要判斷一個一階常微分方程是否為恰當微分方程，首先需要將該方程寫成以下的形式：

\[
P(x,t) \mathrm{d} x + Q(x,t) \mathrm{d} t = 0
\]

其中 \(P(x,t)\) 和 \(Q(x,t)\) 是 \(x\) 和 \(t\) 的函數。

接下來，檢查以下條件是否滿足：

1. **連續可微性**：\(P(x,t)\) 和 \(Q(x,t)\) 必須是 \(x\) 和 \(t\) 的一階連續可微函數。

2. **滿足條件**：檢查以下條件是否成立：

\[
\frac{\partial P}{\partial t} = \frac{\partial Q}{\partial x}
\]

如果這些條件都滿足，那麼該微分方程就是一個恰當微分方程，且可以用來找到隱函數 \(U(x,t) = c\)，其中 \(c\) 是任意常數，作為方程的解。 

如果不滿足這些條件，那麼就需要考慮通過引入積分因子將其轉換為恰當微分方程。
如何判斷一個一階常微分方程是否為恰當微分方程？
**一階常微分方程**是數學中常見而基礎的一類微分方程，通常寫成如下的形式：

　
: : ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)$

其中的 x 是要解的未知函數，t 是函數的自變量，f 是一個已知的連續函數。

一階常微分方程在物理學、生物學、化學以及各種自然與社會科學都能見到，是常見的數學模型的重要構成部分。

## 一階線性微分方程

一階線性微分方程是一階常微分方程中基礎的一類。通常寫成如下形式：

　
: : $\forall t\in I,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)+b(t)$

其中 I 是方程的求解範圍，一般是實數集的子集。a 和 b 是已知的連續函數。如果 b 是零函數，則稱此方程為齊次的，否則稱其為非齊次的。

一階齊次線性微分方程：

　
: : ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)$

的解函數構成一個一維實線性空間：

　
: : $S=\left\{x:\;t\mapsto ce^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u};\;\;c\in \mathbb {R} \right\}.$

一階非齊次線性微分方程

　
: : ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)+b(t)$

的解函數構成一個一維實仿射空間：

　
: : ${\begin{aligned}S'&=\left\{x:\;t\mapsto \left(c+\int ^{t}b(u)e^{-\int ^{u}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u\right)e^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u};\;\;c\in \mathbb {R} \right\}\\&=S+x^{*},\end{aligned}}$

其中

　
: : $x^{*}:\;t\mapsto e^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u}\int ^{t}b(u)e^{-\int ^{u}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u=\int ^{t}b(u)e^{\int _{u}^{t}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u$

是原微分方程的一個特解。

## 變量分離方程

如果一個一階常微分方程能寫成如下形式：

　
: : ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)b(x),$

則稱其為變量分離方程。「變量分離」意為方程右端的部分可以分離成兩個不同部分的乘積，其中一個只與自變量 t 相關，另一個則只與未知函數 x 相關。

變量分離函數可以變形為：

　
: : ${\frac {\mathrm {d} x}{b(x)}}=a(t)\mathrm {d} t$

的微分形式。將兩端同時積分，可以得到：

　
: : $\int ^{x}{\frac {1}{b(u)}}\mathrm {d} u=\int ^{t}a(s)\mathrm {d} s+c$

這便是方程的通解。由於上述關係為隱函數關係，而不是 $x=x(t)$ 的形式，稱為**隱式解**。

不少一階常微分方程可以通過變量變換轉化為變量分離方程，從而求解。

## 恰當微分方程

將一個普通的一階常微分方程轉寫為微分的形式：

　
: : $\mathrm {d} x=f(x,t)\mathrm {d} t$

將 t 和 x 視為變量平等看待，可以將其看作是對稱的一階微分方程：

　
: : $P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=0$

如果上述方程中的左側恰好是某個二元函數的全微分：

　
: : $P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=\mathrm {d} U(x,t)={\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)\mathrm {d} x+{\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)\mathrm {d} t,$

那麼隱函數：

　
: : $U(x,t)=c$

就是原微分方程的解函數，其中的 c 可以是任意常數。具有這樣性質的微分方程被稱作**恰當微分方程**。要使得一個一階常微分方程是恰當微分方程，其中的函數 P 和 Q 必須一階連續可微，並且滿足以下的條件：

　
: : ${\frac {\partial }{\partial t}}P(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}Q(x,t).$

而當以上條件滿足時，也可以具體求出解函數的形式：

　
: : $U(x,t)=\int ^{x}P(u,t)\mathrm {d} u+\int \left[Q(x,s)-\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\int ^{x}P(u,t)\mathrm {d} u\right|_{t=s}\right]\mathrm {d} s$

### 積分因子

如果方程

　
: : $P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=0$

中的函數 P 和 Q 不滿足上述的關係式，則為了將其轉化為恰當微分方程，會探討能否通過添加適當的函數 μ，使得：

　
: : $\mu (x,t)P(x,t)\mathrm {d} x+\mu (x,t)Q(x,t)\mathrm {d} t=\mathrm {d} U(x,t)$

這樣的函數 μ 稱為方程的**積分因子**。可以證明，只要原方程有解函數存在，則積分因子也必然存在，而且不一定是唯一的。

## 解的存在性

很多情況下，需要討論帶有初值問題的一階常微分方程，即：

　
: : ${\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t),\;\;x(t_{0})=x_{0}.$

是否有解。

設 E 為一個完備的有限維賦范向量空間，U 為 E 中的一個開集，I 是 $\mathbb {R} $ 中的一個區間。函數 f 是從 U×I 映射到 E 中的連續函數。柯西 - 利普希茨定理說明了，若函數 f 在 U 中滿足利普希茨條件，也就是說，

　
: : $\exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|$

那麼對於給定的初始條件： $x(t_{0})=x_{0}$ ， $t_{0}\in I$ 、 $x_{0}\in U$ ，微分方程存在一個解 $(J,x(t))$ ，其中 $J\subset I$ 是一個包含 $t_{0}$ 的區間， $x(t)$ 是一個從 $J$ 映射到 $U$ 的連續函數，滿足初始條件和原微分方程。同時，滿足初值條件的最大解唯一存在。

## 參見

## 參考來源

* 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松。常微分方程。高等教育出版社，第三版. 2006. ISBN 9787040193664.
**一階常微分方程**是數學中常見而基礎的一類微分方程，通常寫成如下的形式：

　
: : ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)$

其中的 x 是要解的未知函數，t 是函數的自變量，f 是一個已知的連續函數。

一階常微分方程在物理學、生物學、化學以及各種自然與社會科學都能見到，是常見的數學模型的重要構成部分。 **一階常微分方程**是數學中常見而基礎的一類微分方程，通常寫成如下的形式：

　
: : ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)$

其中的 x 是要解的未知函數，t 是函數的自變量，f 是一個已知的連續函數。

一階常微分方程在物理學、生物學、化學以及各種自然與社會科學都能見到，是常見的數學模型的重要構成部分。 在數學，特別是向量分析與微分拓撲中，一個**閉形式** $\alpha $ 是微分算子 $d$ 的核，即 $d\alpha =0$ 的微分形式；而**恰當形式**(恰當微分形式) $\alpha $ 是微分算子 $d$ 的像，即存在某個微分形式 $\beta $ 使得 $\alpha =d\beta $ ， $\beta $ 稱為關於 $\alpha $ 的一個「本原」。

因為 $d^{2}=0$ ，所以恰當形式一定是閉形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考慮一個閉形式是不是恰當的，可由不同的條件檢測拓撲信息來得知。問一個 0 - 形式是否恰當沒有意義，因為 $d$ 將階數提高 1，不過可以規定恰當 0 - 形式就是零函數。

當兩個閉形式的差是一個恰當形式時，稱它們為相互**上同調的**。這便是說，如果 $\zeta $ 與 $\eta $ 是閉形式，且存在某個 $\beta $ 使得 　
: $\zeta -\eta =d\beta \ ,$

則我們說 $\zeta $ 與 $\eta $ 是互相上同調的。恰當形式經常稱為**上同調於零**。相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素；對這樣的類作一般性研究稱為上同調理論。

 $\mathbb {R} ^{2}$ 與 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的微分形式已經為十九世紀的數學物理所熟知。在平面上，0 - 形式就是函數，2 - 形式是函數乘以基本面積元 $dx\wedge dy$ ，故只有 1 - 形式

　
: $\alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,$

具有真正的意義，其外導數 $d$ 是

　
: $d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,$

這裡下標表示偏導數。從而 _$\alpha $_ 「閉」的條件是

　
: $f_{y}=g_{x}\ .$

當 $h(x,y)$ 是一個函數時則

　
: $dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .$

「恰當形式是閉形式」便是關於 _x_ 與 _y_ 二階導數的對稱性的一個推論，這可以直接推廣到高維情形。

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 上，恰當 1 - 形式相當於有勢場（保守場），閉 1 - 形式相當於無旋場。故「恰當形式是閉形式」用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場。