Warum funktioniert die Methode des Teilens und des Durchschnitts zur Berechnung von Quadratwurzeln?
Why does the divide and average method for computing square roots work?
The divide and average method for computing square roots starts with a guess of the square root. For example, to compute the square root of 8, we might start with 3, since we know 9 is the square of 3. Given a guess, the method is a formula for generating the next guess. The formula states the next guess should be average of the current guess and the square (the number for which you want compute the square root) divided by the guess. Returning to our example, the next guess is (3 + 8/3)/2 = 17/6. Applying this formula repeatedly yields a guess which is closer and closer to actual square root.

The reason this works is that limit of the sequence of guesses generated by this formula is the square root. To see this, first recognize that in the limit, next guess must be equal to the current guess. The guesses get closer and closer until, after an infinite number of steps, they are the same. Using a variable X to represent the limit and applying the formula yields an equation which can be solved for X via algebra. The solution is that X must be square root.
Die Divisions- und Durchschnittsmethode zur Berechnung von Quadratwurzeln beginnt mit einer Schätzung der Quadratwurzel. Um zum Beispiel die Quadratwurzel aus 8 zu berechnen, könnten wir mit 3 beginnen, da wir wissen, dass 9 das Quadrat von 3 ist. Die Methode besteht aus einer Formel für die nächste Schätzung. Die Formel besagt, dass die nächste Schätzung der Durchschnitt aus der aktuellen Schätzung und dem Quadrat (der Zahl, für die du die Quadratwurzel berechnen willst) geteilt durch die Schätzung sein sollte. Um zu unserem Beispiel zurückzukehren: Die nächste Schätzung ist (3 + 8/3)/2 = 17/6. Die wiederholte Anwendung dieser Formel führt zu einer Schätzung, die der tatsächlichen Quadratwurzel immer näher kommt.

Der Grund dafür ist, dass der Grenzwert der Folge von Schätzungen, die durch diese Formel erzeugt wird, die Quadratwurzel ist. Um das zu erkennen, musst du zuerst erkennen, dass die nächste Schätzung gleich der aktuellen Schätzung sein muss. Die Schätzungen nähern sich immer mehr an, bis sie nach einer unendlichen Anzahl von Schritten identisch sind. Wenn du eine Variable X für den Grenzwert verwendest und die Formel anwendest, erhältst du eine Gleichung, die du mit Hilfe der Algebra für X lösen kannst. Die Lösung lautet, dass X die Quadratwurzel sein muss.
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