麥卡托投影法有何貢獻?
使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線
笛卡兒將這種方法不僅運用在哲學思考上，還運用於幾何學，並創立了解析幾何。由此，笛卡兒第一步認為懷疑就是出發點，感官知覺的知識是可以被懷疑的，我們並不能信任我們的感官。所以他不會說「我看故我在」、「我聽故我在」。從這裡他悟出一個道理：我們所不能懷疑的是「我們的懷疑」。意指:我們無法去懷疑的，是我們正在「懷疑」這件事時的「懷疑本身」，只有這樣才能肯定我們的「懷疑」是有真實性的，並非虛假的產物。人們覺得理所當然或習以為常的事物，他卻感到疑惑，由此他推出了著名的哲學命題——「我思故我在」。笛卡兒將此作為形上學中最基本的出發點，從這裡他得出結論，「我」必定是一個獨立於肉體的、在思維的東西。笛卡兒還試圖從該出發點證明出上帝的存在。笛卡兒認為，我們都具有對完美實體的概念，由於我們不可能從不完美的實體上得到完美的概念，因此必定有一個完美實體——即上帝——的存在來讓我們得到這個概念。從所得到的兩點出發，笛卡兒繼續推論出既然完美的事物存在，那麼我們可以確定之前的惡魔假設是不能成立的，因為一個完美的事物不可能容許這樣的惡魔欺騙人們，因此藉由不斷的懷疑我們可以確信「這個世界真的存在」，而且經由證明過後的數學邏輯都應該是正確的。現實世界中有諸多可以用理性來察覺的特性，即它們的數學特性，當我們的理智能夠清楚地認知一件事物時，那麼該事物一定不會是虛幻的，必定是如同我們所認知的那樣。雖然笛卡兒證明了真實世界的存在，他認為宇宙中共有2個不同的實體，既思考和外在世界，兩者本體都來自於上帝，而上帝是獨立存在的。他認為，只有人才有靈魂，人是一種二元的存在物，既會思考，也會占空間。而動物只屬於物質世界。笛卡兒強調思想是不可懷疑的這個出發點，對此後的歐洲哲學產生了重要的影響。我思故我在所產生的爭議在於所謂的上帝存在及動物一元論，而懷疑的主要思想，確實對研究方面很有貢獻。
第二個根據是來自挪威歷史學家胡尼·斯萊格斯塔德，他自稱能證實是祁克果自己曾說存在性是從韋爾黑文借來的。 他強烈認為，祁克果本人說過：黑格爾方法並不以存在性的方式研究哲學；用我和韋爾黑文談哲學時曾經使用的詞語來描述的話。 另一方面，挪威歷史學家安妮-莉·絲塞則是對斯萊格斯塔德的論點表達疑慮，認為該聲明實際上源自挪威文學史學家卡史林努·龐。其最著名和最明確的倡議是讓-保羅·沙特的格言：存在先於本質。他的意思是說，除了人的生存之外沒有天經地義的道德或靈魂。道德和靈魂都是人在生存中創造出來的。人沒有義務遵守某個道德標準或宗教信仰，卻有選擇的自由。要評價一個人，要評價他的所作所為，而不是評價他是個什麼人物，因為一個人是由他的行動來定義的。沙特否認神或其它任何預先定義的規則的存在。讓-保羅·沙特反對任何人生中阻逆的因素，因為它們縮小人的自由選擇的餘地。假如沒有這些阻力的話，那麼一個人的唯一的要解決的問題是他選擇哪一條路走。然而人是自由的；即使他在自欺中，仍有潛力與可能。沙特也提出：他人即是地獄。這一觀點看似與人有選擇的自由觀點相矛盾，其實每個人選擇是自由的，但對於選擇後的結果，每個人有無法逃避的責任，人在選擇的過程中，面對的最大問題就是他人的選擇，因為每個人都有選擇的自由，但每個人的自由就可能影響他人的自由，所以稱他人即是地獄。存在主義並沒有否定神的存在，例如祁克果就是一名基督徒，他認為存在主義是基督徒思想模式的開始。尼采他在其著作《快樂的科學》中提出上帝已死的說法，尼采並不是說上帝在形而下的層面已死；相反地，尼采明白到上帝已死代表現存道德標準的危機。
極限不是對微積分基礎唯一的嚴格進路。另一種方法是採用亞伯拉罕•魯濱遜的非標準分析。羅賓遜在1960年左右所採取的進路襲承了牛頓——萊布尼茨的最初概念，借用數理邏輯的技術將實數系統擴大，得以將無窮小和無窮大數包含在內。所得出的數為超實數，可以用它們來對微積分法則作萊布尼茨式的推導。早期的微積分概念來自於埃及、希臘、中國、印度、伊拉克、波斯、日本，但現代微積分來自於歐洲。17世紀時，艾薩克•牛頓與戈特弗里德•萊布尼茨在前人的基礎上提出微積分的基本理論。微積分基本概念的產生是建立在求瞬間運動和曲線下面積這兩個問題之上的。微分應用包括對速度、加速度、曲線斜率、最優化等的計算。積分應用包括對面積、體積、弧長、質心、做功、壓力的計算。更高級的應用包括冪級數和傅立葉級數等。微積分也使人們更加精確地理解到空間、時間和運動的本質。多個世紀以來，數學家和哲學家都在爭論除以零或無限多個數之和的相關悖論。這些問題在研究運動和面積時常常出現。古希臘哲學家埃利亞的芝諾便給出了好幾個著名的悖論例子。微積分提供了工具，特別是極限和無窮級數，以解決該些悖論。微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。
在古代數學中，產生了一些引申出後來積分學的思想，但當時對該些思想的探討方式並不嚴格、系統。埃及的莫斯克紙莎草手卷記載了對不同種類的體積和面積的計算，而這即是積分學的目標之一。不過它的公式只屬簡單指示，沒有提及推導方法，有的公式也只是粗疏的估算。積分的起源很早，古希臘時期歐多克索斯就曾用窮舉法來求面積與體積。阿基米德用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率的近似值；也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。中國的劉徽在公元三世紀也應用窮舉法求圓的面積。在公元五世紀，祖沖之採用祖垣原理計算出球體積，該原理後來也被稱之為卡瓦列里原理。文藝復興之後，基於實際的需要及理論的探討，積分技巧有了進一步的發展。譬如為了航海的方便，傑拉杜斯•麥卡托發明了所謂的麥卡托投影法，使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。