,$ ，其中 P 為任一沒有重根的三次或四次多項式，然後可得到一虧格 1 的無奇點平面曲線，其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地，一虧格 1 的代數曲線，如兩個三維二次曲面相交，即稱為橢圓曲線。

運用橢圓函數理論，可以證明定義在複數上的橢圓曲線對應於環面在復射影平面內的嵌入。環面也是一個阿貝爾群，事實上，這個對應也是一個群同構。

橢圓曲線的形狀不是橢圓。命名為橢圓曲線的原因是此曲線原來和橢圓函數有關。在拓撲學上，複數的橢圓曲線是環面，而複數的橢圓會是球面。 ## 實數域

儘管橢圓曲線的正式定義需要一定的代數幾何背景，在實數上的橢圓曲線的一些特徵可以使用入門級別的代數與幾何來描繪。

這種情況下，橢圓曲線是由下列方程定義的平面曲線：

　
: $y^{2}=x^{3}+ax+b$

其中 _a_ 和 _b_ 為實數。這類方程被稱為魏爾斯特拉斯方程。

橢圓曲線的定義也要求曲線是非奇異的。幾何上來說，這意味著圖像裡面沒有尖點、自相交或孤立點。代數上來說，這成立若且唯若判別式

　
: $\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})$

不等於 0。（儘管這裡的因子−16 與曲線是否是非奇異的無關，這樣定義判別式在對橢圓曲線進行更深入的研究時有用。）

非奇異橢圓曲線的（實）圖像在判別式為正的時候有兩個連通分量，在判別式為負時則有一個連通分量。例如，在本小節的圖像中，第一個曲線的判別式為 64，而第二個曲線的判別式為−368。 數學上，對於 群 _G_ 的**主齊性空間**，或者叫 **_G_- 旋子**（英文：torsor），是一個集合 _X_， _G_ 在其上自由並可遞地作用。也即，_X_ 是 _G_ 的齊性空間，滿足每個點的定點子群都是平凡群。

在其它範疇中有類似的定義，其中

* _G_ 是一拓撲群， _X_ 是一拓撲空間，而作用是連續的，
* _G_ 是一李群， _X_ 是一光滑流形而作用是光滑的，
* _G_ 是一代數群， _X_ 是一代數簇而作用是正則的。 ## 定義

若 _G_ 是非交換的，則必須根據作用是在左或右分清左或右主齊性空間。本條目使用右作用作為代表。要更顯式地給出定義，我們說 _X_ 是一個 _G_- 主齊性空間，如果存在一個（適當地範疇中的）映射 _X_ × _G_ → _X_，滿足

　
: $x\cdot 1=x$

　
: $x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h$

對於所有 _x_ ∈ _X_ 和所有 _g，h_ ∈ _G_ 成立，並且滿足如下映射 _X_ × _G_ → _X_ × _X_

　
: $(x,g)\mapsto (x,x\cdot g)$

為同構。注意這表示 _X_ 和 _G_ 是同構的，但是 — 很基本的一點是 — 在 _X_ 中沒有特別的 ' 么元 '。也即，_X_ 看起來和 _G_ 一樣，但是我們需要忘記哪一點是么元。這個概念經常在數學中作為通向內蘊觀點的一個途徑，常見的說法為『扔掉原點』。

因為 _X_ 不是一個群，我們不能將元素相加；但是我們可以取它們的『差』。也就是，存在一個映射 _X_ × _X_ → _G_ 將 (_x_，_y_) 映到一個唯一的元素 _g_ ∈ _G_，滿足 _y_ = _x_·_g_。