Demuéstrame que la raíz cuadrada de 2 es irracional
Give me a proof that the square root of 2 is irrational
Here is a proof by contradiction that the square root of 2 is irrational. First, recall that irrational numbers are numbers that cannot be written as p / q for integers p and q. Assume for contradiction that the square root of 2 is rational, which would mean that sqrt(2) = p / q for some integers p and q. Further assume without loss of generality that this fraction is in reduced form, meaning that p and q share no common factors. We can assume this because any integer fraction can be written in such a reduced form, so the existence of any rational representation for sqrt(2) would imply the existence of one in reduced form. Now we square both sides of the above equation, yielding

2 = p^2 / q^2

for some integers p and q not sharing any common factors. Now multiply by q^2 to get

2 * q^2 = p^2

Note that the left hand side is even due to the factor of 2, so the right hand side p^2 is even as well. This means that p must be even as well, otherwise p^2 would not be even. So p can be written as 2 * x for some integer x. Substituting this into the above equation, we get

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

Note that both sides of the equation have a factor of 2 we can cancel. Doing this, we get

q^2 = 2 * x^2

By an argument analogous to the one above, we can conclude that q is even. However this contradicts our assumption that p and q shared no common factors. Therefore our initial assumption that sqrt(2) is rational was false, which is what we set out to prove.
He aquí una prueba por contradicción de que la raíz cuadrada de 2 es irracional. En primer lugar, recuerda que los números irracionales son números que no pueden escribirse como p / q para los enteros p y q. Supongamos por contradicción que la raíz cuadrada de 2 es racional, lo que significaría que sqrt(2) = p / q para algunos enteros p y q. Supongamos además, sin pérdida de generalidad, que esta fracción está en forma reducida, lo que significa que p y q no tienen factores comunes. Podemos suponerlo porque cualquier fracción entera puede escribirse en dicha forma reducida, de modo que la existencia de cualquier representación racional para sqrt(2) implicaría la existencia de una en forma reducida. Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior, obteniendo

2 = p^2 / q^2

para unos números enteros p y q que no compartan ningún factor común. Ahora multiplicamos por q^2 para obtener

2 * q^2 = p^2

Observa que el lado izquierdo es par debido al factor 2, por lo que el lado derecho p^2 también es par. Esto significa que p también debe ser par, de lo contrario p^2 no sería par. Así que p puede escribirse como 2 * x para algún número entero x. Sustituyendo esto en la ecuación anterior, obtenemos

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

Observa que ambos lados de la ecuación tienen un factor de 2 que podemos cancelar. Haciendo esto, obtenemos

q^2 = 2 * x^2

Por un argumento análogo al anterior, podemos concluir que q es par. Sin embargo, esto contradice nuestra suposición de que p y q no tenían factores comunes. Por tanto, nuestra suposición inicial de que sqrt(2) es racional era falsa, que es lo que pretendíamos demostrar.
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