祖沖在哪一個世紀的時候，計算出球體積?
公元五世紀
在他1962年的著作《科學革命的結構》中，托馬斯·庫恩對邏輯實證主義給出了精闢的反對。他認為，觀察和評價的過程，都是在一個範式之內發生的；所謂「範式」，就是這個世界的一個邏輯自洽的「肖像」，並與從它的框架出發所做的觀察一致。範式也包含某個科學學科的定義性的理論問題和實踐操作。他描述了觀察和「謎題解決」的過程，此過程在一個範式內發生，他稱之為「正常的科學」。他還解釋了一個範式如何能壓倒另一個範例，這一過程他稱之為「範式轉變」。庫恩認為，不可能把被測試的假設從觀測所基於的理論的影響隔離開來；他論證道，不可能獨立評估互相競爭的範式。不止一個邏輯合理的結構可以描繪出一個可用的這個世界的畫像，但沒有共同的基礎，使得坑對坑，理論對理論。兩者都不能作為判斷對方的標準，所以沒有明確的方法來衡量科學進步。
極限不是對微積分基礎唯一的嚴格進路。另一種方法是採用亞伯拉罕•魯濱遜的非標準分析。羅賓遜在1960年左右所採取的進路襲承了牛頓——萊布尼茨的最初概念，借用數理邏輯的技術將實數系統擴大，得以將無窮小和無窮大數包含在內。所得出的數為超實數，可以用它們來對微積分法則作萊布尼茨式的推導。早期的微積分概念來自於埃及、希臘、中國、印度、伊拉克、波斯、日本，但現代微積分來自於歐洲。17世紀時，艾薩克•牛頓與戈特弗里德•萊布尼茨在前人的基礎上提出微積分的基本理論。微積分基本概念的產生是建立在求瞬間運動和曲線下面積這兩個問題之上的。微分應用包括對速度、加速度、曲線斜率、最優化等的計算。積分應用包括對面積、體積、弧長、質心、做功、壓力的計算。更高級的應用包括冪級數和傅立葉級數等。微積分也使人們更加精確地理解到空間、時間和運動的本質。多個世紀以來，數學家和哲學家都在爭論除以零或無限多個數之和的相關悖論。這些問題在研究運動和面積時常常出現。古希臘哲學家埃利亞的芝諾便給出了好幾個著名的悖論例子。微積分提供了工具，特別是極限和無窮級數，以解決該些悖論。微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。
在古代數學中，產生了一些引申出後來積分學的思想，但當時對該些思想的探討方式並不嚴格、系統。埃及的莫斯克紙莎草手卷記載了對不同種類的體積和面積的計算，而這即是積分學的目標之一。不過它的公式只屬簡單指示，沒有提及推導方法，有的公式也只是粗疏的估算。積分的起源很早，古希臘時期歐多克索斯就曾用窮舉法來求面積與體積。阿基米德用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率的近似值；也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。中國的劉徽在公元三世紀也應用窮舉法求圓的面積。在公元五世紀，祖沖之採用祖垣原理計算出球體積，該原理後來也被稱之為卡瓦列里原理。文藝復興之後，基於實際的需要及理論的探討，積分技巧有了進一步的發展。譬如為了航海的方便，傑拉杜斯•麥卡托發明了所謂的麥卡托投影法，使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。
與此密切相關的問題是，什麼才算是一個好的科學解釋。除了提供對未來事件的預測，社會往往需要科學理論為經常發生或已經發生的事件提供解釋。哲學家們對「一個科學理論成功地解釋了一個現象」以及「一個科學理論具有解釋力」之說法所憑依的標準進行了調查研究。演繹-律則模型是一個早期的，有影響力的科學解釋的理論。它說，一個成功的科學解釋必須能從一個科學定律推斷出某個現象的發生。這種觀點受到了很多的批評，導致人們想出幾個普遍承認的反例。如果待說明事物不能從任何律則推導出，這時候澄清「科學解釋」是什麼意思就特別具有挑戰性。韋斯利·薩爾蒙發展了一個模型，其中一個好的科學解釋必須和要解釋的結果在統計學上相關。其他人則認為，一個好的解釋的關鍵，是能統一不同的現象或能提供因果機制。