高等微積分學又被定義為甚麼?
研究函數的科學
科學與非科學的區分被稱為劃界問題。例如，精神分析應該被認為是科學嗎？所謂的「創世科學」、膨脹的多重宇宙假說、宏觀經濟學是科學嗎？卡爾·波普爾稱這是科學哲學中的核心問題。然而，對於該問題，沒有一種統一的說法贏得了哲學家普遍的接受，有些人甚至認為此問題無法解決或沒有意義。早期，邏輯實證主義者嘗試將科學建立在觀測之上；相應的，非科學則是非觀測的，因此毫無意義。波普爾認為，科學的核心屬性是可證偽性。也就是說，每一個真正科學的說法是有可能被證明是錯誤的。偽裝成科學，試圖得到本來沒有能夠實現的合法性，這樣的一個領域，就被稱為偽科學、邊緣科學，或垃圾科學。物理學家理察·費曼提出了「草包族科學」一詞：研究人員認為他們正在做科學，因為他們的活動具有科學的外表；但實際上他們缺乏「那種徹底的誠實」，讓他們的成果進行嚴格的評估。各類商業廣告宣傳，從炒作到欺詐，都可能屬於這些類別。
牛頓和萊布尼茨雖然把微積分系統化，但是它還是不夠嚴謹。可是當微積分被成功地用來解決許多問題，卻使得十八世紀的數學家偏向其應用，而少致力於其嚴謹。當時，微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家，如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、達朗貝爾及伯努利世家等人的手裡。研究的問題由自然現象而來，所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論，使微積分學不因基礎不穩而隱含錯誤。在這些眾數學家的手中，微積分學的範圍很快地超過現在大學初階段所授的微積分課程，而邁向更高深的解析學。在微積分中，「基礎」意味將一個概念從明確的公理和定義中嚴格地建構出來。早期微積分所使用的無窮小被認為是不嚴謹的，遭到了一些作者的嚴厲批評，特別是米歇爾•羅爾和喬治•貝克萊主教。貝克萊因在他1734年出版的《分析學家》中將無窮小描述為「消失量之鬼」而著名。近代的一篇分析認為萊布尼茨版微積分比起貝克萊的經驗主義批評還更嚴密。為微積分予以嚴謹基礎，成為數學家們在牛頓、萊布尼茨之後幾世紀的重要工作，直至今日仍在某程度上是研究的活躍領域。
微積分學是研究極限、微分學、積分學和無窮級數等的一個數學分支，並成為了現代大學教育的重要組成部分。歷史上，微積分曾經指無窮小的計算。更本質的講，微積分學是一門研究變化的科學，正如：幾何學是研究形狀的科學、代數學是研究代數運算和解方程的科學一樣。微積分學又稱為「初等數學分析」。微積分學在科學、經濟學、商業管理學和工業工程學領域有廣泛的應用，用來解決那些僅依靠代數學和幾何學不能有效解決的問題。微積分學在代數學和解析幾何學的基礎上建立起來，主要包括微分學、積分學。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符號進行演繹。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算長度、面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們能以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的數學領域中，高等微積分學通常被稱為分析學，並被定義為研究函數的科學，是現代數學的主要分支之一。
函數這個數學名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的，用來描述跟曲線相關的一個量，如曲線的斜率或者曲線上的某一點。萊布尼茲所指的函數現在被稱作可導函數，數學家之外的普通人一般接觸到的函數即屬此類。對於可導函數可以討論它的極限和導數，此兩者描述了函數輸出值的變化同輸入值變化的關係，是微積分學的基礎。中文的「函數」一詞由清朝數學家李善蘭譯出。其《代數學》書中解釋：「凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數」。1718年，約翰·伯努利把函數定義為「一個變量的函數是指由這個變量和常量以任何一種方式組成的一種量。」1748年，伯努利的學生歐拉在《無窮分析引論》一書中說：「一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何一種方式構成的解析表達式」。1775年，歐拉在《微分學原理》一書中又提出了函數的一個定義：「如果某些量以如下方式依賴於另一些量，即當後者變化時，前者本身也發生變化，則稱前一些量是後一些量的函數。」19世紀的數學家開始對數學的各個分支進行形式化。維爾斯特拉斯倡議將微積分學建立在算術，而不是幾何的基礎上，這種主張較趨向於歐拉的定義。