在西元前六世紀泰勒斯的時代，西方世界開始將什麼視為數學的一部份?
幾何學
在各民族從城邦發展為更複雜的國家形式後，貿易與殖民活動更為興盛，海軍規模也隨之擴大，開始出現海軍戰術的研究，如應用高速機動力與良好的航海技術、投擲易燃物和衝撞摧毀敵船等。在西元前480年的薩拉米灣海戰是早期著名的一次海戰，希臘聯軍以少勝多重創薛西斯一世的艦隊，確定了往後雅典海軍於愛琴海的霸權，直到伯羅奔尼撒戰爭被斯巴達艦隊擊敗為止。亞洲方面，古印度的朱羅王朝也在印度洋建設了當地最強大的海軍，古中國則在西元600年前就有建立所謂的舟師、水師與水軍，在10世紀時中國帆船即裝有火器。在西元476年至1640年的封建時代裡，西方海軍發展緩慢，於10-12世紀才出現了帆船，而14-16世紀才逐漸汰換，直到17世紀中葉才完全被取代。與船艦動力相同，戰術發展也極為緩慢，雖然人類在15世紀初就開始在艦上加裝火砲，但到15-17世紀中葉海戰仍是接戰肉搏為主，西元1571年的勒班陀海戰則為人類史上最後主要使用划槳船作戰的大型海戰。
現代史，又譯為近代史，指現代這個歷史時期的歷史。在西方，現代普遍被定義為中世紀之後的歷史時期，約開始於16世紀。現代可以被進一步區分為近世與現代晚期，這兩個時期以法國大革命及工業革命作為分界。在現代史之中，與現在時間緊密相關的歷史，稱為當代史。近代和現代合稱近現代，即以近代為現代之前的一個時期；但有時近代和現代沒有截然的含義區別，視為同義，相互替代使用。中國現代的起始時期，有幾種觀點：辛亥革命建立中華民國。推翻世襲帝制，建立共和民主政體。民國八年五四運動。中國共產黨在此間孕育，其史觀持此觀點，並以鴉片戰爭作為中國近代的開始。
幾何學簡稱幾何。幾何學是數學的一個基礎分支，主要研究形狀、大小、圖形的相對位置等空間區域關係以及空間形式的度量。許多文化中都有幾何學的發展，包括許多有關長度、面積及體積的知識，在西元前六世紀泰勒斯的時代，西方世界開始將幾何學視為數學的一部份。西元前三世紀，幾何學中加入歐幾里德的公理，產生的歐幾里得幾何是往後幾個世紀的幾何學標準。阿基米德發展了計算面積及體積的方法，許多都用到積分的概念。天文學中有關恆星和行星在天球上的相對位置，以及其相對運動的關係，都是後續一千五百年中探討的主題。幾何和天文都列在西方博雅教育中的四術中，是中古世紀西方大學教授的內容之一。勒內·笛卡兒發明的坐標系以及當時代數的發展讓幾何學進入新的階段，像平面曲線等幾何圖形可以由函數或是方程等解析的方式表示。這對於十七世紀微積分的引入有重要的影響。透視投影的理論讓人們知道，幾何學不只是物體的度量屬性而已，透視投影後來衍生出射影幾何。歐拉及高斯開始有關幾何物件本體性質的研究，使幾何的主題繼續擴充，最後產生了拓撲學及微分幾何。在歐幾里德的時代，實際空間和幾何空間之間沒有明顯的區別，但自從十九世紀發現非歐幾何後，空間的概念有了大幅的調整，也開始出現哪一種幾何空間最符合實際空間的問題。在二十世紀形式數學興起以後，空間已沒有其直觀的概念在內。今日需要區分實體空間、幾何空間以及抽象空間。當代的幾何學考慮流形，空間的概念比歐幾里德中的更加抽象，兩者只在極小尺寸下才彼此近似。這些空間可以加入額外的結構，因此可以考慮其長度。近代的幾何學和物理關係密切，就像偽黎曼流形和廣義相對論的關係一樣。物理理論中最年輕的弦理論也和幾何學有密切關係。幾何學可見的特性讓它比代數、數論等數學領域更容易讓人接觸，不過一些幾何語言已經和原來傳統的、歐幾里得幾何下的定義越差越遠，例如碎形幾何及解析幾何等。現代概念上的幾何其抽象程度和一般化程度大幅提高，並與分析、抽象代數和拓撲學緊密結合。幾何應用於許多領域，包括藝術，建築，物理和其他數學領域。
在他1962年的著作《科學革命的結構》中，托馬斯·庫恩對邏輯實證主義給出了精闢的反對。他認為，觀察和評價的過程，都是在一個範式之內發生的；所謂「範式」，就是這個世界的一個邏輯自洽的「肖像」，並與從它的框架出發所做的觀察一致。範式也包含某個科學學科的定義性的理論問題和實踐操作。他描述了觀察和「謎題解決」的過程，此過程在一個範式內發生，他稱之為「正常的科學」。他還解釋了一個範式如何能壓倒另一個範例，這一過程他稱之為「範式轉變」。庫恩認為，不可能把被測試的假設從觀測所基於的理論的影響隔離開來；他論證道，不可能獨立評估互相競爭的範式。不止一個邏輯合理的結構可以描繪出一個可用的這個世界的畫像，但沒有共同的基礎，使得坑對坑，理論對理論。兩者都不能作為判斷對方的標準，所以沒有明確的方法來衡量科學進步。