海森堡用什麼東西代了古典的傅立葉級數?
係數矩陣
現代時期的開始代表了歐洲文藝復興的結束。確切的時間點會依據各個領域的界定而有所不同，比如說，一個歷史學家可能會將現代的開始放在1650年，而一個音樂家則可能會把時間放在音樂的浪漫時期結束之後，也就是大約1900年。當代史學者習慣把一戰爆發，作為近代的終結、現代的開端。同樣地，依據各個領域的不同觀點，現代時期可能會被界定為一直延伸到我們現在所處的時間，或者也有可能被認為結束於後現代主義的開始，可能在1960年代到1980年代初期之間的任何一點。如果是將現代定義為在後現代之前的話，那麼它可能特別指涉了現代主義。有的觀點則認為，後現代主義只不過是現代主義本身最晚一個時期的發展而已。
海森堡的矩陣力學所基於的觀念是，電子本身的運動是無法觀測的，例如在躍遷中只有頻率是可觀察量，只有可觀察量才可被引入物理理論中。因此如果不能設計一個實驗來準確觀測電子的位置或動量，則談論一個電子運動的位置或動量是沒有意義的。1927年，海森堡從位置和動量的共軛對易關係推導出了兩者的不確定性之間的關係，這被稱作不確定性原理。海森堡設想了一個理想實驗，即著名的海森堡顯微鏡實驗，來說明電子位置和動量的不確定性關係；以及通過斯特恩-蓋拉赫實驗來說明自旋的幾個正交分量彼此之間的不確定性關係。不過，波耳雖然對海森堡的不確定性原理表示贊同，卻否定了他的理想實驗。波耳認為不確定性原理其實是波粒二象性的體現，但實驗觀測中只能展示出粒子性或波動性兩者之一，即不可能同時觀測到電子的粒子性和波動性，這被波耳稱作互補原理。海森堡的不確定性原理、波耳的互補原理和波恩的波函數統計詮釋以及相關聯的量子觀念，構成了被當今物理學界最為認可的量子力學思想——哥本哈根詮釋。
選舉在1789年春舉行，普選的第三等級合資格者要求為法國本土出生或已成為法國公民的男性公民，並要求在居住地投票以及繳納稅款。投票產生出1201名代表，包括291名貴族300名教士以及610名第三等級成員。在討論前，三級會議編寫「意見書」說明即將提交的討論內容。一些在數月之前還會被認為是非常激進的想法在意見書中明確表達出來，但是意見書大部分內容支持君主專制。很多內容假定第三等級將會支持日後的稅收改革，很少提及啟蒙思想。自由派的貴族和教士編寫的小冊子在出版管制暫停後如潮水般湧現並廣泛傳播。西哀士在當年1月出版的小冊子《第三等級是什麼？》中提出：「第三等級是什麼？是一切，是整個國家；第三等級在政治秩序中的地位是什麼?什麼也不是；第三等級要求什麼?要求取得某種地位。」1789年5月5日三級會議在凡爾賽舉行，內克爾開場演說三小時。會議剛開始就陷入僵局，第三等級的基本戰術是要求所有決議必須由三個等級公開討論決定，因此他們要求參會代表的身份確認必須要公開進行，而不是僅在各自的等級群體裡完成。教士等級宣稱需要更多時間完成，遭到民眾反駁。內克爾聲稱每個等級都要做身份確認，「國王會為大家仲裁」，但卻未獲得另外兩個等級認可。
回到哥廷根後，海森堡將他的計算遞交給沃爾夫岡·包立和馬克斯·玻恩評判，他對包立附加評論說：「所有內容對我來說都還很不清楚，但似乎電子不應當在軌道上運動了」。在海森堡的理論中，電子不再具有明確的軌道，他從而意識到電子的躍遷機率並不是一個古典量，因為在描述躍遷的傅立葉級數中只有頻率是可觀察量。他用一個係數矩陣取代了古典的傅立葉級數，在古典理論中傅立葉係數表征著輻射的強度，而在矩陣力學中表征強度的則是位置算符的矩陣元的大小。海森堡理論的數學形式中系統的哈密頓量是位置和動量的函數，但它們不再具有古典力學中的定義，而是由一組二階傅立葉係數的矩陣給出。玻恩在閱讀海森堡的理論時，發現這一數學形式可以用系統化的矩陣方法來描述，這一理論從而被稱作矩陣力學。於是玻恩和他的助手約爾當一起發展了這種理論的嚴謹數學形式，他們的論文在海森堡的論文發表六十天後也公布於眾。