Extraire les formules au format math latex markdown pour calculer le rendement et la variance du portefeuille dans Modern Portfolio Theory https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory
Extract the formulas in math latex markdown format to calculate the portfolio return and variance in Modern Portfolio Theory https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory
- Expected return:
$$
\mathrm{E}\left(R_p\right)=\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right)
$$
where $R_p$ is the return on the portfolio, $R_i$ is the return on asset $i$ and $w_i$ is the weighting of component asset $i$ (that is, the proportion of asset "i" in the portfolio, so that $\sum_i w_i=1$ ).
- Portfolio return variance:
$$
\sigma_p^2=\sum_i w_i^2 \sigma_i^2+\sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
where $\sigma_i$ is the (sample) standard deviation of the periodic returns on an asset $i$, and $\rho_{i j}$ is the correlation coefficient between the returns on assets $i$ and $j$. Alternatively the expression can be written as:
$$
\sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
where $\rho_{i j}=1$ for $i=j$, or
$$
\sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{i j}
$$
where $\sigma_{i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$ is the (sample) covariance of the periodic returns on the two assets, or alternatively denoted as $\sigma(i, j)$, $\operatorname{cov}{ }_{i j}$ or $\operatorname{cov}(i, j)$.
- Portfolio return volatility (standard deviation):
$$
\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}
$$
For a two-asset portfolio:
- Portfolio return: 
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+\left(1-w_A\right) \mathrm{E}\left(R_B\right)$$

- Portfolio variance: 
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$
For a three-asset portfolio:
- Portfolio return: 
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)+w_C \mathrm{E}\left(R_C\right)$$
- Portfolio variance: 
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$
- Rendement attendu :
$$
\mathrm{E}\left(R_p\right)=\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right)
$$
où $R_p$ est le rendement du portefeuille, $R_i$ est le rendement de l'actif $i$ et $w_i$ est la pondération de l'actif composant $i$ (c'est-à-dire la proportion de l'actif "i" dans le portefeuille, de sorte que $\sum_i w_i=1$ ).
- Variance du rendement du portefeuille :
$$
\sigma_p^2=\sum_i w_i^2 \sigma_i^2+\sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
où $\sigma_i$ est l'écart-type (de l'échantillon) des rendements périodiques d'un actif $i$, et $\rho_{i j}$ est le coefficient de corrélation entre les rendements des actifs $i$ et $j$. L'expression peut également s'écrire comme suit
$$
\sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
où $\rho_{i j}=1$ pour $i=j$, ou
$$
\sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{i j}
$$
où $\sigma_{i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$ est la covariance (d'échantillon) des rendements périodiques des deux actifs, ou encore $\sigma(i, j)$, $\operatorname{cov}{ }_{i j}$ ou $\operatorname{cov}(i, j)$.
- Volatilité du rendement du portefeuille (écart-type) :
$$
\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}
$$
Pour un portefeuille à deux actifs :
- Rendement du portefeuille :
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+\left(1-w_A\right) \mathrm{E}\left(R_B\right)$$$

- Variance du portefeuille :
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$$
Pour un portefeuille de trois actifs :
- Rendement du portefeuille :
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)+w_C \mathrm{E}\left(R_C\right)$$ $$
- Variance du portefeuille :
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$$.
information_extraction
La TPM part du principe que les investisseurs ont une aversion pour le risque, ce qui signifie que, face à deux portefeuilles offrant le même rendement escompté, les investisseurs préféreront le moins risqué. Ainsi, un investisseur ne prendra un risque accru que s'il est compensé par un rendement attendu plus élevé. Inversement, un investisseur qui souhaite des rendements attendus plus élevés doit accepter plus de risques. L'arbitrage exact ne sera pas le même pour tous les investisseurs. Chaque investisseur évaluera le compromis différemment en fonction de ses caractéristiques individuelles d'aversion au risque. Il en résulte qu'un investisseur rationnel n'investira pas dans un portefeuille s'il existe un second portefeuille présentant un profil risque-rendement attendu plus favorable, c'est-à-dire si, pour ce niveau de risque, il existe un portefeuille alternatif offrant de meilleurs rendements attendus.

Dans le cadre du modèle :

Le rendement du portefeuille est la combinaison proportionnellement pondérée des rendements des actifs qui le composent.
Volatilité du rendement du portefeuille
\sigma _{p} est une fonction des corrélations ρij des actifs constitutifs, pour toutes les paires d'actifs (i, j). La volatilité donne une idée du risque associé à l'investissement. Plus la volatilité est élevée, plus le risque est important.
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