Bitte gib mir eine Zusammenfassung der Bedeutung eines Derivats.
Please give me a summary of the meaning of a derivative.
A derivative is a function that measures the sensitivity to change a functions output based on changes to the input. For example, how quickly the position of an object moves over a defined time period (i.e., the derivative of the position with respect to time) is the object's velocity.
Eine Ableitung ist eine Funktion, die misst, wie empfindlich die Ausgabe einer Funktion auf Änderungen der Eingabe reagiert. Wie schnell sich zum Beispiel die Position eines Objekts innerhalb eines bestimmten Zeitraums bewegt (d.h. die Ableitung der Position nach der Zeit), ist die Geschwindigkeit des Objekts.
summarization
In der Mathematik misst die Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen die Empfindlichkeit der Änderung des Funktionswerts (Ausgabewert) in Bezug auf eine Änderung seines Arguments (Eingabewert). Ableitungen sind ein grundlegendes Instrument der Kalkulation. Die Ableitung der Position eines sich bewegenden Objekts nach der Zeit ist zum Beispiel die Geschwindigkeit des Objekts: Sie misst, wie schnell sich die Position des Objekts ändert, wenn die Zeit voranschreitet.

Die Ableitung einer Funktion einer einzelnen Variablen bei einem bestimmten Eingangswert ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt, sofern sie existiert. Die Tangente ist die beste lineare Annäherung an die Funktion in der Nähe dieses Eingangswerts. Aus diesem Grund wird die Ableitung oft als "momentane Änderungsrate" bezeichnet, also als das Verhältnis der momentanen Änderung der abhängigen Variablen zu der der unabhängigen Variablen.

Ableitungen können auf Funktionen mit mehreren realen Variablen verallgemeinert werden. Bei dieser Verallgemeinerung wird die Ableitung als eine lineare Transformation umgedeutet, deren Graph (nach einer geeigneten Übersetzung) die beste lineare Annäherung an den Graphen der ursprünglichen Funktion ist. Die Jacobimatrix ist die Matrix, die diese lineare Transformation in Bezug auf die durch die Wahl der unabhängigen und abhängigen Variablen gegebene Basis darstellt. Sie kann anhand der partiellen Ableitungen nach den unabhängigen Variablen berechnet werden. Bei einer reellwertigen Funktion mit mehreren Variablen lässt sich die Jacobimatrix auf den Gradientenvektor reduzieren.

Der Prozess, eine Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt. Der umgekehrte Prozess wird als Antidifferenzierung bezeichnet. Der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung setzt die Antidifferenzierung mit der Integration in Beziehung. Differenzierung und Integration sind die beiden grundlegenden Operationen in der Eingrößenrechnung.
de