D'après le texte suivant, quelle est la particularité des nombres premiers ?
Given the following text, what is special about Prime Numbers?
A prime number is a natural number great than one that is only divisible by itself and one. e.g. 5 is a prime number as it is only divisible by 5 and 1, but 4 is not as 4 is divisible by 4,2 and 1
Un nombre premier est un nombre naturel supérieur à un qui n'est divisible que par lui-même et un. Par exemple, 5 est un nombre premier car il n'est divisible que par 5 et 1, mais 4 ne l'est pas car il est divisible par 4, 2 et 1.
closed_qa
Un nombre premier (ou un nombre premier) est un nombre naturel supérieur à 1 qui n'est pas le produit de deux nombres naturels plus petits. Un nombre naturel supérieur à 1 qui n'est pas premier est appelé un nombre composite. Par exemple, 5 est premier parce que les seules façons de l'écrire comme un produit, 1 × 5 ou 5 × 1, impliquent 5 lui-même. En revanche, 4 est composite parce qu'il s'agit d'un produit (2 × 2) dans lequel les deux nombres sont plus petits que 4. Les nombres premiers sont au cœur de la théorie des nombres en raison du théorème fondamental de l'arithmétique : tout nombre naturel supérieur à 1 est soit lui-même un nombre premier, soit peut être factorisé comme un produit de nombres premiers qui est unique jusqu'à leur ordre.

La propriété d'être premier est appelée primalité. Une méthode simple mais lente pour vérifier la primalité d'un nombre donné est la suivante
�
n donné, appelée division par essai, permet de vérifier si
�
n est un multiple de tout entier compris entre 2 et
�
{\sqrt {n}}. Parmi les algorithmes plus rapides, on peut citer le test de primalité de Miller-Rabin, qui est rapide mais présente un faible risque d'erreur, et le test de primalité AKS, qui produit toujours la bonne réponse en temps polynomial, mais qui est trop lent pour être pratique. Des méthodes particulièrement rapides sont disponibles pour les nombres de formes spéciales, tels que les nombres de Mersenne. En décembre 2018, le plus grand nombre premier connu est un nombre premier de Mersenne avec 24 862 048 chiffres décimaux.

Il existe une infinité de nombres premiers, comme l'a démontré Euclide vers 300 av. Aucune formule simple connue ne permet de distinguer les nombres premiers des nombres composés. Cependant, la distribution des nombres premiers parmi les nombres naturels dans le grand nombre peut être modélisée statistiquement. Le premier résultat en ce sens est le théorème des nombres premiers, démontré à la fin du 19e siècle, qui dit que la probabilité qu'un grand nombre choisi au hasard soit premier est inversement proportionnelle à son nombre de chiffres, c'est-à-dire à son logarithme.

Plusieurs questions historiques concernant les nombres premiers n'ont toujours pas été résolues. Il s'agit notamment de la conjecture de Goldbach, selon laquelle tout nombre entier pair supérieur à 2 peut être exprimé comme la somme de deux nombres premiers, et de la conjecture des nombres premiers jumeaux, selon laquelle il existe une infinité de paires de nombres premiers n'ayant qu'un seul nombre pair entre eux. Ces questions ont stimulé le développement de diverses branches de la théorie des nombres, axées sur les aspects analytiques ou algébriques des nombres. Les nombres premiers sont utilisés dans plusieurs routines des technologies de l'information, telles que la cryptographie à clé publique, qui repose sur la difficulté de factoriser les grands nombres en leurs facteurs premiers. En algèbre abstraite, les objets qui se comportent de manière généralisée comme les nombres premiers comprennent les éléments premiers et les idéaux premiers.
fr