自反空間的定義是，若一個巴拿赫空間（或局部凸拓撲向量空間）的連續對偶空間的連續對偶空間是其自身，則稱這個空間為自反空間。具體來說，設 \(X\) 為一賦范向量空間，其對偶空間 \(X'\) 是由所有從 \(X\) 射到其純量域 \(\mathbb{F}\) 上的連續線性泛函構成的空間，且其二次對偶空間 \(X''\) 是 \(X'\) 的對偶空間。若存在一個滿射的賦值映射 \(J: X \to X''\)，則 \(X\) 被稱為自反空間。

自反空間與對偶空間之間的關係可以總結為以下幾點：

1. **賦值映射的角色**：自反空間的賦值映射 \(J\) 將空間 \(X\) 等距地映射到它的二次對偶空間 \(X''\)。而如果 \(J\) 是滿射，則 \(X\) 和 \(X''\) 在結構上是等同的。

2. **相對於對偶空間的性質**：自反空間的對偶空間 \(X'\) 也有著特定的性質，若 \(X\) 是自反的，則它的對偶空間 \(X'\) 也是自反的。

3. **一種等價性**：自反空間滿足多個等價條件，包括賦值映射 \(J\) 是賦范空間之間的同構，以及閉單位球在弱拓撲中緊緻等。

總結來說，自反空間的定義強調了它與自身的二次對偶空間之間的映射特性，並且這種關係揭示了二者在結構和性質上的深刻聯繫。
自反空間的定義是什麼？它與對偶空間之間有什麼樣的關係？
**自反空間**是泛函分析中的概念。如果一個巴拿赫空間（或更一般地，一個局部凸拓撲向量空間）的連續對偶空間的連續對偶空間「是」其自身，就稱這個空間為自反空間。其中的「是」表示兩者無論作為線性向量空間還是作為拓撲空間都是等價的。自反的巴拿赫空間常常可以通過它們的集合特性來刻畫。

## 詳細定義

設 $X$ 為純量域 $\mathbb {F} $ （ $\mathbb {F} =\mathbb {R} $ 或 $\mathbb {C} $ ）上的賦范向量空間，其中的範數記作 $\|\cdot \|$ 。考慮它的對偶賦范空間 $X'$ 。依定義， $X'$ 是由所有從 $X$ 射到純量域 $\mathbb {F} $ 上的連續線性泛函 $f\;\;:\;X\to {\mathbb {F} }$ 構成的空間（也稱為連續對偶空間），裝備了對偶範數 $\|\cdot \|'$ ：

　
: $\|f\|'=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|\leq 1\}.$

對偶空間 $X'$ 因此也是賦范空間（可以證明是巴拿赫空間），而它的對偶賦范空間 $X''=(X')'$ 則稱為元空間 $X$ 的**二次對偶空間**（或稱雙對偶空間）。二次對偶空間由所有從 $X'$ 射到純量域 $\mathbb {F} $ 上的連續線性泛函 $h\;\;:\;X'\to {\mathbb {F} }$ 構成的賦范空間，其中的範數 $\|\cdot \|''$ 是 $\|\cdot \|'$ 的對偶範數。空間 $X$ 中的任意向量 $x\in X$ 都可以誘導一個純量函數 $J(x):X'\to {\mathbb {F} }$ ，由以下的方法定義：

　
: $J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X',$

這個 $J(x)$ 是一個從 $X'$ 射到純量域 $\mathbb {F} $ 上的連續線性泛函，所以 $J(x)\in X''$ 。因而可以定義一個映射：

　
: $J:X\to X''$

這個映射稱作「**賦值映射**」，是一個線性映射。根據哈恩－巴拿赫定理，映射 $J$ 是單射，並且保持範數：

　
: $\forall x\in X\qquad \|J(x)\|''=\|x\|,$

這說明，映射 $J$ 將空間 $X$ 等距地映射到其在 $X''$ 中的像： $J(X)$ 上。而映射的像 $J(X)$ 不一定是 $X''$ 的全部，有可能只是 $X''$ 的一個拓撲子空間。而空間 $X$ 被稱為**自反空間**，如果它滿足以下幾個等價條件中的一個：

　
: 1. 賦值映射 $J:X\to X''$ 是滿射；
2. 賦值映射 $J:X\to X''$ 是賦范空間之間的等距同構；
3. 賦值映射 $J:X\to X''$ 是賦范空間之間的同構:15:129。

自反空間必然是巴拿赫空間，因為它和自身的二次對偶空間同構，而後者必然是巴拿赫空間:49。

自反空間通過賦值映射與其二次對偶空間等距同構。然而也存在這樣的巴拿赫空間 $X$ ，它與自身的二次對偶空間通過另外的方式等距同構（在另外的範數下），但如果考察賦值映射 $J$ ，則它只將元空間 $X$ 和它的二次對偶空間的一個子空間進行等距同構。這樣的空間稱為準自反空間:15:130。如果賦值映射 $J$ 將 $X$ 同構到它的二次對偶空間的某個子空間，而這個子空間的余維數為 _d_，則稱元空間 $X$ 為 _d_ 階准自反空間。

## 例子

* 每個有限維賦范向量空間都是自反空間。這是因為有限維賦范向量空間的對偶空間的維數等於元空間（因此二次對偶空間的維數也等於元空間）。因此，如果考慮賦值映射 $J$ ，根據秩－零化度定理， $J$ 是同構。
* 考慮由所有極限為零的實數列 $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ 構成的向量空間 $c_{0}$ ，並考慮其上的範數：

　
: $\forall a=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in c_{0},\;\;\|a\|=\sup _{n\in \mathbb {N} }\{a_{n}\}$

賦范向量空間 $c_{0}$ 不是自反空間:49:130。由以下提到的基本性質可以推出，序列空間 $\ell ^{1}$ 和 $\ell ^{\infty }$ 也不是自反空間。因為 $\ell ^{1}$ 是 $c_{0}$ 的對偶空間， $\ell ^{\infty }$ 是 $\ell ^{1}$ 的對偶空間。

* 所有的希爾伯特空間都是自反空間。比如說， $L^{2}$ 空間是自反空間:49:130。另外，當 $1<p<\infty $ 時， $L^{p}$ 空間都是自反空間。根據更一般的結論（米爾曼－佩提斯定理），所有一致凸的巴拿赫空間都是自反空間。 $L^{1}(\mu )$ 空間和 $L^{\infty }(\mu )$ 空間在維數是無窮維的時候都不是自反空間。與此類似的，由區間 [0, 1] 上的連續函數構成的巴拿赫空間 ${\mathcal {C}}^{0}([0,1])$ 也不是自反空間。:50-51

## 性質

### 巴拿赫空間

　
:

* 如果一個巴拿赫空間 _Y_ 和某個自反巴拿赫空間 _X_ 同構，那麼 _Y_ 也是自反空間:242。
* 自反巴拿赫空間的任意閉合子空間都是自反空間。:49
* 自反巴拿赫空間空間對自身的任一個閉合子空間的商空間也是自反空間:242。
* 如果一個巴拿赫空間 _E_ 的某個閉合子空間 _F_ 以及 _E_ 對 _F_ 的商空間 _E/F_ 都是自反空間，那麼 _E_ 自身也是巴拿赫空間:242。
* 設 _X_ 是巴拿赫空間，那麼以下的命題相互等價：
  1. _X_ 是自反空間；
  2. _X_ 的對偶空間是自反空間:49-50:130。
  3. _X_ 中的閉單位球在弱拓撲中緊緻（角谷靜夫定理）:49:130。
  4. _X_ 中的有界序列都有弱收斂的子列:244。
  5. _X_ 中的任何連續線性泛函都在 _X_ 中的閉單位球上達到最大值（James 定理）:49-50。

## 參見

## 參考來源
**自反空間**是泛函分析中的概念。如果一個巴拿赫空間（或更一般地，一個局部凸拓撲向量空間）的連續對偶空間的連續對偶空間「是」其自身，就稱這個空間為自反空間。其中的「是」表示兩者無論作為線性向量空間還是作為拓撲空間都是等價的。自反的巴拿赫空間常常可以通過它們的集合特性來刻畫。 ## 代數對偶空間

設 $V$ 為 在域 $F$ 上的向量空間，定義其**對偶空間** $V^{*}$ 為由 _$V$_ 到 _$F$_ 的所有線性函數的集合。
即是 _$V$_ 的標量線性變換。 $V^{*}$ 本身是 $F$ 的向量空間，並且對所有 $V^{*}$ 中的 $\phi $ 及 $\varphi $ 、所有 _$F$_ 中的 $a$ 、所有 _$V$_ 中的 $x$ 滿足以下加法及標量乘法：

　
: $(\phi +\varphi )(x)=\phi (x)+\varphi (x)\,$

　
: $(a\phi )(x)=a\phi (x)\,$

在張量的語言中， _$V$_ 的元素被稱為反變或逆變（contravariant）向量，而 $V^{*}$ 的元素被稱為共變或協變（covariant）向量、「餘向量」或「同向量」（co-vectors），「線性型」或「1 - 形式」（one-form）。 在數學領域中，**對偶**一般來說是以一對一的方式，常常（但並不總是）通過某個對合算子，把一種概念、公理或數學結構轉化為另一種概念、公理或數學結構：如果 _A_ 的對偶是 _B_，那麼 _B_ 的對偶是 _A_。由於對合有時候會存在不動點，因此 _A_ 的對偶有時候會是 _A_ 自身。比如射影幾何中的笛沙格定理，即是在這一意義下的自對偶。

_對偶_在數學背景當中具有很多種意義，而且，儘管它是「現代數學中極為普遍且重要的概念（a very pervasive and important concept in (modern) mathematics）」並且是「在數學幾乎每一個分支中都會出現的重要的一般性主題（an important general theme that has manifestations in almost every area of mathematics）」，但仍然沒有一個能把對偶的所有概念統一起來的普適定義。

在兩類對象之間的對偶很多都和配對（pairing），也就是把一類對象和另一類對象映射到某一族純量上的雙線性函數相對應。例如，線性代數的對偶對應著把線性空間中的向量對雙線性映射到純量上，廣義函數及其相關的試驗函數也對應著一個配對且在該配對中可用試驗函數來對廣義函數進行積分，龐加萊對偶從給定流形的子流形之間的配對的角度看同樣也對應著交數。 在數學裡，任何向量空間 _V_ 都有其對應的對偶向量空間（或簡稱為對偶空間），由 _V_ 的線性泛函組成。此對偶空間俱有一般向量空間的結構，像是向量加法及純量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。在拓撲向量空間的情況下，由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。

**對偶空間**是 行向量（ $1\times n$ ）與列向量（ $n\times 1$ ）的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為測度，分佈及希爾伯特空間提供重要的觀點。**對偶空間**的應用是泛函分析理論的特徵。傅立葉變換亦內蘊對偶空間的概念。