1. **長直線和長射線的定義有何異同？**
   長射線可以分為閉長射線和開長射線。閉長射線是由第一不可數序數ω₁與半開區間[0, 1)的笛卡兒積構成，並賦予字典序生成的序拓撲。開長射線則是將閉長射線的最小元素(0,0)除去而得。長直線則是通過將一條反向開長射線和一條閉長射線的不交併組合而成，並且在拓撲上是序拓撲。兩者的主要區別在於，長直線是由兩個不同方向的長射線組合而成，而長射線通常指的是單條的延伸。

2. **長直線能否賦予黎曼度量？**
   長直線和長射線不能賦予黎曼度量，因為這類流形即便不假設是仿緊緻，也無法證明是可度量化的。黎曼流形通常需要具備的度量性質在這些空間中並不成立。

3. **長直線具有什麼性質？**
   長直線的性質包括：
   - 是局部緊緻的，但不是緊緻的。
   - 是道路連通和單連通，但不是可縮的。
   - 是一維拓撲流形，但不是可分的，其第一可數性存在，但不具備第二可數性。
   - 不能賦予黎曼度量。
   - 與實數線等勢，但其「長度」比實數線更長，兩端都稱為長的。
   - 不存在從長直線到實數線的嚴格遞增函數。
長直線和長射線的定義有何異同?
長直線能否賦予黎曼度量？
長直線具有什麼性質?
文章標題:長直線
文章內文:拓撲學中，長直線，或稱亞歷山德羅夫（Alexandroff）直線，是一個有點像實數線的拓撲空間，但是比實數線要「長」。長直線局部性質就如實數線，但整體性質不同，因此常用作拓撲學的基本反例。直觀地說，實數線有可數多個首尾相接的線段[0, 1)，而長直線是用不可數多個這些線段構成。

定義

閉長射線L定義為第一不可數序數ω₁與半開區間[0, 1)的笛卡兒積，賦以自ω₁ × [0, 1)上的字典序生成的序拓撲。將閉長射線除去最小元素(0,0)就得出開長射線。
長直線是將兩個方向各一條長射線合併而成。嚴格來說，長直線可以定義為反向開長射線（反向指倒轉次序）和（不反向）閉長射線的不交併上的序拓撲，令閉長射線上各點都大於反向開長射線上各點，使成為全序集。另一個做法是取兩條開長射線，將一條射線的開區間{0} × (0, 1)與另一條的同一開區間的反向等同，也就是將一條上的點(0, t)和另一條上的點(0,1 − t)等同。（其中t是實數，且0 < t < 1。）定義長直線為將兩條開長射線如此黏貼而得出的拓撲空間。第一個構造法給出長直線上的次序，並且表明長直線的拓撲是序拓撲；而等二個構造法用了黏貼開集合方法，以拓撲觀點以言較為清晰。
直觀上，閉長射線就像實（閉）半直線，但有一方向相比要長得多：其一端稱為長的，另一端稱為閉的。開長射線就像實數線（或開半直線），除了有一方向更長：其一端稱為長的，另一端稱為短（開）的。長直線比實數線兩方向都比實數線長：其兩端都稱為長的。
有很多作者將長射線（或閉或開）稱為「長直線」，對上述各種長空間的稱呼多有混淆。不過在不少反例中，這些分別都不要緊，因為反例的關鍵在於長的一端，而另一端或長或短，都無關重要。
與上述的空間相關的有（閉）擴充長射線L*，是在閉長射線L的長端加一個元素而得到L的一點緊緻化空間。同樣可以在長直線兩端各加上一個元素，得出擴充長直線。

性質

閉長射線L = ω₁ × [0,1)包含了不可數多個[0,1)首尾「黏合」。相對而言，對任何可數序數α，黏合α個[0,1)所得的空間仍然是同胚（且序同構）於[0,1)。而如果將「多於」ω₁個[0,1)黏合，得出的空間不再是局部同胚於R。
在L中的任何遞增序列都趨向L中的一個極限，因為ω₁的元素是可數序數，任何由可數多個可數序數組成的族的最小上界是一個可數序數，以及在R中每個遞增有界序列都收歛。因此不存在從L到R的嚴格遞增函數。
在長射線（無論擴充與否）和長直線上的是序拓撲，因此是正規豪斯多夫空間。這些空間都與實數線等勢，但比實數線「長得多」。這些空間都是局部緊緻。沒有一個可度量化，因為長射線是序列緊緻，但非緊緻，就連林德勒夫空間也不是。
非擴充的長直線和長射線不是仿緊緻空間。這些空間是道路連通，局部道路連通，單連通，但不是可縮的。這些空間是一維拓撲流形。若是閉長射線，則為帶邊流形。這些空間是第一可數，但不是第二可數，也不是可分的。所以要求流形的定義有後兩個性質的作者，不把長直線算為流形。
長直線和長射線可以賦予（不可分）微分流形結構。不過雖然它們的拓撲流形結構唯一（拓撲上而言，只有一個方法令一條實數線在某一端「加長」），微分流形結構卻非唯一：對每個自然數k，給定長直線及長射線上任一個Cᵏ結構，都有無限多個Cᵏ⁺¹或C∞結構，可以導出該Cᵏ結構。以上性質與通常的（即是可分）流形有顯著差異，因為只要k≥1，通常的流形上的一個Cᵏ結構就決定了唯一的C∞結構。
長直線和長射線不能賦予一個黎曼度量，以導出其拓撲。因為黎曼流形就算不假設是仿緊緻，也可以證明是可度量化。
擴充長射線L*是緊緻的，是閉長射線L的一點緊緻化，卻也是其Stone-Čech緊緻化，因為任何連續函數從（閉或開的）長射線到實數線終於會是常數。L*也是連通，但非道路連通，因為長直線「太長」，不能用一條道路覆蓋。道路就是一個區間的連續像。L* 不是流形，也不是第一可數的。
閉長射線L定義為第一不可數序數ω₁與半開區間[0, 1)的笛卡兒積，賦以自ω₁ × [0, 1)上的字典序生成的序拓撲。將閉長射線除去最小元素(0,0)就得出開長射線。
長直線是將兩個方向各一條長射線合併而成。嚴格來說，長直線可以定義為反向開長射線（反向指倒轉次序）和（不反向）閉長射線的不交併上的序拓撲，令閉長射線上各點都大於反向開長射線上各點，使成為全序集。另一個做法是取兩條開長射線，將一條射線的開區間{0} × (0, 1)與另一條的同一開區間的反向等同，也就是將一條上的點(0, t)和另一條上的點(0,1 − t)等同。（其中t是實數，且0 < t < 1。）定義長直線為將兩條開長射線如此黏貼而得出的拓撲空間。第一個構造法給出長直線上的次序，並且表明長直線的拓撲是序拓撲；而等二個構造法用了黏貼開集合方法，以拓撲觀點以言較為清晰。
直觀上，閉長射線就像實（閉）半直線，但有一方向相比要長得多：其一端稱為長的，另一端稱為閉的。開長射線就像實數線（或開半直線），除了有一方向更長：其一端稱為長的，另一端稱為短（開）的。長直線比實數線兩方向都比實數線長：其兩端都稱為長的。 拓撲學中，**長直線**，或稱**亞歷山德羅夫（Alexandroff）直線**，是一個有點像實數線的拓撲空間，但是比實數線要「長」。長直線局部性質就如實數線，但整體性質不同，因此常用作拓撲學的基本反例。直觀地說，實數線有可數多個首尾相接的線段 [0, 1)，而長直線是用不可數多個這些線段構成。 文章標題:長直線
文章內文:拓撲學中，長直線，或稱亞歷山德羅夫（Alexandroff）直線，是一個有點像實數線的拓撲空間，但是比實數線要「長」。長直線局部性質就如實數線，但整體性質不同，因此常用作拓撲學的基本反例。直觀地說，實數線有可數多個首尾相接的線段[0, 1)，而長直線是用不可數多個這些線段構成。

定義 ## 定義

**閉長射線**_L_ 定義為第一不可數序數 ω1 與半開區間 [0, 1) 的笛卡兒積，賦以自 ω1 × [0, 1) 上的字典序生成的序拓撲。將閉長射線除去最小元素 (0,0) 就得出**開長射線**。

**長直線**是將兩個方向各一條長射線合併而成。嚴格來說，長直線可以定義為反向開長射線（反向指倒轉次序）和（不反向）閉長射線的不交併上的序拓撲，令閉長射線上各點都大於反向開長射線上各點，使成為全序集。另一個做法是取兩條開長射線，將一條射線的開區間 {0} × (0, 1) 與另一條的同一開區間的反向等同，也就是將一條上的點 (0,_t_) 和另一條上的點 (0,1 −_t_) 等同。（其中 _t_ 是實數，且 0 <_t_< 1。）定義長直線為將兩條開長射線如此黏貼而得出的拓撲空間。第一個構造法給出長直線上的次序，並且表明長直線的拓撲是序拓撲；而等二個構造法用了黏貼開集合方法，以拓撲觀點以言較為清晰。

直觀上，閉長射線就像實（閉）半直線，但有一方向相比要長得多：其一端稱為長的，另一端稱為閉的。開長射線就像實數線（或開半直線），除了有一方向更長：其一端稱為長的，另一端稱為短（開）的。長直線比實數線兩方向都比實數線長：其兩端都稱為長的。