We provide a complete description of important geometric invariants of the Laplacian lattice of a multigraph under the distance function induced by a regular simplex, namely Voronoi Diagram, Delaunay Triangulation, Delaunay Polytope and its combinatorial structure, Shortest Vectors, Covering and Packing Radius. We use this information to obtain the following results: i. Every multigraph defines a Delaunay triangulation of its Laplacian lattice and this Delaunay triangulation contains complete information of the multigraph up to isomorphism. ii. The number of multigraphs with a given Laplacian lattice is controlled, in particular upper bounded, by the number of different Delaunay triangulations. iii. We obtain formulas for the covering and packing densities of a Laplacian lattice and deduce that in the space of Laplacian lattices of undirected connected multigraphs, the Laplacian lattices of highly connected multigraphs such as Ramanujan multigraphs possess good covering and packing properties.
Les flots entiers sur un graphe fini Γ constituent naturellement un reseau entier Λ 1 (Γ) dans l'espace euclidien Ker(Δ 1 ) des fonctions harmoniques a valeurs reelles sur l'ensemble des aretes de Γ. On montre l'equivalence de diverses proprietes de Γ (caractere biparti, tour de taille, complexite, separabilite) avec des proprietes convenables de Λ l (Γ) (parite, norme minimales determinant, decomposabilite). Le reseau dual de Λ 1 (Γ) est identifie a la cohomologie enliere H 1 (Γ,Z), plongee dans Ker(Δ 1 ). On montre des traductions analogues pour le reseau des coupures entieres et les proprietes convenables du graphe (caractere eulerien, connectivite d'aretes, complexite, separabilite). Ces reseaux ont un groupe determinant qui joue pour les graphes le meme role que la jacobienne pour une surface de Riemann close. Ce sont alors les fonctions harmoniques sur un graphe (a valeurs dans un groupe abelien) qui tiennent lieu d'applications holomorphes.