約在17世紀末出現的函數為現在的什麼？
可導函數
心理學是否為自然科學的範圍，目前也尚存爭議，一般較廣為接受的說法是心理學同時包含在自然科學與社會科學的範疇之中。自然科學的根本目的在於尋找隱藏在自然現象背後的規律，但是自然科學的工作尚不包括研究為什麼會存在這些規律。自然科學認為超自然的、隨意的和自相矛盾的現象是不存在的。自然科學的最重要的兩個支柱是觀察和邏輯推理。由對自然的觀察和邏輯推理自然科學可以引導出大自然中的規律。假如觀察的現象與規律的預言不同，那麼要麼是因為觀察中有錯誤，要麼是因為至此為止被認為是正確的規律是錯誤的。一個超自然因素是不存在的。
函數這個數學名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的，用來描述跟曲線相關的一個量，如曲線的斜率或者曲線上的某一點。萊布尼茲所指的函數現在被稱作可導函數，數學家之外的普通人一般接觸到的函數即屬此類。對於可導函數可以討論它的極限和導數，此兩者描述了函數輸出值的變化同輸入值變化的關係，是微積分學的基礎。中文的「函數」一詞由清朝數學家李善蘭譯出。其《代數學》書中解釋：「凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數」。1718年，約翰·伯努利把函數定義為「一個變量的函數是指由這個變量和常量以任何一種方式組成的一種量。」1748年，伯努利的學生歐拉在《無窮分析引論》一書中說：「一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何一種方式構成的解析表達式」。1775年，歐拉在《微分學原理》一書中又提出了函數的一個定義：「如果某些量以如下方式依賴於另一些量，即當後者變化時，前者本身也發生變化，則稱前一些量是後一些量的函數。」19世紀的數學家開始對數學的各個分支進行形式化。維爾斯特拉斯倡議將微積分學建立在算術，而不是幾何的基礎上，這種主張較趨向於歐拉的定義。
在他1962年的著作《科學革命的結構》中，托馬斯·庫恩對邏輯實證主義給出了精闢的反對。他認為，觀察和評價的過程，都是在一個範式之內發生的；所謂「範式」，就是這個世界的一個邏輯自洽的「肖像」，並與從它的框架出發所做的觀察一致。範式也包含某個科學學科的定義性的理論問題和實踐操作。他描述了觀察和「謎題解決」的過程，此過程在一個範式內發生，他稱之為「正常的科學」。他還解釋了一個範式如何能壓倒另一個範例，這一過程他稱之為「範式轉變」。庫恩認為，不可能把被測試的假設從觀測所基於的理論的影響隔離開來；他論證道，不可能獨立評估互相競爭的範式。不止一個邏輯合理的結構可以描繪出一個可用的這個世界的畫像，但沒有共同的基礎，使得坑對坑，理論對理論。兩者都不能作為判斷對方的標準，所以沒有明確的方法來衡量科學進步。
函數的定義得以擴展之後，數學家便能對一些「奇怪」的數學對象進行研究，例如處處不可導的連續函數。這些函數曾經被認為只具有理論價值，遲至20世紀初時它們仍被視作「怪物」。稍後，人們發現這些函數在對如布朗運動之類的物理現象進行建模時有重要的作用。到19世紀末，數學家開始嘗試利用集合論來進行數學的形式化。他們試圖將每一個數學對象都定義為集合。狄利克雷給出了現代正式的函數定義。在他的定義作，函數被視作數學關係的特例。然而對於實際應用的情況，現代定義和歐拉定義的區別可以忽略不計。常用的數學函數包括多項式函數、根式函數、冪函數、對數函數、有理函數、三角函數、反三角函數等。它們都是初等函數。非初等函數包括伽馬函數等。