在數學中的微分幾何和微分拓撲中，除了龐加萊引理之外，還有其他一些重要條件和定理可以用來檢測閉形式是否恰當。以下是幾個相關的條件和情況：

1. **局部恰當性**：如果閉形式在某個開集合內是恰當的，那麼它也可以在整個空間中推廣為恰當的。例如，假設閉形式在某個開子集內可以表示為全導數，即存在某個函數使得閉形式可以表示為其外導數，這提供了恰當性的一個局部條件。

2. **德拉姆定理**：德拉姆定理告訴我們，若一個流形是緊緻且無邊界的，則它的德拉姆上同調與其整體拓撲性質有關。對於某些流形，如緊緻的無邊界流形，如果閉形式的上同調類為零，則閉形式恰當。

3. **屬於某些特定類型的流形**：例如，在連通的可微流形中，如果閉形式的積分在所有循環上都是零，則該閉形式是恰當的。這是因為在這些流形上，恰當形式的積分會與該閉形式的上同調類型有關。

4. **Cohomology Ring**：關於同調的理論，如果你考慮流形的同調環結構，特定的閉形式如果在同調環中滿足某些條件（如滿足恰當同調類），則可以證明其為恰當形式。

5. **Poincaré 引理的應用**：在局部可縮的情況下，Poincaré 引理指出，所有閉形式都是恰當的，因為閉形式在這些地方可以被視為某種「全導數」的形式。

6. **流形的特定性質**：例如，在某些有社會結構的情況下，如緊緻流形的情況，可以透過流形的維度和拓撲結構直接證明閉形式的恰當性。

7. **特殊例子**：在 $S^1$ 上，閉形式 $dt$ 並不是恰當的。這種特例的存在藉由其整個性質可被解釋，因此在考慮某些閉形式的情況時，也需關注它們的整體性和環繞性。

這些條件和定理使得我們在不同情況下能更靈活地判斷閉形式是否恰當，有助於我們深入了解微分形式在拓撲空間中的性質。
對於閉形式 $lpha$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中是否恰當，除了龐加萊引理外，還有其他哪些條件或定理可以用來檢測？是否存在在某些特定情況下能夠直接證明閉形式是恰當的情形？
在數學，特別是向量分析與微分拓撲中，一個**閉形式** $\alpha $ 是微分算子 $d$ 的核，即 $d\alpha =0$ 的微分形式；而**恰當形式**(恰當微分形式) $\alpha $ 是微分算子 $d$ 的像，即存在某個微分形式 $\beta $ 使得 $\alpha =d\beta $ ， $\beta $ 稱為關於 $\alpha $ 的一個「本原」。

因為 $d^{2}=0$ ，所以恰當形式一定是閉形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考慮一個閉形式是不是恰當的，可由不同的條件檢測拓撲信息來得知。問一個 0 - 形式是否恰當沒有意義，因為 $d$ 將階數提高 1，不過可以規定恰當 0 - 形式就是零函數。

當兩個閉形式的差是一個恰當形式時，稱它們為相互**上同調的**。這便是說，如果 $\zeta $ 與 $\eta $ 是閉形式，且存在某個 $\beta $ 使得

　
: $\zeta -\eta =d\beta \ ,$

則我們說 $\zeta $ 與 $\eta $ 是互相上同調的。恰當形式經常稱為**上同調於零**。相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素；對這樣的類作一般性研究稱為上同調理論。

 $\mathbb {R} ^{2}$ 與 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的微分形式已經為十九世紀的數學物理所熟知。在平面上，0 - 形式就是函數，2 - 形式是函數乘以基本面積元 $dx\wedge dy$ ，故只有 1 - 形式

　
: $\alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,$

具有真正的意義，其外導數 $d$ 是

　
: $d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,$

這裡下標表示偏導數。從而 _$\alpha $_ 「閉」的條件是

　
: $f_{y}=g_{x}\ .$

當 $h(x,y)$ 是一個函數時則

　
: $dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .$

「恰當形式是閉形式」便是關於 _x_ 與 _y_ 二階導數的對稱性的一個推論，這可以直接推廣到高維情形。

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 上，恰當 1 - 形式相當於有勢場（保守場），閉 1 - 形式相當於無旋場。故「恰當形式是閉形式」用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場。

## 龐加萊引理

**龐加萊引理**斷言：如果 $X$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中可縮開子集，對任何整數 $p>0$ ，任何定義在 $X$ 上的光滑閉 $p$ - 形式 $\alpha $ 是恰當的（這只在 $p\leq n$ 有內容）。

可縮意味著存在同倫映射 $F_{t}:X\times [0,1]\rightarrow X$ 將 $X$ 形變為一點。從而任何 $X$ 中的閉鏈 $c$ 都是某個「錐」的邊緣；我們可以取錐為 $X$ 在同倫下的像。這個性質的對偶版本給出了龐加萊引理。

更確切地，我們將 $X$ 與柱 $X\times [0,1]$ 聯繫起來，分別通過映射 $j_{1}(x)=(x,1)$ 與 $j_{0}(x)=(x,0)$ 與頂端和底面等價。在微分形式上，誘導拉回映射 $j_{1}^{*}$ 與 $j_{0}^{*}$ 由上鏈同倫聯繫：

　
: $Kd+dK=j_{1}^{*}-j_{0}^{*}\ .$

令 $\Omega ^{p}(x)$ 表示 $X$ 上的 $p$ - 形式，映射 $K:\Omega ^{p+1}\left(X\times [0,1]\right)\rightarrow \Omega ^{p}(X)$ 是柱映射的對偶，定義為：

　
: $a(x,t)dx^{p+1}\mapsto 0,\;a(x,t)dtdx^{p}\mapsto (\int _{0}^{1}a(x,t)dt)dx^{p},$

這裡 $dx^{p}$ 是一個不含 $dt$ 的單項 $p$ - 形式。所以如果 $F$ 是 $X$ 到一點 $Q$ 的同倫形變，那麼

　
: $F\circ j_{1}=id,\;F\circ j_{0}=Q\ .$

在形式上：

　
: $j_{1}^{*}\circ F^{*}=id,\;j_{0}^{*}\circ F^{*}=0\ .$

將這兩個等式代入上鏈同倫等式便證明了龐加萊引理。

這個引理的一個推論是德拉姆上同調是同倫不變量。龐加萊引理的本質是局部的，大範圍的結果就是德拉姆定理。

不可縮空間不一定有平凡的德拉姆上同調。例如，在 $t\in [0,1]$ 參數化圓周 $S^{1}$ 上，閉 1 - 形式 $dt$ 不是恰當的（**注意**： $t$ 不能定義為整個 $S^{1}$ 上的函數，但 $dt$ 是一個良定的閉形式）。這是因為恰當形式在圓周上積分為 0，但 $dt$ 在圓周上積分是 $2\pi $ 。

## 參考文獻

* Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7
* 陳維桓，微分流形初步 2, 高等教育出版社，2001 年， ISBN 7-04-009921-7
　
: $\zeta -\eta =d\beta \ ,$

則我們說 $\zeta $ 與 $\eta $ 是互相上同調的。恰當形式經常稱為**上同調於零**。相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素；對這樣的類作一般性研究稱為上同調理論。

 $\mathbb {R} ^{2}$ 與 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的微分形式已經為十九世紀的數學物理所熟知。在平面上，0 - 形式就是函數，2 - 形式是函數乘以基本面積元 $dx\wedge dy$ ，故只有 1 - 形式

　
: $\alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,$

具有真正的意義，其外導數 $d$ 是

　
: $d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,$

這裡下標表示偏導數。從而 _$\alpha $_ 「閉」的條件是

　
: $f_{y}=g_{x}\ .$

當 $h(x,y)$ 是一個函數時則

　
: $dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .$

「恰當形式是閉形式」便是關於 _x_ 與 _y_ 二階導數的對稱性的一個推論，這可以直接推廣到高維情形。

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 上，恰當 1 - 形式相當於有勢場（保守場），閉 1 - 形式相當於無旋場。故「恰當形式是閉形式」用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場。 在數學，特別是向量分析與微分拓撲中，一個**閉形式** $\alpha $ 是微分算子 $d$ 的核，即 $d\alpha =0$ 的微分形式；而**恰當形式**(恰當微分形式) $\alpha $ 是微分算子 $d$ 的像，即存在某個微分形式 $\beta $ 使得 $\alpha =d\beta $ ， $\beta $ 稱為關於 $\alpha $ 的一個「本原」。

因為 $d^{2}=0$ ，所以恰當形式一定是閉形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考慮一個閉形式是不是恰當的，可由不同的條件檢測拓撲信息來得知。問一個 0 - 形式是否恰當沒有意義，因為 $d$ 將階數提高 1，不過可以規定恰當 0 - 形式就是零函數。

當兩個閉形式的差是一個恰當形式時，稱它們為相互**上同調的**。這便是說，如果 $\zeta $ 與 $\eta $ 是閉形式，且存在某個 $\beta $ 使得 在數學，特別是向量分析與微分拓撲中，一個**閉形式** $\alpha $ 是微分算子 $d$ 的核，即 $d\alpha =0$ 的微分形式；而**恰當形式**(恰當微分形式) $\alpha $ 是微分算子 $d$ 的像，即存在某個微分形式 $\beta $ 使得 $\alpha =d\beta $ ， $\beta $ 稱為關於 $\alpha $ 的一個「本原」。

因為 $d^{2}=0$ ，所以恰當形式一定是閉形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考慮一個閉形式是不是恰當的，可由不同的條件檢測拓撲信息來得知。問一個 0 - 形式是否恰當沒有意義，因為 $d$ 將階數提高 1，不過可以規定恰當 0 - 形式就是零函數。

當兩個閉形式的差是一個恰當形式時，稱它們為相互**上同調的**。這便是說，如果 $\zeta $ 與 $\eta $ 是閉形式，且存在某個 $\beta $ 使得 　
: $\zeta -\eta =d\beta \ ,$

則我們說 $\zeta $ 與 $\eta $ 是互相上同調的。恰當形式經常稱為**上同調於零**。相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素；對這樣的類作一般性研究稱為上同調理論。

 $\mathbb {R} ^{2}$ 與 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的微分形式已經為十九世紀的數學物理所熟知。在平面上，0 - 形式就是函數，2 - 形式是函數乘以基本面積元 $dx\wedge dy$ ，故只有 1 - 形式

　
: $\alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,$

具有真正的意義，其外導數 $d$ 是

　
: $d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,$

這裡下標表示偏導數。從而 _$\alpha $_ 「閉」的條件是

　
: $f_{y}=g_{x}\ .$

當 $h(x,y)$ 是一個函數時則

　
: $dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .$

「恰當形式是閉形式」便是關於 _x_ 與 _y_ 二階導數的對稱性的一個推論，這可以直接推廣到高維情形。

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 上，恰當 1 - 形式相當於有勢場（保守場），閉 1 - 形式相當於無旋場。故「恰當形式是閉形式」用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場。