斯特凡在1879年提出的斯特凡 - 波茲曼定律，確實是用來估算太陽表面溫度的一個重要工具。當時他考慮了大氣層對太陽輻射的吸收，這種吸收對估算有幾個具體影響：

1. **輻射損失**：大氣層中的氣體和水蒸氣會吸收部分來自太陽的電磁輻射，這會減少到達地表的輻射能量。斯特凡假設約有1/3的太陽輻射能量在大氣中被吸收，使得到達地面的能量實際上低於太陽表面輻射的實際值。

2. **雲層的影響**：雲層可以進一步影響到達地面的輻射量，厚雲或雨雲會使得陽光的直射強度顯著減少，不同類型和密度的雲也會影響吸收和散射的程度。

3. **氣溫的變化**：大氣中的各種成分（如塵埃、氣體等）隨時間和地區變化，這也會影響輻射的吸收情況。

在現代科學技術中，我們可以使用以下方法來改進這一估算，以獲得更準確的結果：

1. **衛星觀測**：利用衛星對大氣層及其成分的詳細觀測，獲得大氣對不同波長輻射的吸收和散射數據，並進行實時監測和數據分析。

2. **數值模擬**：利用氣候模型和計算流體力學進行大氣辐射傳遞的數值模擬，以更準確地預測和計算太陽輻射通量及其在大氣中的變化。

3. **光學和物理實驗**：通過實驗室測試和實地觀測來精確測定各種氣體的光學特性，這有助於改進對大氣吸收的模型。

4. **長期數據集的分析**：使用歷史氣象數據和太陽輻射數據進行回歸分析，結合機器學習等技術，能夠從大量數據中提取出更準確的輻射強度估算。

通過上述方法，研究者們能夠更好地理解大氣的輻射特性，並提供更準確的太陽表面溫度估算。
斯特凡在1879年提出本定律並利用其估算太陽的表面溫度時，考慮了大氣層吸收的因素。這種吸收的影響具體有哪些？在現代科學技術中，我們如何改進這一估算以獲得更準確的結果？
**斯特凡 - 波茲曼定律**（**Stefan-Boltzmann law**），又稱**斯特凡定律**，是熱力學中的一個著名定律，其內容為：
一個黑體表面單位面積在單位時間內輻射出的總能量（稱為物體的輻射度或能量通量密度）_j_\* 與黑體本身的熱力學溫度 _T_（又稱絕對溫度）的四次方成正比，即：

　
: $j^{\star }=\epsilon \sigma T^{4}$

其中輻射度 _j_\* 具有功率密度的因次（能量 /（時間・距離 2）），國際單位制標準單位為焦耳 /（秒・平方米），即瓦特 / 平方米。絕對溫度 _T_ 的標準單位是克耳文， _$\epsilon $_ 為黑體的輻射係數；若為絕對黑體，則 $\epsilon =1$ .

比例係數 σ 稱為斯特凡 - 波茲曼常數或**斯特凡常量**。它可由自然界其他已知的基本物理常數算得，因此它不是一個基本物理常數。該常數的值為：

　
: $\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670400(40)\times 10^{-8}{\textrm {J}}{\textrm {s}}^{-1}{\textrm {m}}^{-2}{\textrm {K}}^{-4}.$

所以溫度為 100 K 的絕對黑體表面輻射的能量通量密度為 5.67 W/m2，1000 K 的黑體為 56.7 kW/m2，等等。

斯特凡 - 波茲曼定律是一個典型的冪次定律。

本定律由斯洛維尼亞物理學家約瑟夫・斯特凡（Jožef Stefan）和奧地利物理學家路德維希・波茲曼分別於 1879 年和 1884 年各自獨立提出。提出過程中斯特凡通過的是對實驗數據的歸納總結，波茲曼則是從熱力學理論出發，通過假設用光（電磁波輻射）代替氣體作為熱機的工作介質，最終推導出與斯特凡的歸納結果相同的結論。本定律最早由斯特凡於 1879 年 3 月 20 日以 _Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur_（《論熱輻射與溫度的關係》）為論文題目發表在維也納科學院的大會報告上，這是唯一一個以斯洛維尼亞人的名字命名的物理學定律。

本定律只適用於黑體這類理想輻射源。

## 斯特凡 - 波茲曼定律的推導

斯特凡 - 波茲曼定律能夠方便地通過對黑體表面各點的輻射譜強度應用普朗克黑體輻射定律，再將結果在輻射進入的半球形空間表面以及所有可能輻射頻率進行積分得到。

　
: $j^{\star }=\int _{0}^{\infty }\!d\nu \int _{\Omega _{0}}d\Omega ~I(\nu ,T)\cos(\theta )$

式中 Ω0 黑體表面一點的輻射進入的半球形空間表面（以輻射點為球心）， $I(\nu ,T)$ 為在溫度 _T_ 時黑體表面的單位面積在單位時間、單位立體角上輻射出的頻率為 $\nu $ 的電磁波能量。式中包括了一個餘弦因子，因為黑體輻射幾何上嚴格符合朗伯餘弦定律（Lambert's cosine law）。將幾何微元關係 dΩ=sin (θ) dθdφ 代入上式並積分得：

　
: $j^{\star }=\int _{0}^{\infty }\!d\nu \int _{0}^{2\pi }\!d\phi \int _{0}^{\pi /2}\!d\theta ~I(\nu ,T)\cos(\theta )\sin(\theta )={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}\,T^{4}$

（對頻率的玻色積分項的計算方法參見條目多重對數函數）

## 日面溫度

提出本定律後斯特凡利用它估算了太陽的表面溫度。當時法國人查理・索里特（Charles Soret，1854 年–1904 年）用實驗測得地球上接收到的太陽發出的能量通量密度約為一塊加熱金屬板表面輻射的能量通量密度的 29 倍。將適當大小的圓形金屬版放置在測量儀器前方適當的距離，則可以認為測量儀器接收到的金屬板發出輻射的角度與太陽光照射的角度基本相同。索里特測得金屬板的表面溫度為 1900°C 到 2000 °C 之間。斯特凡猜測太陽照射到地球的能量有 1/3 被地球大氣層吸收（當時尚未有關於大氣層對電磁輻射的吸收的公認測量數據），所以算得實際接收到的太陽輻射強度應為金屬板輻射強度的 29×3/2 = 43.5 倍。金屬板的表面溫度斯特凡取索里特猜測的中間值 1950 °C，即 2200 K。由於 43.5 = 2.574，所以根據上面的定律，太陽表面的絕對溫度應為金屬板表面絕對溫度的 2.57 倍，即 5430 °C 或 5700 K（現代精確測量結果為 5780 K）。這是歷史上對日面溫度的第一個較精確的測量結果。在此之前人們對日面溫度的數值曾經眾說紛紜，測量結果從 1800 °C 到 13,000,000 °C 都有。通過其他方法測量的日面溫度與該結果的吻合驗證了本定律的正確性。

## 參考文獻

* Stefan, J.: _Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur_, in: _Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften_, Bd. 79 (Wien 1879), S. 391-428.
* Boltzmann, L.: _Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie_, in: _Annalen der Physik und Chemie_, Bd. 22 (1884), S. 291-294
* 汪志誠編，《熱力學・統計物理》（第三版），高等教育出版社，北京，1993，第 87 頁～第 91 頁，ISBN 7-04-004360-2
* 吳強、郭光燦編，《光學》，中國科學技術大學出版社，合肥，1996，第 380 頁～第 381 頁，ISBN 7-312-00762-7

## 參見

* 維因位移定律
* 瑞立 - 金斯定律
　
: $j^{\star }=\epsilon \sigma T^{4}$

其中輻射度 _j_\* 具有功率密度的因次（能量 /（時間・距離 2）），國際單位制標準單位為焦耳 /（秒・平方米），即瓦特 / 平方米。絕對溫度 _T_ 的標準單位是克耳文， _$\epsilon $_ 為黑體的輻射係數；若為絕對黑體，則 $\epsilon =1$ . 　
: $j^{\star }=\epsilon \sigma T^{4}$

其中輻射度 _j_\* 具有功率密度的因次（能量 /（時間・距離 2）），國際單位制標準單位為焦耳 /（秒・平方米），即瓦特 / 平方米。絕對溫度 _T_ 的標準單位是克耳文， _$\epsilon $_ 為黑體的輻射係數；若為絕對黑體，則 $\epsilon =1$ . **斯特凡 - 波茲曼定律**（**Stefan-Boltzmann law**），又稱**斯特凡定律**，是熱力學中的一個著名定律，其內容為：
一個黑體表面單位面積在單位時間內輻射出的總能量（稱為物體的輻射度或能量通量密度）_j_\* 與黑體本身的熱力學溫度 _T_（又稱絕對溫度）的四次方成正比，即： **斯特凡 - 波茲曼定律**（**Stefan-Boltzmann law**），又稱**斯特凡定律**，是熱力學中的一個著名定律，其內容為：
一個黑體表面單位面積在單位時間內輻射出的總能量（稱為物體的輻射度或能量通量密度）_j_\* 與黑體本身的熱力學溫度 _T_（又稱絕對溫度）的四次方成正比，即：