Prouvez-moi que la racine carrée de 2 est irrationnelle
Give me a proof that the square root of 2 is irrational
Here is a proof by contradiction that the square root of 2 is irrational. First, recall that irrational numbers are numbers that cannot be written as p / q for integers p and q. Assume for contradiction that the square root of 2 is rational, which would mean that sqrt(2) = p / q for some integers p and q. Further assume without loss of generality that this fraction is in reduced form, meaning that p and q share no common factors. We can assume this because any integer fraction can be written in such a reduced form, so the existence of any rational representation for sqrt(2) would imply the existence of one in reduced form. Now we square both sides of the above equation, yielding

2 = p^2 / q^2

for some integers p and q not sharing any common factors. Now multiply by q^2 to get

2 * q^2 = p^2

Note that the left hand side is even due to the factor of 2, so the right hand side p^2 is even as well. This means that p must be even as well, otherwise p^2 would not be even. So p can be written as 2 * x for some integer x. Substituting this into the above equation, we get

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

Note that both sides of the equation have a factor of 2 we can cancel. Doing this, we get

q^2 = 2 * x^2

By an argument analogous to the one above, we can conclude that q is even. However this contradicts our assumption that p and q shared no common factors. Therefore our initial assumption that sqrt(2) is rational was false, which is what we set out to prove.
Voici une preuve par contradiction que la racine carrée de 2 est irrationnelle. Tout d'abord, rappelons que les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être écrits sous la forme p / q pour les entiers p et q. Supposons par contradiction que la racine carrée de 2 est rationnelle, ce qui signifierait que sqrt(2) = p / q pour certains entiers p et q. Supposons en outre, sans perte de généralité, que cette fraction est sous forme réduite, ce qui signifie que p et q n'ont aucun facteur commun. Nous pouvons supposer cela parce que toute fraction entière peut être écrite sous une telle forme réduite, donc l'existence de toute représentation rationnelle pour sqrt(2) impliquerait l'existence d'une représentation sous forme réduite. Maintenant, nous élevons au carré les deux côtés de l'équation ci-dessus, ce qui donne

2 = p^2 / q^2

pour certains entiers p et q ne partageant aucun facteur commun. Multiplions maintenant par q^2 pour obtenir

2 * q^2 = p^2

Notez que le côté gauche est pair en raison du facteur 2, donc le côté droit p^2 est également pair. Cela signifie que p doit également être pair, sinon p^2 ne serait pas pair. Donc p peut être écrit comme 2 * x pour un entier x. En substituant ceci dans l'équation ci-dessus, nous obtenons

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

Notons que les deux côtés de l'équation ont un facteur 2 que nous pouvons annuler. Ce faisant, nous obtenons

q^2 = 2 * x^2

Par un argument analogue à celui ci-dessus, nous pouvons conclure que q est pair. Cependant, cela contredit notre hypothèse selon laquelle p et q n'ont aucun facteur commun. Par conséquent, notre hypothèse initiale selon laquelle sqrt(2) est rationnel était fausse, ce que nous voulions prouver.
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