Was ist das Besondere an den Primzahlen im folgenden Text?
Given the following text, what is special about Prime Numbers?
A prime number is a natural number great than one that is only divisible by itself and one. e.g. 5 is a prime number as it is only divisible by 5 and 1, but 4 is not as 4 is divisible by 4,2 and 1
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als eins, die nur durch sich selbst und eins teilbar ist. z.B. ist 5 eine Primzahl, da sie nur durch 5 und 1 teilbar ist, aber 4 ist keine Primzahl, da 4 durch 4, 2 und 1 teilbar ist
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Eine Primzahl (oder eine Primzahl) ist eine natürliche Zahl größer als 1, die kein Produkt aus zwei kleineren natürlichen Zahlen ist. Eine natürliche Zahl größer als 1, die keine Primzahl ist, nennt man eine zusammengesetzte Zahl. Zum Beispiel ist 5 eine Primzahl, weil die einzigen Möglichkeiten, sie als Produkt zu schreiben, 1 × 5 oder 5 × 1, die 5 selbst beinhalten. Die 4 hingegen ist zusammengesetzt, weil sie ein Produkt (2 × 2) ist, bei dem beide Zahlen kleiner als 4 sind. Primzahlen sind in der Zahlentheorie von zentraler Bedeutung, weil es den Fundamentalsatz der Arithmetik gibt: Jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist, ist entweder selbst eine Primzahl oder kann als Produkt von Primzahlen faktorisiert werden, das bis zu ihrer Reihenfolge eindeutig ist.

Die Eigenschaft, eine Primzahl zu sein, nennt man Primärität. Eine einfache, aber langsame Methode, um die Primzahl einer bestimmten Zahl zu überprüfen, ist
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n, die sogenannte Probedivision, prüft, ob
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n ein Vielfaches einer beliebigen ganzen Zahl zwischen 2 und
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{sqrt {n}} ist. Zu den schnelleren Algorithmen gehören der Miller-Rabin-Primatitätstest, der schnell ist, aber eine kleine Fehlerwahrscheinlichkeit hat, und der AKS-Primatitätstest, der in Polynomzeit immer die richtige Antwort liefert, aber zu langsam ist, um praktisch zu sein. Besonders schnelle Methoden gibt es für Zahlen mit besonderen Formen, wie die Mersenne-Zahlen. Im Dezember 2018 ist die größte bekannte Primzahl eine Mersenne-Primzahl mit 24.862.048 Dezimalstellen.

Es gibt unendlich viele Primzahlen, wie Euklid um 300 v. Chr. gezeigt hat. Es ist keine einfache Formel bekannt, die Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen trennt. Allerdings lässt sich die Verteilung der Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen im Großen statistisch modellieren. Das erste Ergebnis in dieser Richtung ist der Primzahlensatz, der Ende des 19. Jahrhunderts bewiesen wurde und besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte große Zahl eine Primzahl ist, umgekehrt proportional zu ihrer Stellenzahl, also zu ihrem Logarithmus, ist.

Einige historische Fragen zu Primzahlen sind immer noch ungelöst. Dazu gehören Goldbachs Vermutung, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen ausgedrückt werden kann, und die Zwillingsprimzahlvermutung, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen gibt, zwischen denen nur eine gerade Zahl liegt. Diese Fragen gaben den Anstoß für die Entwicklung verschiedener Zweige der Zahlentheorie, die sich mit den analytischen oder algebraischen Aspekten von Zahlen beschäftigen. Primzahlen werden in verschiedenen Verfahren der Informationstechnologie verwendet, z. B. in der Public-Key-Kryptografie, die sich auf die Schwierigkeit stützt, große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen. In der abstrakten Algebra gibt es Objekte, die sich ähnlich wie Primzahlen verhalten, z. B. Primfaktoren und Primideale.
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