連續性假設在微磁學中具有重要性，因為它為理解和描述介觀尺度下鐵磁體的磁學特性提供了基礎。這一假設認為在小區域 \( V \) 內，所有磁矩可以近似地認為是指向同一方向的，從而使得磁化強度的大小 \( |M| \) 總是等於飽和磁化強度 \( M_s \)。這一假設的主要意義包括以下幾個方面：

1. **簡化模型**：連續性假設允許我們將微觀的磁矩視為連續的磁化強度 \( M \)，這樣我們便可以用連續介質的形式來建構數學模型，方便求解。在穩態下，磁化強度的大小固定，只有方向需要求解，這減少了考慮的複雜性。

2. **交換作用的結果**：由於交換作用的存在，它驅使小區域內的磁矩朝著相同的方向排列。連續性假設基於這一原理，可以在整體上將磁體視為一個均勻的、具有一致磁化方向的系統。

3. **影響方向的計算**：在靜微磁學中，我們可以專注於約化磁化強度 \( m \) 的方向，這有助於計算不同能量項（如交換能、各向異性能、賽曼能和退磁場能）對磁化矢量的影響，進而獲得平衡態下磁體內磁矩的方向分佈。

總之，連續性假設在理論上提供了一個框架，使我們能夠理解和分析鐵磁體在介觀尺度下的磁性行為，它確保了磁化強度的大小總是維持在飽和狀態 \( M_s \)，而主要的計算重心則放在磁化方向的求解上。
連續性假設在微磁學中有何重要性？它是如何影響磁化強度的大小和方向的？
微磁學是磁學的一個分支。其研究對象為介觀尺度下鐵磁體的磁化過程。該尺度足夠大，大到到原子的大小可忽略不計，因此在該尺度下材料的磁學特性是連續的；然而該尺度又足夠小，小到可以看清磁疇的結構。微磁學主要解決兩類問題：

1. 靜微磁學：通過最小化磁學能量，得到系統的穩定解；
2. 動微磁學：通過解朗道 - 利夫希茲 - 吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert, LLG)，得到系統的動力學解。

## 連續性假設

假定在鐵磁體內某區域 $dV$ 中存在 $N$ 個磁矩

　
: $\mu _{j},j=1,2,\cdots ,N$ 。

那麼區域內的平均磁矩可以表示為

　
: $M(r)={\frac {\sum _{j=1}^{N}\mu _{j}}{dV}}$ 。

連續性假設認為在鐵磁體內任意一點，

　
: $|M(r)|=M_{s}$ 。

式中 $M_{s}$ **為飽和磁化強度**。其意義在於小區域 $V$ 內可以近似地認為所有磁矩都是指向同一方向的。這是交換作用在小區域內的結果（交換作用傾向於使得磁矩指向同一方向）。連續性假設是微磁學的基礎。

## 靜微磁學

靜微磁學的目標是求得平衡態下磁體內磁矩的空間分布情況。當溫度低於居里溫度時，由連續性假設，磁化強度的大小 $|M|$ 總是等於 $M_{s}$ 。所以問題簡化為求磁矩的方向，或稱約化磁化強度 $m=M/M_{s}$ 。
鐵磁體內的總能量密度可表示為

　
: $E=E_{\text{exch}}+E_{\text{anis}}+E_{\text{Z}}+E_{\text{demag}}$

其中 $E$ 為總能量密度， $E_{\text{exch}}$ 為交換能， $E_{\text{anis}}$ 為各向異性能， $E_{\text{Z}}$ 為賽曼能， $E_{\text{demag}}$ 為退磁場能。

### 交換能

交換能是與磁矩之間的交換作用相關的能量。
交換能可表示為: $E_{\text{exch}}=A\int _{V}\left((\nabla m_{x})^{2}+(\nabla m_{y})^{2}+(\nabla m_{z})^{2}\right)\mathrm {d} V$

式中 $A$ 為交換作用常數， $m_{x},m_{y},m_{z}$ 是磁矩 $m$ 在三個方向上的分量。如前所述，交換作用傾向於使磁矩統一指向一個方向，因為在這時交換作用能最低。

### 各向異性能

各向異性能來自於材料的微觀各向異性，與晶體結構的對稱性有關。
各項異性能可表示為

　
: $E_{\text{anis}}=\int _{V}F_{\text{anis}}(\mathbf {m} )\mathrm {d} V$

式中 $F_{anis}$ 是各向異性能密度，與磁矩的指向方向有關。磁矩的指向方向為_易軸_時，各向異性能最低。

### 賽曼能

賽曼能來源於磁矩和外加磁場的作用。當磁矩與外場方向一致時，該能量最低。
賽曼能可表示為

　
: $E_{\text{Z}}=-\mu _{0}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{a}}\mathrm {d} V$

其中 $H_{a}$ 是外加磁場， $\mu _{0}$ 是真空磁導率。

### 退磁場能

退磁場是磁距在鐵磁體內部給自己施加的場。
退磁場能可表示為

　
: $E_{\text{demag}}=-{\frac {\mu _{0}}{2}}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}\mathrm {d} V$

式中 $H_{d}$ 是退磁場。這個場的大小與方向是磁矩的分布決定的：

　
: $\nabla \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}=-\nabla \cdot \mathbf {M} $

　
: $\nabla \times \mathbf {H} _{\text{d}}=0$

式中−∇・**M** 又被稱為磁荷密度。從式中可以看出，退磁場來源於磁矩 **M** 分布的不均勻性 (若分布均勻則 $\nabla \cdot \mathbf {M} =0$ )。這些方程的解是：

　
: $\mathbf {H} _{\text{d}}=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {M} {\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\mathrm {d} V$

式中 **r** 是從積分點指向觀察點的矢量。

值得注意的是，在平衡態下，總能量最低，但並不代表每項能量都處於最低狀態。實際上磁矩經常不均勻分布，以增加交換能的代價降低了退磁場能，而使得總能量最低。

## 動微磁學

動微磁學的研究對象是磁矩在**等效場下**隨時間的演化過程。該過程可以由解**朗道 - 利夫希茲 - 吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert, LLG)** 得出。

### 等效場

等效場是磁矩感受到的所有場的總和。它可以由以下公式描述：

　
: $\mathbf {H} _{\mathrm {eff} }=-{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} \mathbf {m} \mathrm {d} V}}$

式中 d_E_/d_V_ 是能量密度。

由能量密度的表達式，可以計算出：

　
: $\mathbf {H} _{\mathrm {eff} }={\frac {2A}{\mu _{0}M_{s}}}\nabla ^{2}\mathbf {m} -{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\partial F_{\text{anis}}}{\partial \mathbf {m} }}+\mathbf {H} _{\text{a}}+\mathbf {H} _{\text{d}}$

### LLG 方程

LLG 方程是磁矩的動力學方程。它描述了磁矩在**等效場**下的拉莫爾進動，以及一個阻尼項。
LLG 方程可表示為

　
: ${\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-|\gamma |\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }+\alpha \mathbf {m} \times {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}$

在數學上可以推出 LLG 方程等價於下面的方程（又稱為 LL 方程）：

　
: ${\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-{\frac {\alpha |\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times (\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\text{eff}})$

式中 $\gamma $ 為旋磁比， $\alpha $ 為 Gilbert 阻尼常數。

## 應用

微磁學可用於計算機硬碟的磁頭和磁介質、永磁體的研發。

## 研究手段

早期由於計算機運算能力不足，對微磁學的研究以理論推導為主。80 年代後隨著計算機技術的進展，計算機模擬成為重要手段。常用的模擬軟體有 oommf、magpar 等。最近幾年隨著 GPU 通用計算的發展，出現了一批 GPU 加速的模擬軟體如 mumax、GPMagnet 和 TetraMag 等。

## 歷史

1963 年 William Fuller Brown Jr. 發表了一篇關於反平行磁疇結構的文章，代表了這一領域的開端。

## 資料來源

<references>
: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

**磁化強度**（英語：**magnetization**），又稱**磁化向量**，是衡量物體的磁性的一個物理量，定義為單位體積的磁偶極矩，如下方程式：

　
: $\mathbf {M} \ {\stackrel {def}{=}}\ n\mathbf {m} $ ；

其中， $\mathbf {M} $ 是磁化強度， $n$ 是磁偶極子密度， $\mathbf {m} $ 是每一個磁偶極子的磁偶極矩。

當施加外磁場於物質時，物質的內部會被磁化，會出現很多微小的磁偶極子。磁化強度描述物質被磁化的程度。採用國際單位制，磁化強度的單位是安培／公尺。

物質被磁化所產生的磁偶極矩有兩種起源。一種是由在原子內部的電子，由於外磁場的作用，其軌域運動產生的磁矩會做拉莫爾進動，從而產生的額外磁矩，累積凝聚而成。另外一種是在外加靜磁場後，物質內的粒子自旋發生「磁化」，趨於依照磁場方向排列。這些自旋構成的磁偶極子可視為一個個小磁鐵，可以以向量表示，作為自旋相關磁性分析的古典描述。例如，用於核磁共振現象中自旋動態的分析。

物質對於外磁場的響應，和物質本身任何已存在的磁偶極矩（例如，在鐵磁性物質內部的磁偶極矩），綜合起來，就是淨磁化強度。

在一個磁性物質的內部，磁化強度不一定是均勻的，磁化強度時常是位置向量的函數。 微磁學是磁學的一個分支。其研究對象為介觀尺度下鐵磁體的磁化過程。該尺度足夠大，大到到原子的大小可忽略不計，因此在該尺度下材料的磁學特性是連續的；然而該尺度又足夠小，小到可以看清磁疇的結構。微磁學主要解決兩類問題：

1. 靜微磁學：通過最小化磁學能量，得到系統的穩定解；
2. 動微磁學：通過解朗道 - 利夫希茲 - 吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert, LLG)，得到系統的動力學解。

## 連續性假設

假定在鐵磁體內某區域 $dV$ 中存在 $N$ 個磁矩

　
: $\mu _{j},j=1,2,\cdots ,N$ 。

那麼區域內的平均磁矩可以表示為

　
: $M(r)={\frac {\sum _{j=1}^{N}\mu _{j}}{dV}}$ 。

連續性假設認為在鐵磁體內任意一點，

　
: $|M(r)|=M_{s}$ 。

式中 $M_{s}$ **為飽和磁化強度**。其意義在於小區域 $V$ 內可以近似地認為所有磁矩都是指向同一方向的。這是交換作用在小區域內的結果（交換作用傾向於使得磁矩指向同一方向）。連續性假設是微磁學的基礎。 流體力學中，**連續體假設**（英語：continuum assumption 或 continuum hypothesis）是對現實流體的簡化假設。從微觀角度，流體由分子組成，性質離散，但從宏觀角度，可以視為連續，以致對於每個無窮小的體積，皆可定義其密度、溫度、壓強等屬性。在實際氣體和液體的流動中，物質既不能產生，也不能消失。考察的速度場必須滿足質量守恆定律。如果考察的是不可壓縮流體，那麼流過某截面的質量即與體積成正比，流過每個截面的體積是相等的，可以得到，

$$
Av={\dot {V}}=const
$$

類似的，對於可壓縮流體，

$$
\rho Av={\dot {M}}
$$

在三維的情況下，考察一個體積微元，設流入微原的三個方向的速度分別為 $u,v,w$ , 而流出速度分別為 $u+{\frac {\partial u}{\partial x}}dx,v+{\frac {\partial v}{\partial y}}dy;,w+{\frac {\partial w}{\partial z}}dz$

利用一個體積微元質量守恆，可得出以下液體動力學的連續性方程（對不可壓縮流體）。

$$
{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0
$$

## 參考資料 ## 靜微磁學

靜微磁學的目標是求得平衡態下磁體內磁矩的空間分布情況。當溫度低於居里溫度時，由連續性假設，磁化強度的大小 $|M|$ 總是等於 $M_{s}$ 。所以問題簡化為求磁矩的方向，或稱約化磁化強度 $m=M/M_{s}$ 。
鐵磁體內的總能量密度可表示為

　
: $E=E_{\text{exch}}+E_{\text{anis}}+E_{\text{Z}}+E_{\text{demag}}$

其中 $E$ 為總能量密度， $E_{\text{exch}}$ 為交換能， $E_{\text{anis}}$ 為各向異性能， $E_{\text{Z}}$ 為賽曼能， $E_{\text{demag}}$ 為退磁場能。

### 交換能

交換能是與磁矩之間的交換作用相關的能量。
交換能可表示為: $E_{\text{exch}}=A\int _{V}\left((\nabla m_{x})^{2}+(\nabla m_{y})^{2}+(\nabla m_{z})^{2}\right)\mathrm {d} V$

式中 $A$ 為交換作用常數， $m_{x},m_{y},m_{z}$ 是磁矩 $m$ 在三個方向上的分量。如前所述，交換作用傾向於使磁矩統一指向一個方向，因為在這時交換作用能最低。