Im vorliegenden Text werden mehrere Beispiele für eine Metrik genannt. Extrahiere das dritte Beispiel für eine Metrik.
In the provided text multiple examples of a metric are given. Extract the third example of a metric.
The third metric or distance function that was encountered in this example is the Hamming distance. The Hamming distance measures the number of character changes that are needed to transform a given string to another.
Die dritte Metrik oder Abstandsfunktion, die wir in diesem Beispiel kennengelernt haben, ist der Hamming-Abstand. Die Hamming-Distanz misst die Anzahl der Zeichenänderungen, die nötig sind, um eine bestimmte Zeichenkette in eine andere umzuwandeln.
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In der Mathematik ist ein metrischer Raum eine Menge mit einem Begriff für den Abstand zwischen ihren Elementen, die normalerweise Punkte genannt werden. Der Abstand wird durch eine Funktion gemessen, die metrische Funktion oder Abstandsfunktion genannt wird. Metrische Räume sind der allgemeinste Rahmen für die Untersuchung vieler Konzepte der mathematischen Analyse und Geometrie.

Das bekannteste Beispiel für einen metrischen Raum ist der 3-dimensionale euklidische Raum mit seinem üblichen Begriff des Abstands. Andere bekannte Beispiele sind die Kugel mit dem Winkelabstand und die hyperbolische Ebene. Eine Metrik kann eher einem metaphorischen als einem physikalischen Abstandsbegriff entsprechen: Die Menge der 100 Zeichen langen Unicode-Zeichenfolgen kann zum Beispiel mit der Hamming-Distanz versehen werden, die die Anzahl der Zeichen misst, die geändert werden müssen, um von einer Zeichenfolge zu einer anderen zu gelangen.

Da sie sehr allgemein sind, werden metrische Räume in vielen verschiedenen Zweigen der Mathematik eingesetzt. Viele Arten von mathematischen Objekten haben einen natürlichen Begriff von Abstand und lassen daher die Struktur eines metrischen Raums zu, darunter Riemannsche Mannigfaltigkeiten, normierte Vektorräume und Graphen. In der abstrakten Algebra tauchen die p-adischen Zahlen als Elemente der Vervollständigung einer metrischen Struktur der rationalen Zahlen auf. Metrische Räume werden auch in der metrischen Geometrie und der Analysis auf metrischen Räumen untersucht.

Viele der grundlegenden Begriffe der mathematischen Analyse, wie z. B. Kugeln, Vollständigkeit sowie Uniform-, Lipschitz- und Hölder-Kontinuität, können im Rahmen metrischer Räume definiert werden. Andere Begriffe wie Kontinuität, Kompaktheit sowie offene und geschlossene Mengen können für metrische Räume, aber auch für den noch allgemeineren Rahmen topologischer Räume definiert werden.
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