Gib mir einen Beweis dafür, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist
Give me a proof that the square root of 2 is irrational
Here is a proof by contradiction that the square root of 2 is irrational. First, recall that irrational numbers are numbers that cannot be written as p / q for integers p and q. Assume for contradiction that the square root of 2 is rational, which would mean that sqrt(2) = p / q for some integers p and q. Further assume without loss of generality that this fraction is in reduced form, meaning that p and q share no common factors. We can assume this because any integer fraction can be written in such a reduced form, so the existence of any rational representation for sqrt(2) would imply the existence of one in reduced form. Now we square both sides of the above equation, yielding

2 = p^2 / q^2

for some integers p and q not sharing any common factors. Now multiply by q^2 to get

2 * q^2 = p^2

Note that the left hand side is even due to the factor of 2, so the right hand side p^2 is even as well. This means that p must be even as well, otherwise p^2 would not be even. So p can be written as 2 * x for some integer x. Substituting this into the above equation, we get

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

Note that both sides of the equation have a factor of 2 we can cancel. Doing this, we get

q^2 = 2 * x^2

By an argument analogous to the one above, we can conclude that q is even. However this contradicts our assumption that p and q shared no common factors. Therefore our initial assumption that sqrt(2) is rational was false, which is what we set out to prove.
Hier ist ein Widerspruchsbeweis, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist. Nimm an, dass die Quadratwurzel aus 2 rational ist, was bedeuten würde, dass sqrt(2) = p / q für einige ganze Zahlen p und q ist. Nimm weiter an, dass dieser Bruch in reduzierter Form vorliegt, was bedeutet, dass p und q keine gemeinsamen Faktoren haben. Wir können dies annehmen, weil jeder ganzzahlige Bruch in einer solchen reduzierten Form geschrieben werden kann, sodass die Existenz einer rationalen Darstellung für sqrt(2) die Existenz einer solchen in reduzierter Form impliziert. Jetzt quadrieren wir beide Seiten der obigen Gleichung und erhalten folgendes Ergebnis

2 = p^2 / q^2

für einige ganze Zahlen p und q, die keine gemeinsamen Faktoren haben. Nun multiplizieren wir mit q^2 und erhalten

2 * q^2 = p^2

Beachte, dass die linke Seite aufgrund des Faktors 2 gerade ist, also ist auch die rechte Seite p^2 gerade. Das bedeutet, dass auch p gerade sein muss, sonst wäre p^2 nicht gerade. Also kann p als 2 * x für eine ganze Zahl x geschrieben werden. Setzt man dies in die obige Gleichung ein, erhält man

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

Beachte, dass beide Seiten der Gleichung einen Faktor von 2 haben, den wir streichen können. So erhalten wir

q^2 = 2 * x^2

Durch ein ähnliches Argument wie oben können wir schließen, dass q gerade ist. Das widerspricht jedoch unserer Annahme, dass p und q keine gemeinsamen Faktoren haben. Daher war unsere ursprüngliche Annahme, dass sqrt(2) rational ist, falsch, und genau das wollten wir beweisen.
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