まずは、3行3列の行列Aを使って、行列式|A|を求めます。本記事で使用する一般的な行列の表記方法と、例として使用する行列は次のとおりです。 M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(153247462){\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}} 選んだものが基準となる行または列となります。選んだ行や列に関わらず、同じ解答を得られます。ここでは、ひとまず最初の行を選びましょう。後ほど、計算が簡単にできる行や列を選ぶ方法に関するコツを紹介します。 行列Aの1列目を選びましょう。1 5 3を丸で囲みましょう。一般式では、a11 a12 a13を丸で囲みます。 丸で囲んだ行または列を見て、最初の要素を選びましょう。そして、最初の要素の行と列に線を引きます。すると、4つの数字が残るはずです。これを2行2列の行列として扱います。  例では、1 5 3が基準となる行です。最初の要素は、1行目の1列目です。1行目と1列目に線を引きましょう。残りの要素を2行2列の行列として表記します。   1  5 3 2  4 7 4  6 2 行列(abcd){\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}の行列式は、ad - bcであることを思い出しましょう。2行2列の行列にXを書いて、たすき掛けする計算方法として学んだかもしれません。左上の数字と右下の数字を掛け合わせます。そして、右上の数字と左下の数字を掛け合わせます。この計算式を使って、先ほどの2行2列の行列式を計算しましょう。  例において、行列式は、(4762){\displaystyle {\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}} = 4 * 2 - 7 * 6 = -34となります。 この行列式は、元の行列で選んだ要素の「小行列式」と呼ばれます。ここでは、a11の小行列式を求めたことになります。 線を引く行と列を決めた時に、要素を基準となる行（または列）から選択したことを思い出しましょう。この要素に、計算した2行2列の行列式を掛けます。 例では、値が1である要素a11を選択しました。これに-34（2行2列の行列式）を掛けて、1 × -34 = -34 となります。 次に、先ほどの解に1または-1を掛けて、選んだ要素の「余因子」を求めます。3行3列の行列上の要素の場所によって、使用する符号が変わります。この簡単な符号の表を覚えて、どの要素がどの符号を使用するか判断しましょう。   + - +- + -+ - + +となっているa11を選んだので、+1を掛けます（つまり、何もする必要がありません）。解は、-34のままです。 (-1)i+jという式を使って、使用する符号を求めることもできます。「i」と「j」が要素の行と列です。 最初に行または列を丸で囲んだ、元の3行3列の行列に戻りましょう。次のように、要素に対して同じ手順を繰り返します。   要素の行と列に線を引きましょう。例では、a12（値は5）の要素を選びます。1行目（1 5 3）と2列目(546){\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}}に線を引きましょう。  残りの要素を2行2列の行列として扱います。例において、行列は、(2742){\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}}となります。  この2行2列の行列の行列式を求めましょう。ad - bcの公式を使用します。(2×2 - 7×4 = -24)  3行3列の行列上の選んだ要素を掛けます。 -24 × 5 = -120  -1を掛けるかどうか判断します。符号表か(-1)ijの公式を使用しましょう。ここでは、符号表で - となっている要素、a12を選択しました。よって、解の符号を変える必要があり、次のようになります。(-1)×(-120) = 120. 求める余因子は、もう1つあります。基準となる行または列の3つ目の余因子を計算します。例において、a13の余因子を計算する方法を要約すると次のとおりです。  1列目と3行目に線を引いて、行列(2446){\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}}を得ます。 行列式は、2*6 - 4*4 = -4となります。 要素a13を掛けて、-4 × 3 = -12となります。 要素a13は符号表で+なので、解は、-12です。 これが、最後のステップです。1つの行または列の各要素に対して、3つの余因子を計算できました。その3つの余因子を足し合わせると、3行3列の行列式を得られます。 例において、行列式は、-34 + 120 + -12 = 74となります。
3行3列の行列式を書きます。 行または列を1つ選びます。 最初の要素の行と列に線を引きます。 2行2列の行列の行列式を求めます。 行列式に選んだ要素を掛けます。 余因子の符号を特定します。 基準となる行または列の2つ目の要素に対しても、同じ手順を繰り返します。 3つ目の要素でも同じ手順を繰り返します。 3つの解をすべて足します。