並不是所有的對角占優矩陣都會保證相應的線性方程組在使用雅可比法和高斯-賽德爾迭代時收斂。收斂的條件更為嚴格，通常需要矩陣滿足**強對角占優**或**不可約對角占優**的條件。

具體來說，對角占優矩陣的定義僅要求對角線上的元素大小大於或等於同一行其他元素的絕對值和（弱對角占優）。然而，只有當矩陣是強對角占優（即對角元素的絕對值大於行中其他元素的絕對值和）或不可約對角占優時，雅可比法和高斯-賽德爾迭代才會收斂。

因此，總結而言，以下是收斂的相關條件：

1. 矩陣必須是強對角占優矩陣，或
2. 矩陣必須是不可約對角占優矩陣。

這些條件確保迭代方法的收斂性，因此在處理線性方程組時，應特別注意矩陣的類型。
是否所有的對角占優矩陣都會導致相應的線性方程組運用雅可比法和高斯-賽德爾迭代時收斂？如果不然，相關的條件是什麼？
**對角占優矩陣**是指一矩陣的每一橫列，對角線上元素的大小大於或等於同一橫列其他元素大小的和，一矩陣 _A_ 為對角占優矩陣若

　
: $|a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i,\,$

其中 _a_ij 為第 _i_ 列第 _j_ 行的元素。

上述的定義中用到大於等於，其條件較鬆，因此有時會稱為**弱對角占優矩陣**，若上述的定義用大於代替大於等於，則稱為**強對角占優矩陣**。對角優勢矩陣可以指弱對角占優矩陣，也可以指強對角占優矩陣，視上下文而定。

## 變體

第一段的定義是考慮同一橫列其他元素大小的和，有時也稱為**列對角優勢矩陣**，若是考慮同一直行其他元素大小的和，則稱為**行對角優勢矩陣**。

若一不可約矩陣是弱對角優勢矩陣，但至少一橫列（或一直行）符合強對角優勢的條件，則此矩陣稱為**不可約對角優勢矩陣**。

## 例子

矩陣

　
: $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}$

可得

　
: $|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|$ 因為 $|3|\geq |-2|+|1|$

　
: $|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|$ 因為 $|-3|\geq |1|+|2|$

　
: $|a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|$ 因為 $|4|\geq |-1|+|2|$ .

因為任一對角線元素大小都大於等於同一列其他元素的和，因此 A 為對角優勢矩陣。

矩陣

　
: $\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}$

但是

　
: $|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|$ 因為 $|-2|<|2|+|1|$

　
: $|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|$ 因為 $|3|\geq |1|+|2|$

　
: $|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|$ 因為 $|0|<|1|+|-2|$ .

因為 $|b_{11}|$ 和 $|b_{33}|$ 都小於同一行其他元素大小的和，因此 B 不是對角優勢矩陣。

矩陣

　
: $\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}$

可得

　
: $|c_{11}|\geq |c_{12}|+|c_{13}|$ 因為 $|-4|>|2|+|1|$

　
: $|c_{22}|\geq |c_{21}|+|c_{23}|$ 因為 $|6|>|1|+|2|$

　
: $|c_{33}|\geq |c_{31}|+|c_{32}|$ 因為 $|5|>|1|+|-2|$ .

因為任一對角線元素大小都大於同一列其他元素的和，因此 C 為強對角優勢矩陣。

## 應用及性質

強對角優勢矩陣（或不可約對角優勢矩陣）是非奇異方陣，此結果即為 Levy–Desplanques 定理，針對強對角優勢矩陣的結果，可以用 Gershgorin 圓定理證明。

若埃爾米特對角優勢矩陣 $A$ ，其對角線為非負值，即為正定矩陣。

若不考慮對稱性的條件，上述的矩陣不一定會是半正定矩陣。（例如， ${\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}&2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}\\2\\1\end{bmatrix}}=10-5{\sqrt {5}}<0$ ），但其特徵值的實部為非負數（參見對角優勢矩陣的結果，可以用 Gershgorin 圓定理。）

類似的，若埃爾米特強對角優勢矩陣的對角線元素為正，此矩陣為正定矩陣，此矩陣等於某個對角線元素為非負值實數的埃爾米特強對角優勢矩陣 $A$ 加上 $xI$ ，其中 $x$ 為正的實數（也是正定矩陣）。

若高斯消去法（LU 分解）的矩陣為強對角優勢矩陣，不需要進列尋找軸元的過程。

若一線性聯立方程式的矩陣為強對角優勢矩陣或不可約對角優勢矩陣，利用雅可比法及高斯 - 賽德爾迭代的計算結果會收斂。

許多從有限元素法中產生的矩陣都是對角優勢矩陣。

## 參考資料

* Gene H. Golub & Charles F. Van Loan. _Matrix Computations_, 1996. ISBN 0-8018-5414-8
* Roger A. Horn & Charles R. Johnson. _Matrix Analysis_, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

## 外部連結

* PlanetMath: Diagonal dominance definition （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* PlanetMath: Properties of diagonally dominant matrices （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
在數值線性代數中，**雅可比法**（Jacobi Method）是一種解對角元素幾乎都是各行和各列的絕對值最大的值的線性方程組的算法。求解出每個對角元素並插入近似值。不斷疊代直至收斂。這個算法是雅可比矩陣的精簡版。方法的名字來源於德國數學家卡爾・雅可比。 **對角占優矩陣**是指一矩陣的每一橫列，對角線上元素的大小大於或等於同一橫列其他元素大小的和，一矩陣 _A_ 為對角占優矩陣若

　
: $|a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i,\,$

其中 _a_ij 為第 _i_ 列第 _j_ 行的元素。

上述的定義中用到大於等於，其條件較鬆，因此有時會稱為**弱對角占優矩陣**，若上述的定義用大於代替大於等於，則稱為**強對角占優矩陣**。對角優勢矩陣可以指弱對角占優矩陣，也可以指強對角占優矩陣，視上下文而定。

## 變體

第一段的定義是考慮同一橫列其他元素大小的和，有時也稱為**列對角優勢矩陣**，若是考慮同一直行其他元素大小的和，則稱為**行對角優勢矩陣**。

若一不可約矩陣是弱對角優勢矩陣，但至少一橫列（或一直行）符合強對角優勢的條件，則此矩陣稱為**不可約對角優勢矩陣**。 ## 算法

對於一個含有 n 個未知量及 n 個等式的如下線性方程組

$$
{\begin{aligned}a_{11}\cdot x_{1}+a_{12}\cdot x_{2}+\ldots +a_{1n}\cdot x_{n}&=b_{1},\\a_{21}\cdot x_{1}+a_{22}\cdot x_{2}+\ldots +a_{2n}\cdot x_{n}&=b_{2},\\\vdots \qquad \qquad \qquad &=\vdots \\a_{n1}\cdot x_{1}+a_{n2}\cdot x_{2}+\ldots +a_{nn}\cdot x_{n}&=b_{n}.\end{aligned}}
$$

為了求這個方程組的解 ${\vec {x}}$ ，我們使用疊代法。k 用來計量疊代步數。給定該方程組解的一個近似值 ${\vec {x}}^{\,k}\in \mathbb {R} ^{n}$ 。在求 k+1 步近似值時，我們利用第 m 個方程式求解第 m 個未知量。在求解過程中，所有已解出的 k+1 步元素都被直接使用。這一點與雅可比法不同。對於每個元素可以使用如下公式

$$
x_{m}^{k+1}={\frac {1}{a_{mm}}}\left(b_{m}-\sum _{j=1}^{m-1}a_{mj}\cdot x_{j}^{k+1}-\sum _{j=m+1}^{n}a_{mj}\cdot x_{j}^{k}\right),\quad 1\leq m\leq n.
$$ **對角占優矩陣**是指一矩陣的每一橫列，對角線上元素的大小大於或等於同一橫列其他元素大小的和，一矩陣 _A_ 為對角占優矩陣若

　
: $|a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i,\,$

其中 _a_ij 為第 _i_ 列第 _j_ 行的元素。

上述的定義中用到大於等於，其條件較鬆，因此有時會稱為**弱對角占優矩陣**，若上述的定義用大於代替大於等於，則稱為**強對角占優矩陣**。對角優勢矩陣可以指弱對角占優矩陣，也可以指強對角占優矩陣，視上下文而定。

## 變體

第一段的定義是考慮同一橫列其他元素大小的和，有時也稱為**列對角優勢矩陣**，若是考慮同一直行其他元素大小的和，則稱為**行對角優勢矩陣**。

若一不可約矩陣是弱對角優勢矩陣，但至少一橫列（或一直行）符合強對角優勢的條件，則此矩陣稱為**不可約對角優勢矩陣**。