伽馬函數是屬於函數中的哪一種？
非初等函數
函數在數學中為兩集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。氣溫的分布也能用函數表達，以時間和地點作為參量輸入，以該時該地的溫度作為輸出。表達函數有多種方式，例如解析法是用數學式表達兩個變量之間的對應關係，圖像法是用坐標系上的函數圖形表達兩個變量之間的對應關係，列表法用表格表達兩個變量之間的對應關係。現代數學中，函數所有輸入值的集合被稱作該函數的定義域，而其輸出值所存在的集合稱為上域或對應域。其中值域特指該函數的輸出值集合，意即上域包含了值域，值域為上域的子集。通常輸入值稱作函數的參數或參量，輸出值稱作函數的值。函數將有效的輸入值變換為唯一的輸出值，同一輸入總是對應同一輸出，但反之未必成立。函數能被抽象定義為某種數學關係，由於其定義的一般性，在幾乎所有的數學分支都是基礎概念。在大部分的數學領域內，術語對應、映射、變換通常是函數的近義詞。不過某些情況這些術語可能有別的特定意思，例如在拓撲學中一個映射有時被定義成一個連續函數。
函數的定義得以擴展之後，數學家便能對一些「奇怪」的數學對象進行研究，例如處處不可導的連續函數。這些函數曾經被認為只具有理論價值，遲至20世紀初時它們仍被視作「怪物」。稍後，人們發現這些函數在對如布朗運動之類的物理現象進行建模時有重要的作用。到19世紀末，數學家開始嘗試利用集合論來進行數學的形式化。他們試圖將每一個數學對象都定義為集合。狄利克雷給出了現代正式的函數定義。在他的定義作，函數被視作數學關係的特例。然而對於實際應用的情況，現代定義和歐拉定義的區別可以忽略不計。常用的數學函數包括多項式函數、根式函數、冪函數、對數函數、有理函數、三角函數、反三角函數等。它們都是初等函數。非初等函數包括伽馬函數等。
還原論是將世界上的事物的解釋簡化到一些基礎的理論的哲學觀點。在粒子物理學這個觀點是提出一個可以解釋世界上的一切的一種最基礎的物理理論，或者用一個比較大眾化的語言來說，來尋找一個概括宇宙一切的公式。但在粒子物理學的發展過程中也一直有人批評這種極端的還原論。這些批評者中有粒子物理學家、化學家、生物學家、固態物理學家和整體論者。他們並不向標準模型理論本身挑戰，但他們認為基本粒子的特性並不一定也是它們所組成的原子、分子或更大的結構的特性，尤其是它們並不能表達很多粒子組成的系統的特性。基於混沌理論，一些批評者認為即使物理學家完全認識基本粒子的所有的特性的話，人們以此不能完全理解所有的自然的過程；另一些批評者懷疑人們能夠完全理解基本粒子的特性。
函數這個數學名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的，用來描述跟曲線相關的一個量，如曲線的斜率或者曲線上的某一點。萊布尼茲所指的函數現在被稱作可導函數，數學家之外的普通人一般接觸到的函數即屬此類。對於可導函數可以討論它的極限和導數，此兩者描述了函數輸出值的變化同輸入值變化的關係，是微積分學的基礎。中文的「函數」一詞由清朝數學家李善蘭譯出。其《代數學》書中解釋：「凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數」。1718年，約翰·伯努利把函數定義為「一個變量的函數是指由這個變量和常量以任何一種方式組成的一種量。」1748年，伯努利的學生歐拉在《無窮分析引論》一書中說：「一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何一種方式構成的解析表達式」。1775年，歐拉在《微分學原理》一書中又提出了函數的一個定義：「如果某些量以如下方式依賴於另一些量，即當後者變化時，前者本身也發生變化，則稱前一些量是後一些量的函數。」19世紀的數學家開始對數學的各個分支進行形式化。維爾斯特拉斯倡議將微積分學建立在算術，而不是幾何的基礎上，這種主張較趨向於歐拉的定義。