在推導安培力定律的過程中，需要考慮必歐 - 沙伐定律和勞侖茲力定律，因為這兩者之間密切相關，且共同構成了理解安培力的基礎。

### 必歐 - 沙伐定律的角色

**必歐 - 沙伐定律**描述的是載流導線所產生的磁場。在推導安培力定律時，首先需要知道導線 1 產生的磁場 $\mathbf{B}_{1}$，這是因為要計算作用於導線 2 的勞侖茲力。因此，首先利用必歐 - 沙伐定律計算出在導線 2 上的微小線元素 $d{\boldsymbol {\ell}}_{2}$ 位置的磁場值，這個磁場是由導線 1 的電流 $I_{1}$ 產生的。公式為：

\[
\mathbf{B}_{1}={\frac {\mu _{0}I_{1}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\ {\frac {d{\boldsymbol {\ell}}_{1}\ \times {\hat {\mathbf {r}}}_{12}}{r_{12}^{2}}}
\]

這樣就為後續的計算提供了必要的磁場參數。

### 勞侖茲力定律的角色

**勞侖茲力定律**則描述了帶電粒子在電場和磁場中所受到的力。在推導過程中，考慮到導線 2 上的微小線元素 $d{\boldsymbol {\ell}}_{2}$ 受到的磁力，根據勞侖茲力定律可以表達為：

\[
d\mathbf{F} _{12}= I_{2} d{\boldsymbol {\ell}}_{2} \times \mathbf{B}_{1}
\]

這個力的計算是建立在導線中也有電流 $I_{2}$ 的基礎上，此時磁場 $\mathbf{B}_{1}$ 是導線 1 所產生的。將這個力的表達進行積分，可以得到作用於整個導線 2 的總磁力 $\mathbf{F}_{12}$。

### 兩者的關係

必歐 - 沙伐定律提供了磁場的計算基礎，而勞侖茲力定律則將這些磁場轉換為實際的力的結果。總結來說，必歐 - 沙伐定律用來描述兩條載流導線生成的磁場，而勞侖茲力定律則用來計算在該磁場下導線間的相互作用力。因此，這兩者結合在一起，形成了安培力定律的推導過程。
在推導安培力定律的過程中，為何需要考慮必歐 - 沙伐定律和勞侖茲力定律？這兩者的關係是什麼，且在此推導中各自扮演了什麼樣的角色？
: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在靜磁學裏，**安培力定律**專門描述兩條載流導線交互作用的吸引力或排斥力，又稱為**安培力**，是由載流導線的電流所產生的磁場（根據必歐 - 沙伐定律），與對方的移動電荷的速度耦合而形成的勞侖茲力。安培力定律是因安德烈 - 馬里・安培而命名。

## 公式

設定兩條細直、無限長、固定的、相互平行的載流導線，則在自由空間內，任意一條導線施加於對方的每單位長度作用力 $f_{m}\,\!$ 是

　
: $f_{m}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi r}}\,\!$ ；

其中， $\mu _{0}\,\!$ 是真空磁導率， $I_{1}\,\!$ 、 $I_{2}\,\!$ 分別是流動於兩條導線的電流， $r\,\!$ 是兩條導線之間的垂直距離。

採用國際單位制， $\mu _{0}\,\!$ 值定義為

　
: $\mu _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 4\pi \times 10^{-7}\ \,\!$ 牛頓 / (安培)2。

假設每一條導線都載有 $1\,\!$ 安培，兩條導線相隔 $1\,\!$ 公尺，則作用於每一條導線的每單位長度的磁力為 2 × 10−7 牛頓／公尺。

更一般性的，能夠適用於更多案例的方程式，可以用二重線積分來表達：

　
: $\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!$ ；

其中， $\mathbf {F} _{12}\,\!$ 是導線 1 施加於導線 2 的作用力， $I_{1}\,\!$ 和 $I_{2}\,\!$ 分別是流動於導線 1 和導線 2 的電流， ${\mathcal {C}}_{1}\,\!$ 和 ${\mathcal {C}}_{2}\,\!$ 分別是導線 1 和導線 2 的線積分路徑， $d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!$ 和 $d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 分別是 ${\mathcal {C}}_{1}\,\!$ 和 ${\mathcal {C}}_{2}\,\!$ 的微小線元素， $\mathbf {r} _{12}\,\!$ 是從 ${\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!$ 指向 ${\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 的向量， $r_{12}\,\!$ 是其大小， ${\hat {\mathbf {r} }}_{12}\,\!$ 是其單位向量。

## 從必歐 - 沙伐定律和勞侖茲力定律推導出安培力定律

根據必歐 - 沙伐定律，導線 1 的磁場在微小線元素 $d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 位置是

　
: $\mathbf {B} _{1}={\frac {\mu _{0}I_{1}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\ {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times {\hat {\mathbf {r} }}_{12}}{r_{12}^{2}}}\,\!$ 。

根據勞侖茲力定律，作用於微小線元素位置 $d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!$ 的勞侖茲力遵守以下方程式

　
: $d\mathbf {F} =dq(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\,\!$  ;

其中， $dq\,\!$ 是微小電荷， $\mathbf {E} \,\!$ 是電場。

在這裡，電場等於零。所以，

　
: $d\mathbf {F} _{12}=I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!$ 。

表達為積分形式：

　
: $\mathbf {F} _{12}=I_{2}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}\ d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!$ 。

將磁場的公式帶入，可以得到

　
: $\mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!$ 。

## 參考文獻

## 外部連結

* 薩里大學電機系網頁：安培力定律 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。網頁內有展示安培力動畫圖形
　
: $\mathrm {d} \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}$ ；

其中， $\mathrm {d} \mathbf {B} $ 是微小磁場（這篇文章簡稱磁通量密度為磁場）， $\mu _{0}$ 是磁常數。

已知電流密度 $\mathbf {J} (\mathbf {r} ')$ ，則有：

　
: $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}{r}'$ ；

其中， $\mathrm {d} ^{3}{r}'$ 為微小體積元素， $\mathbb {V} '$ 是積分的體積。

在流體力學中，以渦度對應電流、速度對應磁場強度，便可應用必歐 - 沙伐定律以計算渦線（vortex line）導出的速度。 : 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在靜磁學裏，**安培力定律**專門描述兩條載流導線交互作用的吸引力或排斥力，又稱為**安培力**，是由載流導線的電流所產生的磁場（根據必歐 - 沙伐定律），與對方的移動電荷的速度耦合而形成的勞侖茲力。安培力定律是因安德烈 - 馬里・安培而命名。 : 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在靜磁學裏，**安培力定律**專門描述兩條載流導線交互作用的吸引力或排斥力，又稱為**安培力**，是由載流導線的電流所產生的磁場（根據必歐 - 沙伐定律），與對方的移動電荷的速度耦合而形成的勞侖茲力。安培力定律是因安德烈 - 馬里・安培而命名。 : 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「 $'\,\!$ 」；源變數的標記的後面有單撇號「 $'\,\!$ 」。

在靜磁學裏，**必歐 - 沙伐定律**（Biot-Savart Law）以方程式描述，電流在其周圍所產生的磁場。採用靜磁近似，當電流緩慢地隨時間而改變時（例如當載流導線緩慢地移動時），這定律成立，磁場與電流的大小、方向、距離有關。必歐 - 沙伐定律是以法國物理學者尚 - 巴蒂斯特・必歐與菲利克斯・沙伐命名。

必歐 - 沙伐定律表明，假設源位置為 $\mathbf {r} '$ 的微小線元素 $\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'$ 有電流 $I$ ，則 $\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'$ 作用於場位置 $\mathbf {r} $ 的磁場為