¿Por qué funciona el método de dividir y promediar para calcular raíces cuadradas?
Why does the divide and average method for computing square roots work?
The divide and average method for computing square roots starts with a guess of the square root. For example, to compute the square root of 8, we might start with 3, since we know 9 is the square of 3. Given a guess, the method is a formula for generating the next guess. The formula states the next guess should be average of the current guess and the square (the number for which you want compute the square root) divided by the guess. Returning to our example, the next guess is (3 + 8/3)/2 = 17/6. Applying this formula repeatedly yields a guess which is closer and closer to actual square root.

The reason this works is that limit of the sequence of guesses generated by this formula is the square root. To see this, first recognize that in the limit, next guess must be equal to the current guess. The guesses get closer and closer until, after an infinite number of steps, they are the same. Using a variable X to represent the limit and applying the formula yields an equation which can be solved for X via algebra. The solution is that X must be square root.
El método de dividir y promediar para calcular raíces cuadradas comienza con una suposición de la raíz cuadrada. Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 8, podríamos empezar con 3, ya que sabemos que 9 es el cuadrado de 3. Dada una conjetura, el método es una fórmula para generar la siguiente conjetura. La fórmula establece que la siguiente conjetura debe ser la media de la conjetura actual y el cuadrado (el número para el que quieres calcular la raíz cuadrada) dividido por la conjetura. Volviendo a nuestro ejemplo, la siguiente suposición es (3 + 8/3)/2 = 17/6. Aplicando esta fórmula repetidamente se obtiene una suposición cada vez más cercana a la raíz cuadrada real.

La razón de que esto funcione es que el límite de la secuencia de conjeturas generada por esta fórmula es la raíz cuadrada. Para ver esto, primero reconoce que en el límite, la siguiente suposición debe ser igual a la suposición actual. Las conjeturas se acercan cada vez más hasta que, tras un número infinito de pasos, son iguales. Utilizando una variable X para representar el límite y aplicando la fórmula se obtiene una ecuación que puede resolverse para X mediante álgebra. La solución es que X debe ser raíz cuadrada.
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