Extrahiere die Formeln im Mathe-Latex-Markdown-Format, um die Portfoliorendite und -varianz in der Modernen Portfoliotheorie zu berechnen https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory
Extract the formulas in math latex markdown format to calculate the portfolio return and variance in Modern Portfolio Theory https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory
- Expected return:
$$
\mathrm{E}\left(R_p\right)=\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right)
$$
where $R_p$ is the return on the portfolio, $R_i$ is the return on asset $i$ and $w_i$ is the weighting of component asset $i$ (that is, the proportion of asset "i" in the portfolio, so that $\sum_i w_i=1$ ).
- Portfolio return variance:
$$
\sigma_p^2=\sum_i w_i^2 \sigma_i^2+\sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
where $\sigma_i$ is the (sample) standard deviation of the periodic returns on an asset $i$, and $\rho_{i j}$ is the correlation coefficient between the returns on assets $i$ and $j$. Alternatively the expression can be written as:
$$
\sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
where $\rho_{i j}=1$ for $i=j$, or
$$
\sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{i j}
$$
where $\sigma_{i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$ is the (sample) covariance of the periodic returns on the two assets, or alternatively denoted as $\sigma(i, j)$, $\operatorname{cov}{ }_{i j}$ or $\operatorname{cov}(i, j)$.
- Portfolio return volatility (standard deviation):
$$
\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}
$$
For a two-asset portfolio:
- Portfolio return: 
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+\left(1-w_A\right) \mathrm{E}\left(R_B\right)$$

- Portfolio variance: 
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$
For a three-asset portfolio:
- Portfolio return: 
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)+w_C \mathrm{E}\left(R_C\right)$$
- Portfolio variance: 
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$
- Erwartete Rendite:
$$
\mathrm{E}\left(R_p\right)=\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right)
$$
Dabei ist $R_p$ die Rendite des Portfolios, $R_i$ die Rendite von Vermögenswert $i$ und $w_i$ die Gewichtung der Komponente Vermögenswert $i$ (d.h. der Anteil von Vermögenswert "i" im Portfolio, so dass $\sum_i w_i=1$ ).
- Varianz der Portfoliorendite:
$$
\sigma_p^2=\sum_i w_i^2 \sigma_i^2+\sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
Dabei ist $\sigma_i$ die (Stichproben-)Standardabweichung der periodischen Renditen eines Vermögenswerts $i$ und $\rho_{i j}$ ist der Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der Vermögenswerte $i$ und $j$. Alternativ kann der Ausdruck auch wie folgt geschrieben werden:
$$
\sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i j}
$$
wobei $\rho_{i j}=1$ für $i=j$, oder
$$
\sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{i j}
$$
wobei $\sigma_{i j}=\sigma_i \sigma_j \rho_{i j}$ die (Stichproben-)Kovarianz der periodischen Renditen der beiden Vermögenswerte ist, oder alternativ als $\sigma(i, j)$, $\operatorname{cov}{ }_{i j}$ oder $\operatorname{cov}(i, j)$ bezeichnet wird.
- Volatilität der Portfoliorendite (Standardabweichung):
$$
\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}
$$
Für ein Portfolio mit zwei Vermögenswerten:
- Portfolio-Rendite:
$$ \mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+\left(1-w_A\right) \mathrm{E}\left(R_B\right)$$

- Portfolio-Varianz:
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}$$
Für ein Portfolio mit drei Vermögenswerten:
- Portfolio-Rendite:
$$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)+w_C \mathrm{E}\left(R_C\right)$$
- Portfolio-Varianz:
$$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{A B}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{A C}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{B C}$$
information_extraction
Die MPT geht davon aus, dass Anleger risikoscheu sind. Das bedeutet, dass Anleger bei zwei Portfolios mit gleicher Renditeerwartung das risikoärmere bevorzugen werden. Ein Anleger wird also nur dann ein höheres Risiko eingehen, wenn er dafür durch eine höhere erwartete Rendite entschädigt wird. Umgekehrt muss ein Anleger, der höhere Renditeerwartungen hat, mehr Risiko in Kauf nehmen. Der genaue Kompromiss wird nicht für alle Anleger gleich sein. Je nach individueller Risikobereitschaft werden verschiedene Anleger den Kompromiss unterschiedlich bewerten. Daraus folgt, dass ein rationaler Anleger nicht in ein Portfolio investieren wird, wenn es ein zweites Portfolio mit einem günstigeren Risiko-Ertrags-Profil gibt - d. h. wenn es für das gleiche Risiko ein alternatives Portfolio gibt, das bessere erwartete Erträge aufweist.

Nach diesem Modell:

Die Portfoliorendite ist die anteilig gewichtete Kombination aus den Renditen der einzelnen Vermögenswerte.
Volatilität der Portfoliorendite
\sigma _{p} ist eine Funktion der Korrelationen ρij der einzelnen Vermögenswerte für alle Vermögenspaare (i, j). Die Volatilität gibt Aufschluss über das Risiko, das mit der Investition verbunden ist. Je höher die Volatilität, desto höher ist das Risiko.
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