Beschreibe die Lie-Algebra
Describe Lie Algebra
Unfortunately, there is no universally accepted definition of a simple Lie group. In particular, it is not always defined as a Lie group that is simple as an abstract group. Authors differ on whether a simple Lie group has to be connected, or on whether it is allowed to have a non-trivial center, or on whether 
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\mathbb {R}  is a simple Lie group.

The most common definition is that a Lie group is simple if it is connected, non-abelian, and every closed connected normal subgroup is either the identity or the whole group. In particular, simple groups are allowed to have a non-trivial center, but 
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\mathbb {R}  is not simple.

In this article the connected simple Lie groups with trivial center are listed. Once these are known, the ones with non-trivial center are easy to list as follows. Any simple Lie group with trivial center has a universal cover, whose center is the fundamental group of the simple Lie group. The corresponding simple Lie groups with non-trivial center can be obtained as quotients of this universal cover by a subgroup of the center.

Alternatives
An equivalent definition of a simple Lie group follows from the Lie correspondence: A connected Lie group is simple if its Lie algebra is simple. An important technical point is that a simple Lie group may contain discrete normal subgroups. For this reason, the definition of a simple Lie group is not equivalent to the definition of a Lie group that is simple as an abstract group.

Simple Lie groups include many classical Lie groups, which provide a group-theoretic underpinning for spherical geometry, projective geometry and related geometries in the sense of Felix Klein's Erlangen program. It emerged in the course of classification of simple Lie groups that there exist also several exceptional possibilities not corresponding to any familiar geometry. These exceptional groups account for many special examples and configurations in other branches of mathematics, as well as contemporary theoretical physics.

As a counterexample, the general linear group is neither simple, nor semisimple. This is because multiples of the identity form a nontrivial normal subgroup, thus evading the definition. Equivalently, the corresponding Lie algebra has a degenerate Killing form, because multiples of the identity map to the zero element of the algebra. Thus, the corresponding Lie algebra is also neither simple nor semisimple. Another counter-example are the special orthogonal groups in even dimension. These have the matrix 
−
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-I in the center, and this element is path-connected to the identity element, and so these groups evade the definition. Both of these are reductive groups.
Leider gibt es keine allgemeingültige Definition einer einfachen Lie-Gruppe. Insbesondere wird sie nicht immer als eine Lie-Gruppe definiert, die als abstrakte Gruppe einfach ist. Die Autoren sind sich nicht einig, ob eine einfache Lie-Gruppe zusammenhängend sein muss, ob sie ein nicht-triviales Zentrum haben darf oder ob
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\mathbb {R} eine einfache Lie-Gruppe ist.

Die gängigste Definition besagt, dass eine Lie-Gruppe einfach ist, wenn sie zusammenhängend und nichtabel ist und jede geschlossene, zusammenhängende normale Untergruppe entweder die Identität oder die ganze Gruppe ist. Insbesondere dürfen einfache Gruppen ein nicht-triviales Zentrum haben, aber
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\mathbb {R} ist nicht einfach.

In diesem Artikel werden die zusammenhängenden einfachen Lie-Gruppen mit trivialem Zentrum aufgelistet. Sobald diese bekannt sind, lassen sich die Gruppen mit nicht-trivialen Zentren wie folgt auflisten. Jede einfache Lie-Gruppe mit trivialem Zentrum hat eine universelle Hülle, deren Zentrum die Fundamentalgruppe der einfachen Lie-Gruppe ist. Die entsprechenden einfachen Lie-Gruppen mit nicht-trivialem Zentrum können als Quotienten dieser universellen Hülle durch eine Untergruppe des Zentrums erhalten werden.

Alternativen
Eine äquivalente Definition einer einfachen Lie-Gruppe ergibt sich aus der Lie-Korrespondenz: Eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist einfach, wenn ihre Lie-Algebra einfach ist. Ein wichtiger technischer Punkt ist, dass eine einfache Lie-Gruppe diskrete normale Untergruppen enthalten kann. Aus diesem Grund ist die Definition einer einfachen Lie-Gruppe nicht gleichwertig mit der Definition einer abstrakten Lie-Gruppe, die einfach ist.

Zu den einfachen Lie-Gruppen gehören viele klassische Lie-Gruppen, die eine gruppentheoretische Grundlage für die sphärische Geometrie, die projektive Geometrie und verwandte Geometrien im Sinne des Erlanger Programms von Felix Klein bilden. Bei der Klassifizierung der einfachen Lie-Gruppen stellte sich heraus, dass es auch einige außergewöhnliche Möglichkeiten gibt, die keiner bekannten Geometrie entsprechen. Diese außergewöhnlichen Gruppen sind der Grund für viele besondere Beispiele und Konfigurationen in anderen Zweigen der Mathematik sowie in der modernen theoretischen Physik.

Ein Gegenbeispiel ist die allgemeine lineare Gruppe, die weder einfach noch halb-einfach ist. Das liegt daran, dass Vielfache der Identität eine nichttriviale normale Untergruppe bilden und damit die Definition umgehen. Entsprechend hat die entsprechende Lie-Algebra eine entartete Killing-Form, weil Vielfache der Identität auf das Nullelement der Algebra abgebildet werden. Die entsprechende Lie-Algebra ist also weder einfach noch halb-einfach. Ein weiteres Gegenbeispiel sind die speziellen orthogonalen Gruppen in gerader Dimension. Diese haben die Matrix
-
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-I in der Mitte und dieses Element ist mit dem Identitätselement verbunden, so dass diese Gruppen die Definition umgehen. Diese beiden Gruppen sind reduktive Gruppen.
information_extraction
In der Mathematik ist eine einfache Lie-Gruppe eine zusammenhängende nicht-abelsche Lie-Gruppe G, die keine nichttrivialen zusammenhängenden normalen Untergruppen hat. Die Liste der einfachen Lie-Gruppen kann verwendet werden, um die Liste der einfachen Lie-Algebren und der symmetrischen Riemannschen Räume abzulesen.

Zusammen mit der kommutativen Lie-Gruppe der reellen Zahlen,
\mathbb {R} , und der Gruppe der komplexen Zahlen der Einheitsgröße U(1) (dem Einheitskreis) bilden die einfachen Lie-Gruppen die atomaren "Blöcke", aus denen sich alle (endlich-dimensionalen) zusammenhängenden Lie-Gruppen durch die Operation der Gruppenerweiterung zusammensetzen. Viele häufig vorkommende Lie-Gruppen sind entweder einfach oder "nahe dran", einfach zu sein: Die so genannte "spezielle lineare Gruppe" SL(n) von n mal n Matrizen mit der Determinante 1 ist beispielsweise einfach für alle n > 1.

Die erste Klassifizierung der einfachen Lie-Gruppen stammt von Wilhelm Killing, und diese Arbeit wurde später von Élie Cartan perfektioniert. Die endgültige Klassifikation wird oft als Killing-Cartan-Klassifikation bezeichnet.
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