如果貝塞爾不等式的等號成立，這意味著該正交序列是**完全正交序列**（或稱為正交基底）。在希爾伯特空間中，完全正交序列的性質是非常重要的，因為它們能夠充分表達出這個空間中的任何元素。具體來說，完全正交序列的定義及其重要性如下：

### 完全正交序列的定義

一組正交序列 \((e_1, e_2, \cdots)\) 在希爾伯特空間 \(\mathcal{H}\) 中是完全的，若對於空間中的任意元素 \(x\)，該元素可以被這組序列的無窮和線性組合精確表示，也就是存在一個數列 \(\{c_k\}\) 使得：

\[
x = \sum_{k=1}^{\infty} c_k e_k
\]

並且對於平方和有：

\[
\sum_{k=1}^{\infty} |c_k|^2 < \infty
\]

換句話說，完全正交序列不僅要滿足正交性，還必須能夠生成整個空間中的任意向量。

### 完全正交序列的重要性

1. **基底構建**：完全正交序列提供了一個穩定的基底，使得我們能夠在希爾伯特空間中表達任何元素。這意味著任何向量都可以以這組基底向量的線性組合形式表示，從而便於進行量測、計算及表示。

2. **內積的特性**：因為正交性使得內積運算簡化，這使得利用完全正交序列進行計算時，可以分開討論各個正交向量對總內積的貢獻，從而更有效地分析和操作。

3. **函數空間中的應用**：在許多應用中，如傅里葉分析，正交函數系統（如正弦和餘弦函數）能夠代表任意的周期函數。這不僅在數學上重要，也在物理學和工程學中有著重要的應用。

4. **收斂性**：當正交序列是完全的時，與其相對應的部分和序列在向量空間中收斂，這保證了在進行數學操作（如極限過程）時能夠得到良好的性質。

#### 總結

因此，貝塞爾不等式的等號成立所隱含的完全正交序列的性質，為我們在希爾伯特空間及更廣泛的數學分析中提供了強大的工具，能夠輕鬆闡明結構化及分析問題的能力。
如果貝塞爾不等式的等號成立，這對正交序列的性質有何啟示？能否詳細解釋完全正交序列的定義及其在數學理論中的重要性？
在數學里的泛函分析中，**貝塞爾不等式**（英語：Bassel's inequality）是類似於勾股定理的一種不等式。貝塞爾不等式揭示了希爾伯特空間中的一個元素和它在一個正交序列上的投影之間的關係。舉例來說，平面上的一個向量的長度的平方等於它在兩個相互垂直的坐標軸上的投影的平方和，而對於一個三維空間上的向量，它在兩個相互垂直的坐標軸上的投影的平方和一般會小於它自身的長度的平方，除非它就在這兩個坐標軸構成的平面上。對於一個希爾伯特空間中的向量來說，它在任意一個正交序列上的投影的平方和也是小於等於它自身的長度的平方。這就是貝塞爾不等式。貝塞爾不等式的等號成立若且唯若正交序列是完全序列。這時貝塞爾不等式轉化為**帕塞瓦爾定理**。

## 定理的敘述

設 ${\mathcal {H}}$ 是一個裝備了內積： $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle $ 的希爾伯特空間。考慮一組規範正交向量的序列： $(e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots )$ 。那麼，對於任意一個 ${\mathcal {H}}$ 中的元素，都有：

 $\sum _{k}\left|\left\langle x,e_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq \left\|x\right\|^{2}$
其中的係數 $\left\langle x,e_{k}\right\rangle $ 是 _x_ 在一個正交向量序列中元素 $e_{k}$ 上的投影的長度。

## 例子

### 例一：平面直角坐標系

在平面上，假定已經存在一個由相互垂直的向量構成的直角坐標系。根據勾股定理，一個向量的長度的平方 $r^{2}$ 等於它在 _X_ 軸的投影的長度的平方（ $x^{2}$ ） 加上它在 _Y_ 軸的投影的長度的平方（ $y^{2}$ ），如右圖。

實際上，整個平面上的每一個向量都可以由這兩個相互垂直的單位向量的有限線性組合表示。這樣的一組相互垂直的向量被稱為是這個平面里的一組**完全規範正交向量**：每個向量都可以被這一組向量的有限線性組合作任意程度的逼近（事實上是等於）。

### 例二：三維空間中的平面投影

當向量是在三維歐幾里得空間中時，對於一個平面（比如說 xOy 平面）以及平面上的一個由相互垂直的向量（Ox 方向上的 $e_{x}$ 和 Oy 方向上的 $e_{y}$ ）構成的直角坐標系，向量的長度的平方會比它在 _X_ 軸的投影的長度平方加上它在 _Y_ 軸的投影的長度平方之和還要大。實際上，這個平方和正是向量在 xOy 平面上的投影的長度的平方。而原來的向量的長度的平方是這個投影長度的平方加上它在 _Z_ 軸的投影的長度平方。

這個事實說明，向量 $e_{x}$ 和 $e_{y}$ 不是三維歐幾里得空間裡的一組完全正交向量。

## 證明

證明的思路是利用一般希爾伯特空間中的「勾股定理」：如果兩個向量垂直，那麼它們的和的長度平方等於它們兩個的長度的平方和。首先考慮規範正交向量序列有限時的情形：設序列的長度是 _n_，序列中的元素是：

　
: $(e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})$

設一個向量 _x_ 在這個規範正交序列上的投影為向量： $p(x)=\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}$ ，而 _x_ 與它的投影的差則是向量： $z(x)=x-p(x)=x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}$ 。這兩個向量的內積等於：

　
: $\langle p(x),z(x)\rangle =\langle \sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k},x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\rangle =\sum _{k=1}^{n}(\langle x,e_{k}\rangle \langle e_{k},x\rangle )-\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle {\overline {\langle x,e_{l}\rangle }}\langle e_{k},e_{l}\rangle $

　
: $=\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\langle e_{k},e_{k}\rangle =\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=0$

也就是說，_x_ 在這個規範正交序列上的投影垂直於 _x_ 與它的投影的差。所以根據勾股定理，有：

　
: $\left\|x\right\|^{2}=\left\|p(x)\right\|^{2}+\left\|z(x)\right\|^{2}\geq \left\|p(x)\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\langle e_{k},e_{k}\rangle =\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}$

即使規範正交向量序列是無限的，只要它是可數的，就會有相同的不等式。實際上，只需要考慮這個無窮（可數個）序列中的前面 _n_ 項。根據有限序列時的情形，可以證明一個元素 _x_ 在規範正交向量序列的前 _n_ 項上的投影的長度平方和 $\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}$ 小於等於 _x_ 的長度平方。這個平方和實際上是正項無窮級數 $\sum _{k}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}$ 的前 _n_ 項部分和，所以這個無窮級數收斂，並且其極限 $\sum _{k=1}^{\infty }|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}$ 也小於等於 _x_ 的長度平方。換句話說，向量序列 $p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}$ 在 ${\mathcal {H}}$ 上收斂。

## 參見

* 閔可夫斯基空間
* 柯西不等式
* 三角不等式
* 完備空間

## 參考來源

* B.A. 卓里奇 著，蔣鐸 錢佩玲 周美珂 鄺榮雨 譯. 《数学分析（第二卷）（第 4 版）》. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-04-020257-1.
* P. R. Halmos. Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity. Chelsea Pub Co; 2 edition. August 1998. ISBN 978-0-82-181378-2.
在數學里的泛函分析中，**貝塞爾不等式**（英語：Bassel's inequality）是類似於勾股定理的一種不等式。貝塞爾不等式揭示了希爾伯特空間中的一個元素和它在一個正交序列上的投影之間的關係。舉例來說，平面上的一個向量的長度的平方等於它在兩個相互垂直的坐標軸上的投影的平方和，而對於一個三維空間上的向量，它在兩個相互垂直的坐標軸上的投影的平方和一般會小於它自身的長度的平方，除非它就在這兩個坐標軸構成的平面上。對於一個希爾伯特空間中的向量來說，它在任意一個正交序列上的投影的平方和也是小於等於它自身的長度的平方。這就是貝塞爾不等式。貝塞爾不等式的等號成立若且唯若正交序列是完全序列。這時貝塞爾不等式轉化為**帕塞瓦爾定理**。

## 定理的敘述

設 ${\mathcal {H}}$ 是一個裝備了內積： $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle $ 的希爾伯特空間。考慮一組規範正交向量的序列： $(e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots )$ 。那麼，對於任意一個 ${\mathcal {H}}$ 中的元素，都有：

 $\sum _{k}\left|\left\langle x,e_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq \left\|x\right\|^{2}$
其中的係數 $\left\langle x,e_{k}\right\rangle $ 是 _x_ 在一個正交向量序列中元素 $e_{k}$ 上的投影的長度。 **q - 貝塞爾多項式**，也稱 q - 貝索函數，其通過基本超幾何函數定義：

 

　
: $y_{n}(x;a;q)=\;_{2}\phi _{1}\left({\begin{matrix}q^{-N}&-aq^{n}\\0\end{matrix}};q,qx\right)$

## 正交關係

$$
\sum _{k=0}^{\infty }({\frac {a^{k}}{(q;q)_{n}}}*q^{k+1 \choose 2}*y_{m}*(q^{k};a;q)*y_{n}*(q^{k};a;q)=(q;q)_{n}*(-aq^{n};q)_{\infty }{\frac {a^{n}*q^{n+1 \choose 2}}{1+aq^{2n}}}\delta _{mn}
$$

## 圖集 ## 概述

正交矩陣是實數特殊化的么正矩陣，因此總是正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，對於複數的矩陣這導致了歸一要求。

要看出與內積的聯繫，考慮在 _n_ 維實數內積空間中的關於正交基寫出的向量 **v**。**v** 的長度的平方是 **v**T**v**。如果矩陣形式為 _Q_**v** 的線性轉換保持了向量長度，則

　
: ${\mathbf {v} }^{T}{\mathbf {v} }=(Q{\mathbf {v} })^{T}(Q{\mathbf {v} })={\mathbf {v} }^{T}Q^{T}Q{\mathbf {v} }$ 。

所以有限維線性等距同構，比如旋轉、反射和它們的組合，都產生正交矩陣。反過來也成立：正交矩陣蘊涵了正交轉換。但是，線性代數包括了在既不是有限維的也不是同樣維度的空間之間的正交轉換，它們沒有等價的正交矩陣。

有多種原由使正交矩陣對理論和實踐是重要的。_n_×_n_ 正交矩陣形成了一個群，即指示為 _O_（_n_）的正交群，它和它的子群廣泛的用在數學和物理科學中。例如，分子的點群是 _O_（3）的子群。因為浮點版本的正交矩陣有有利的性質，它們是字數值線性代數中很多算法比如 QR 分解的關鍵，通過適當的規範化，離散餘弦轉換（用於 MP3 壓縮）可用正交矩陣表示。 **正交**（英語：Orthogonality）是線性代數的概念，是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞，只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量的內積為 0，則稱它們是**正交**的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運動的獨立性，也可以用正交來解釋。

## 各種正交概念

### 正交子空間

若某空間（此空間為內積空間）中兩向量的內積為 0，則它們**正交**。類似地，若某空間（內積空間）中的向量 _v_ 與子空間 _A_ 中的每個向量都正交，那麼這個向量和子空間 _A_ 正交。若內積空間的子空間 _A_ 和 _B_ 滿足一者中的每個向量都與另一者正交，那麼它們互為正交子空間。

### 正交變換

正交變換 $T:V\rightarrow V$ 是保持內積的線性變換。即是說，對兩個向量，它們的內積等於它們在函數 T 下的內積：

　
: $\langle Tx,Ty\rangle =\langle x,y\rangle .$

這也就是說，正交變換保持向量的長度不變，也保持兩個向量之間的角度不變。

### 正交圓

對兩個相交的圓，如果其中一個交點到兩圓圓心的連線互相垂直，則稱兩圓分別**正交**，為彼此的**正交圓**。以任一圓圓心為反演中心，其半徑為反演半徑，另一圓反演變換後的圖像不變。