Extraire les deux propriétés qui suffisent à montrer qu'un sous-ensemble de l'espace euclidien est compact. Présenter ces propriétés dans une liste à puces.
Extract the two properties that are sufficient to show that a subset of Euclidean space is compact. Present these properties in a bullet list.
According to the Heine-Borel theorem the following properties are sufficient to show that a subset of Euclidean space is compact:
- The set is closed
- The set is bounded
Selon le théorème de Heine-Borel, les propriétés suivantes suffisent à montrer qu'un sous-ensemble de l'espace euclidien est compact :
- L'ensemble est fermé
- L'ensemble est borné
information_extraction
Diverses définitions de la compacité peuvent s'appliquer, en fonction du niveau de généralité. En particulier, un sous-ensemble de l'espace euclidien est dit compact s'il est fermé et borné. Cela implique, par le théorème de Bolzano-Weierstrass, que toute séquence infinie de l'ensemble possède une sous-séquence qui converge vers un point de l'ensemble. Diverses notions équivalentes de compacité, telles que la compacité séquentielle et la compacité du point limite, peuvent être développées dans des espaces métriques généraux.

En revanche, les différentes notions de compacité ne sont pas équivalentes dans les espaces topologiques généraux, et la notion la plus utile de compacité - appelée à l'origine bicompacité - est définie à l'aide de couvertures constituées d'ensembles ouverts (voir la définition de la couverture ouverte ci-dessous). Le fait que cette forme de compacité soit valable pour les sous-ensembles fermés et bornés de l'espace euclidien est connu sous le nom de théorème de Heine-Borel. La compacité, lorsqu'elle est définie de cette manière, permet souvent de prendre des informations connues localement - dans un voisinage de chaque point de l'espace - et de les étendre à des informations valables globalement dans tout l'espace. Un exemple de ce phénomène est le théorème de Dirichlet, appliqué à l'origine par Heine, selon lequel une fonction continue sur un intervalle compact est uniformément continue ; ici, la continuité est une propriété locale de la fonction, et la continuité uniforme la propriété globale correspondante.
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