Was ist der zentrale Grenzwertsatz?
What is the central limit theorem
For example, suppose that a sample is obtained containing many observations, each observation being randomly generated in a way that does not depend on the values of the other observations, and that the arithmetic mean of the observed values is computed. If this procedure is performed many times, the central limit theorem says that the probability distribution of the average will closely approximate a normal distribution.

The central limit theorem has several variants. In its common form, the random variables must be independent and identically distributed (i.i.d.). In variants, convergence of the mean to the normal distribution also occurs for non-identical distributions or for non-independent observations, if they comply with certain conditions.

The earliest version of this theorem, that the normal distribution may be used as an approximation to the binomial distribution, is the de Moivre–Laplace theorem.
Nehmen wir zum Beispiel an, dass eine Stichprobe mit vielen Beobachtungen gewonnen wird, wobei jede Beobachtung zufällig und unabhängig von den Werten der anderen Beobachtungen erzeugt wird, und dass das arithmetische Mittel der beobachteten Werte berechnet wird. Wenn dieses Verfahren viele Male durchgeführt wird, besagt der zentrale Grenzwertsatz, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Mittelwerts einer Normalverteilung sehr nahe kommt.

Es gibt mehrere Varianten des zentralen Grenzwertsatzes. In der üblichen Form müssen die Zufallsvariablen unabhängig und identisch verteilt sein (i.i.d.). In Varianten tritt die Konvergenz des Mittelwerts zur Normalverteilung auch bei nicht-identischen Verteilungen oder bei nicht-unabhängigen Beobachtungen ein, wenn sie bestimmte Bedingungen erfüllen.

Die älteste Version dieses Theorems, dass die Normalverteilung als Annäherung an die Binomialverteilung verwendet werden kann, ist das de Moivre-Laplace-Theorem.
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In der Wahrscheinlichkeitstheorie besagt der zentrale Grenzwertsatz (CLT), dass der standardisierte Stichprobenmittelwert für identisch verteilte unabhängige Stichproben in vielen Situationen zur Standardnormalverteilung tendiert, auch wenn die ursprünglichen Variablen selbst nicht normal verteilt sind.

Das Theorem ist ein Schlüsselkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie, denn es besagt, dass probabilistische und statistische Methoden, die für Normalverteilungen funktionieren, auch auf viele Probleme mit anderen Verteilungen anwendbar sind.

Dieses Theorem hat im Laufe der formalen Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie viele Änderungen erfahren. Frühere Versionen des Satzes gehen auf das Jahr 1811 zurück, aber in seiner modernen allgemeinen Form wurde dieses grundlegende Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie erst 1920 präzise formuliert und dient damit als Brücke zwischen der klassischen und der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie.
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