Décrire l'algèbre de Lie
Describe Lie Algebra
Unfortunately, there is no universally accepted definition of a simple Lie group. In particular, it is not always defined as a Lie group that is simple as an abstract group. Authors differ on whether a simple Lie group has to be connected, or on whether it is allowed to have a non-trivial center, or on whether 
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\mathbb {R}  is a simple Lie group.

The most common definition is that a Lie group is simple if it is connected, non-abelian, and every closed connected normal subgroup is either the identity or the whole group. In particular, simple groups are allowed to have a non-trivial center, but 
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\mathbb {R}  is not simple.

In this article the connected simple Lie groups with trivial center are listed. Once these are known, the ones with non-trivial center are easy to list as follows. Any simple Lie group with trivial center has a universal cover, whose center is the fundamental group of the simple Lie group. The corresponding simple Lie groups with non-trivial center can be obtained as quotients of this universal cover by a subgroup of the center.

Alternatives
An equivalent definition of a simple Lie group follows from the Lie correspondence: A connected Lie group is simple if its Lie algebra is simple. An important technical point is that a simple Lie group may contain discrete normal subgroups. For this reason, the definition of a simple Lie group is not equivalent to the definition of a Lie group that is simple as an abstract group.

Simple Lie groups include many classical Lie groups, which provide a group-theoretic underpinning for spherical geometry, projective geometry and related geometries in the sense of Felix Klein's Erlangen program. It emerged in the course of classification of simple Lie groups that there exist also several exceptional possibilities not corresponding to any familiar geometry. These exceptional groups account for many special examples and configurations in other branches of mathematics, as well as contemporary theoretical physics.

As a counterexample, the general linear group is neither simple, nor semisimple. This is because multiples of the identity form a nontrivial normal subgroup, thus evading the definition. Equivalently, the corresponding Lie algebra has a degenerate Killing form, because multiples of the identity map to the zero element of the algebra. Thus, the corresponding Lie algebra is also neither simple nor semisimple. Another counter-example are the special orthogonal groups in even dimension. These have the matrix 
−
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-I in the center, and this element is path-connected to the identity element, and so these groups evade the definition. Both of these are reductive groups.
Malheureusement, il n'existe pas de définition universellement acceptée d'un groupe de Lie simple. En particulier, il n'est pas toujours défini comme un groupe de Lie simple en tant que groupe abstrait. Les auteurs divergent sur la question de savoir si un groupe de Lie simple doit être connecté, ou s'il est autorisé à avoir un centre non trivial, ou si
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\mathbb {R} est un groupe de Lie simple.

La définition la plus courante est qu'un groupe de Lie est simple s'il est connecté, non abélien, et que chaque sous-groupe normal connecté fermé est soit l'identité, soit le groupe entier. En particulier, les groupes simples sont autorisés à avoir un centre non trivial, mais
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\mathbb {R} n'est pas simple.

Dans cet article, les groupes de Lie simples connectés avec un centre trivial sont listés. Une fois ceux-ci connus, il est facile d'énumérer ceux qui ont un centre non trivial comme suit. Tout groupe de Lie simple à centre trivial possède une couverture universelle dont le centre est le groupe fondamental du groupe de Lie simple. Les groupes de Lie simples correspondants à centre non trivial peuvent être obtenus comme quotients de cette couverture universelle par un sous-groupe du centre.

Alternatives
Une définition équivalente d'un groupe de Lie simple découle de la correspondance de Lie : Un groupe de Lie connecté est simple si son algèbre de Lie est simple. Un point technique important est qu'un groupe de Lie simple peut contenir des sous-groupes normaux discrets. Pour cette raison, la définition d'un groupe de Lie simple n'est pas équivalente à la définition d'un groupe de Lie simple en tant que groupe abstrait.

Les groupes de Lie simples comprennent de nombreux groupes de Lie classiques, qui fournissent une base théorique pour la géométrie sphérique, la géométrie projective et les géométries connexes au sens du programme d'Erlangen de Felix Klein. Au cours de la classification des groupes de Lie simples, il est apparu qu'il existait également plusieurs possibilités exceptionnelles ne correspondant à aucune géométrie familière. Ces groupes exceptionnels sont à l'origine de nombreux exemples et configurations particuliers dans d'autres branches des mathématiques, ainsi que dans la physique théorique contemporaine.

À titre de contre-exemple, le groupe linéaire général n'est ni simple, ni semi-simple. En effet, les multiples de l'identité forment un sous-groupe normal non trivial, échappant ainsi à la définition. De manière équivalente, l'algèbre de Lie correspondante a une forme de Killing dégénérée, parce que les multiples de l'identité se traduisent par l'élément zéro de l'algèbre. Ainsi, l'algèbre de Lie correspondante n'est ni simple ni semi-simple. Les groupes orthogonaux spéciaux en dimension paire constituent un autre contre-exemple. Ceux-ci ont la matrice
-
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-I au centre, et cet élément est relié par un chemin à l'élément d'identité, de sorte que ces groupes échappent à la définition. Ces deux groupes sont des groupes réductifs.
information_extraction
En mathématiques, un groupe de Lie simple est un groupe de Lie non abélien connecté G qui ne possède pas de sous-groupes normaux connectés non triviaux. La liste des groupes de Lie simples peut être utilisée pour lire la liste des algèbres de Lie simples et des espaces symétriques riemanniens.

Avec le groupe de Lie commutatif des nombres réels,
\mathbb {R} , et celui des nombres complexes de magnitude unitaire, U(1) (le cercle unitaire), les groupes de Lie simples constituent les "blocs" atomiques qui composent tous les groupes de Lie connectés (de dimension finie) par l'intermédiaire de l'opération d'extension de groupe. De nombreux groupes de Lie couramment rencontrés sont soit simples, soit "proches" d'être simples : par exemple, le "groupe linéaire spécial" SL(n) des matrices n par n dont le déterminant est égal à 1 est simple pour tout n > 1.

La première classification des groupes de Lie simples a été établie par Wilhelm Killing, et ce travail a ensuite été perfectionné par Élie Cartan. La classification finale est souvent appelée classification de Killing-Cartan.
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