處處不可導的連續函數對於什麼物理現象的建模有重要的作用？
布朗運動
函數可分為：奇函數或偶函數、連續函數或不連續函數、實函數或虛函數、純量函數或向量函數、單調增函數或單調減函數。分段函數，在定義域內不同部分上，有不同的解析表達式，這樣的函數通常叫分段函數。歧義函數，也稱多值函數，指有輸出值多於一個的情況。例如，4的平方根可以是2或者-2，而兩者的平方皆是4。嚴格來說，歧義函數不完全算是函數，因為數學函數的定義對於一個輸入值只能有唯一一個輸出值。實際上，這樣的「函數」通常被稱為關係式。複變函數理論採用黎曼面處理函數多值的困境。所有從整數到整數的可計算函數的個數是可數的，這是因為所有可能的算法個數是可數的。從整數到整數的函數個數要更多些－和實數個數一樣多，也就是說是等勢的。這說明有些從整數到整數的函數是不可計算的。
二十世紀三十年代，索末菲模型與鐵磁性物質的自旋模型向物理學家展示了量子力學方法在解決凝聚體物質問題時的有效性，然而，那時還有一些尚未解決的問題，其中較為突出的是物質超導性的描述與近藤效應。第二次世界大戰後，物理學家開始採用量子場論的一些方法來解決凝聚體物質問題，其中較為有名的事例是准粒子這一概念的引入，及其對於固體內集體激發問題的解決。俄羅斯物理學家列夫·朗道也採用這一方法解決了低溫條件下費米子間交互作用的問題，他所引入的准粒子現在被物理學家稱作「朗道准粒子」。朗道還發展了連續相變的平均場論。這一理論以自發對稱性破缺來描述有序相，同時引入序參數這一概念來區分有序相。1965年，約翰·巴丁、利昂·庫珀與約翰·施里弗，基於兩個自旋相反的電子彼此之間由於聲子媒介而相互吸引，因此形成「庫珀對」這一現象，提出了BCS理論，最終從理論上解釋了超導現象。
還原論是將世界上的事物的解釋簡化到一些基礎的理論的哲學觀點。在粒子物理學這個觀點是提出一個可以解釋世界上的一切的一種最基礎的物理理論，或者用一個比較大眾化的語言來說，來尋找一個概括宇宙一切的公式。但在粒子物理學的發展過程中也一直有人批評這種極端的還原論。這些批評者中有粒子物理學家、化學家、生物學家、固態物理學家和整體論者。他們並不向標準模型理論本身挑戰，但他們認為基本粒子的特性並不一定也是它們所組成的原子、分子或更大的結構的特性，尤其是它們並不能表達很多粒子組成的系統的特性。基於混沌理論，一些批評者認為即使物理學家完全認識基本粒子的所有的特性的話，人們以此不能完全理解所有的自然的過程；另一些批評者懷疑人們能夠完全理解基本粒子的特性。
函數的定義得以擴展之後，數學家便能對一些「奇怪」的數學對象進行研究，例如處處不可導的連續函數。這些函數曾經被認為只具有理論價值，遲至20世紀初時它們仍被視作「怪物」。稍後，人們發現這些函數在對如布朗運動之類的物理現象進行建模時有重要的作用。到19世紀末，數學家開始嘗試利用集合論來進行數學的形式化。他們試圖將每一個數學對象都定義為集合。狄利克雷給出了現代正式的函數定義。在他的定義作，函數被視作數學關係的特例。然而對於實際應用的情況，現代定義和歐拉定義的區別可以忽略不計。常用的數學函數包括多項式函數、根式函數、冪函數、對數函數、有理函數、三角函數、反三角函數等。它們都是初等函數。非初等函數包括伽馬函數等。