Pourquoi la méthode de la division et de la moyenne pour calculer les racines carrées fonctionne-t-elle ?
Why does the divide and average method for computing square roots work?
The divide and average method for computing square roots starts with a guess of the square root. For example, to compute the square root of 8, we might start with 3, since we know 9 is the square of 3. Given a guess, the method is a formula for generating the next guess. The formula states the next guess should be average of the current guess and the square (the number for which you want compute the square root) divided by the guess. Returning to our example, the next guess is (3 + 8/3)/2 = 17/6. Applying this formula repeatedly yields a guess which is closer and closer to actual square root.

The reason this works is that limit of the sequence of guesses generated by this formula is the square root. To see this, first recognize that in the limit, next guess must be equal to the current guess. The guesses get closer and closer until, after an infinite number of steps, they are the same. Using a variable X to represent the limit and applying the formula yields an equation which can be solved for X via algebra. The solution is that X must be square root.
La méthode de la division et de la moyenne pour calculer les racines carrées commence par une estimation de la racine carrée. Par exemple, pour calculer la racine carrée de 8, nous pourrions commencer par 3, puisque nous savons que 9 est le carré de 3. À partir d'une supposition, la méthode est une formule pour générer la supposition suivante. La formule stipule que l'hypothèse suivante doit être la moyenne de l'hypothèse actuelle et du carré (le nombre dont on veut calculer la racine carrée) divisé par l'hypothèse. Pour reprendre notre exemple, l'hypothèse suivante est (3 + 8/3)/2 = 17/6. L'application répétée de cette formule permet d'obtenir une estimation de plus en plus proche de la racine carrée réelle.

La raison pour laquelle cela fonctionne est que la limite de la séquence de suppositions générée par cette formule est la racine carrée. Pour s'en rendre compte, il faut d'abord comprendre que dans la limite, l'hypothèse suivante doit être égale à l'hypothèse actuelle. Les suppositions se rapprochent de plus en plus jusqu'à ce que, après un nombre infini d'étapes, elles soient identiques. En utilisant une variable X pour représenter la limite et en appliquant la formule, on obtient une équation qui peut être résolue pour X par l'algèbre. La solution est que X doit être une racine carrée.
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