基靈型的矩陣元素 \( B^{ij} \) 可以通過結構常數來表達如下：

\[
B^{ij} = \frac{1}{I_{\textrm{ad}}} {c^{im}}_{n}{c^{jn}}_{m}
\]

其中 \( I_{\textrm{ad}} \) 是李代數 \( g \) 的伴隨表示的鄧肯指標（Dynkin index），而 \( c^{ij}_{k} \) 是李代數的結構常數。結構常數反映了李代數中元素之間的李括號關係。

在這個公式中，上下指標的區分有重要意義：

1. **上標指標**（例如 \( i \) 和 \( j \)）通常代表**反變指標**，表示基於相應的基底，這些指標可以在張量變換中受到影響。在李代數的上下指標表示中，上標是自由的，可以在變換時隨著變換（上升或下降）而變動。

2. **下標指標**（例如 \( m \) 和 \( n \)）代表**共變指標**，這些指標在變換時是固定的，通常被視為相應的線性空間的元素。共變指標的量通常與某種幾何結構有關，如流形上的度量。

這樣的指標區分在許多數學和物理的應用中都非常重要，特別是在處理張量時，因為它涉及到準確的變換法則和幾何意義。在基靈型的上下文中，基靈型作為一個對稱雙線性形式，可以用來定義李代數的度量結構，進而幫助我們分析李代數的性質。
基靈型的矩陣元素是如何通過結構常數來表達的，其在李代數的上下指標意義是什麼？
在數學中，**基靈型**（Killing form），是在李群與李代數理論中起著基本作用的一個對稱雙線性形式。它以數學家威廉・基靈命名，但事實上基靈型是埃利・嘉當發現的，而嘉當矩陣則屬於威廉・基靈。

## 定義

考慮域 _K_ 上一個李代數 _g_，_g_ 中任何元素定義了 _g_ 的一個伴隨同態 _ad_(_x_)（也記作 _ad_x），用李括號表示為：

　
: _ad_(_x_)(_y_) = [_x_, _y_]

現在假設 _g_ 是有限維，兩個這樣的同態的複合的跡定義了一個對稱雙線性形式

　
: B(_x_, _y_) = trace(ad(_x_)ad(_y_)),

取值於 _K_，這就是 _g_ 上的**基靈型**。

## 性質

* 基靈型 _B_ 是雙線性的且對稱。
* 基靈型是不變形式，即滿足結合律：

　
: : B([_x_,_y_],_z_)=B(_x_,[_y_,_z_])，

　
: 這裡 [,] 是李括號。

* 如果 _g_ 是一個單李代數則 _g_ 上任何不變形式是基靈型的數量倍。
* 基靈型在李代數 _g_ 的自同構 _s_ 下不變，即：

　
: : B(_s_(_x_),_s_(_y_)) = B(_x_,_y_)

　
: 對 _s_ 屬於 Aut (g)。

* 嘉當判別法（Cartan criterion）斷言一個李代數半單若且唯若基靈型非退化。
* 一個冪零李代數的基靈型恆等於零。
* 如果 _I_ 和 _J_ 是李代數 _g_ 中交為零的兩個理想，則 _I_ 和 _J_ 是關於基靈型正交的兩個子空間。
* 如果一個給定的李代數 _g_ 是它的一些理想 _I_1,...,_I_n 的直和，則 _g_ 的基靈型是每個分量的基靈型的直和。

## 矩陣元素

給定李代數 _g_ 的一組基 _e_i，基靈型的矩陣元素由

　
: $B^{ij}=tr({\textrm {ad}}(e^{i})\circ {\textrm {ad}}(e^{j}))/I_{ad}$

給出，其中 ${I}_{ad}$ 是 _g_ 的伴隨表示的鄧肯指標（Dynkin index）。

這裡

　
: $\left({\textrm {ad}}(e^{i})\circ {\textrm {ad}}(e^{j})\right)(e^{k})=[e^{i},[e^{j},e^{k}]]={c^{im}}_{n}{c^{jk}}_{m}e^{n}$

從而我們也可寫成

　
: $B^{ij}={\frac {1}{I_{\textrm {ad}}}}{c^{im}}_{n}{c^{jn}}_{m}$

其中 ${c^{ij}}_{k}$ 是李代數的結構常數。基靈型是能從結構常數構造出來的最簡單 2 - 張量。

在上面的指標定義中，我們小心的區分了上下指標（共變與反變指標）。這是因為，在許多情形，基靈型可以作為流形上的一個度量張量，在此情形這種區分是對張量的變換性質是很重要的。當李代數是半單的，它的基靈型非退化，從而可以作為一個度量張量來上升或下降指標。此時總可以取 _g_ 的一組基使得結構常數的所有上指標完全反對稱。

## 與實形式的聯繫

假設 _g_ 是實數域上一個半單李代數。由嘉當判別法，基靈型非退化，在適當的一組基下可以對角化，對角元素為 +1 或 -1。根據西爾維斯特慣性定理，正元素的數目是這個雙線性形式的不變量，即與對角化基的選取無關，稱為李代數的**指數**。它在 0 與李代數 _g_ 的維數之間，是實李代數的一個重要的不變量。特別地，如果實李代數 _g_ 的基靈型負定，則稱之為**緊**李代數。我們知道在李對應下，緊李代數對應於緊李群。

如果 _g_**C** 是複數域上一個半單李代數，則有多個不同構的實李代數的復化是 _g_**C**，它們稱為 _g_**C** 的**實形式**（real forms）。每一個復半單李代數有惟一（在同構意義下）一個緊實形式 _g_。一個給定的復半單李代數的實形式通常由它們基靈型的正慣性指標區分。

例如復特殊線性代數 sl (2,**C**) 有兩個實形式，實特殊線性代數，記作 sl (2,**R**)，與特殊酉代數，記作 su (2)。第一個非緊，所謂的**裂實形式**（split real form），其基靈型有符號 (2,1)；第二個是緊實形式，其基靈型負定，即符號為 (0,3)。對應的李群是非緊群 2×2 行列式為 1 的實矩陣 SL (2,**R**) 與特殊酉群 SU (2)，這是一個緊群。

## 參見條目

* 卡西米爾不變量

## 參考文獻

* Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8
* Jurgen Fuchs, _Affine Lie Algebras and Quantum Groups_, (1992) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
* Daniel Bump, _Lie Groups_ (2004), Graduate Texts In Mathematics, **225**, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-21154-1
在數學中，**基靈型**（Killing form），是在李群與李代數理論中起著基本作用的一個對稱雙線性形式。它以數學家威廉・基靈命名，但事實上基靈型是埃利・嘉當發現的，而嘉當矩陣則屬於威廉・基靈。

## 定義

考慮域 _K_ 上一個李代數 _g_，_g_ 中任何元素定義了 _g_ 的一個伴隨同態 _ad_(_x_)（也記作 _ad_x），用李括號表示為：

　
: _ad_(_x_)(_y_) = [_x_, _y_]

現在假設 _g_ 是有限維，兩個這樣的同態的複合的跡定義了一個對稱雙線性形式

　
: B(_x_, _y_) = trace(ad(_x_)ad(_y_)),

取值於 _K_，這就是 _g_ 上的**基靈型**。 ## 性質

* 基靈型 _B_ 是雙線性的且對稱。
* 基靈型是不變形式，即滿足結合律：

　
: : B([_x_,_y_],_z_)=B(_x_,[_y_,_z_])，

　
: 這裡 [,] 是李括號。

* 如果 _g_ 是一個單李代數則 _g_ 上任何不變形式是基靈型的數量倍。
* 基靈型在李代數 _g_ 的自同構 _s_ 下不變，即：

　
: : B(_s_(_x_),_s_(_y_)) = B(_x_,_y_)

　
: 對 _s_ 屬於 Aut (g)。

* 嘉當判別法（Cartan criterion）斷言一個李代數半單若且唯若基靈型非退化。
* 一個冪零李代數的基靈型恆等於零。
* 如果 _I_ 和 _J_ 是李代數 _g_ 中交為零的兩個理想，則 _I_ 和 _J_ 是關於基靈型正交的兩個子空間。
* 如果一個給定的李代數 _g_ 是它的一些理想 _I_1,...,_I_n 的直和，則 _g_ 的基靈型是每個分量的基靈型的直和。 在數學中，**基靈型**（Killing form），是在李群與李代數理論中起著基本作用的一個對稱雙線性形式。它以數學家威廉・基靈命名，但事實上基靈型是埃利・嘉當發現的，而嘉當矩陣則屬於威廉・基靈。

## 定義

考慮域 _K_ 上一個李代數 _g_，_g_ 中任何元素定義了 _g_ 的一個伴隨同態 _ad_(_x_)（也記作 _ad_x），用李括號表示為：

　
: _ad_(_x_)(_y_) = [_x_, _y_]

現在假設 _g_ 是有限維，兩個這樣的同態的複合的跡定義了一個對稱雙線性形式

　
: B(_x_, _y_) = trace(ad(_x_)ad(_y_)),

取值於 _K_，這就是 _g_ 上的**基靈型**。 ## 性質

* 基靈型 _B_ 是雙線性的且對稱。
* 基靈型是不變形式，即滿足結合律：

　
: : B([_x_,_y_],_z_)=B(_x_,[_y_,_z_])，

　
: 這裡 [,] 是李括號。

* 如果 _g_ 是一個單李代數則 _g_ 上任何不變形式是基靈型的數量倍。
* 基靈型在李代數 _g_ 的自同構 _s_ 下不變，即：

　
: : B(_s_(_x_),_s_(_y_)) = B(_x_,_y_)

　
: 對 _s_ 屬於 Aut (g)。

* 嘉當判別法（Cartan criterion）斷言一個李代數半單若且唯若基靈型非退化。
* 一個冪零李代數的基靈型恆等於零。
* 如果 _I_ 和 _J_ 是李代數 _g_ 中交為零的兩個理想，則 _I_ 和 _J_ 是關於基靈型正交的兩個子空間。
* 如果一個給定的李代數 _g_ 是它的一些理想 _I_1,...,_I_n 的直和，則 _g_ 的基靈型是每個分量的基靈型的直和。