Finde die beiden Eigenschaften heraus, die ausreichen, um zu zeigen, dass eine Teilmenge des euklidischen Raums kompakt ist. Stelle diese Eigenschaften in einer Aufzählung dar.
Extract the two properties that are sufficient to show that a subset of Euclidean space is compact. Present these properties in a bullet list.
According to the Heine-Borel theorem the following properties are sufficient to show that a subset of Euclidean space is compact:
- The set is closed
- The set is bounded
Nach dem Heine-Borel-Theorem sind die folgenden Eigenschaften ausreichend, um zu zeigen, dass eine Teilmenge des euklidischen Raums kompakt ist:
- Die Menge ist geschlossen
- Die Menge ist begrenzt
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Je nach Allgemeinheitsgrad können verschiedene Definitionen der Kompaktheit gelten. Eine Teilmenge des euklidischen Raums wird kompakt genannt, wenn sie geschlossen und begrenzt ist. Nach dem Bolzano-Weierstraß-Theorem bedeutet dies, dass jede unendliche Folge aus der Menge eine Teilfolge hat, die zu einem Punkt in der Menge konvergiert. Für allgemeine metrische Räume können verschiedene gleichwertige Begriffe der Kompaktheit entwickelt werden, z. B. sequentielle Kompaktheit und Grenzpunktkompaktheit.

Im Gegensatz dazu sind die verschiedenen Begriffe der Kompaktheit in allgemeinen topologischen Räumen nicht äquivalent, und der nützlichste Begriff der Kompaktheit - ursprünglich Bikompaktheit genannt - wird mit Hilfe von Überdeckungen definiert, die aus offenen Mengen bestehen (siehe Definition von offenen Überdeckungen unten). Dass diese Form der Kompaktheit für geschlossene und begrenzte Teilmengen des euklidischen Raums gilt, ist als Heine-Borel-Theorem bekannt. Die so definierte Kompaktheit ermöglicht es oft, Informationen, die lokal - in der Nähe jedes Punktes des Raumes - bekannt sind, auf Informationen auszuweiten, die global für den gesamten Raum gelten. Ein Beispiel für dieses Phänomen ist das Dirichlet-Theorem, das ursprünglich von Heine angewandt wurde und besagt, dass eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall gleichmäßig stetig ist; hier ist die Stetigkeit eine lokale Eigenschaft der Funktion und die gleichmäßige Stetigkeit die entsprechende globale Eigenschaft.
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