しばしば数学の問題に用いられるので、正しく理解しておくことが大切です。円に内接する正方形とは、円の内側に描かれている正方形で、その正方形の4つの角が円に触れている状態を意味しています。 正方形が内接している円の中心から正方形の角までの距離が円の半径rと等しいという性質があります。そこで、sを求めるにはまず、正方形を対角線上で二分し、2つの正三角形の状態で想像する必要があります。これら2つの正三角形のそれぞれの3つの辺（a、 b さらに斜辺cすなわち2r）も等しいということになります。 ピタゴラスの定理に基き、正三角形の辺の関係はa2 + b2 = c2と表すことができます。 正方形であることから aとbは等しいという点の他に、 c = 2rということも分かっているので、下記のような計算で辺の長さが求められます   a2 + a2 = (2r)2となります。これを単純化させましょう。  2a2 = 4r2となります。両方の辺を2で割りましょう。  a2 = 2r2となります。両辺の平方根を取りましょう。  a = √(2r2) = √2rとなります。つまり、円に内接する正方形の辺の長さは √2rです。 この場合、外周 P = 4√2rという計算で求められます。つまり、半径rを持つ円に内接する、あらゆる正方形の外周は P = 5.657rということになります。 半径10の円に内接する正方形を例に考えてみましょう。この場合、円の直系は半径の2倍で20となります。ピタゴラスの定理を利用し、 2a2 = 202であることが分かり、 2a2 = 400となります。両方の辺を2で割り、 a2 = 200とします。さらに、両辺から平方根を取ることで、 a = 14.142となります。この値に4をかけたものが外周なのでP = 56.57です。 半径10と5.567をかけても同じ答えとなりますが（ 10 * 5.567 = 56.57）試験といった場では求め方が思い出せないかもしれないので、説明されている手順を用いたほうが無難でしょう。
「円に内接する正方形」を理解する　 円の半径と正方形の辺との関係を理解する　 ピタゴラスの定理を利用する　 辺の長さを4倍する　 例題に挑戦する　