Qual é a prova de que existem dois números irracionais em que elevar um à potência do outro produz um número racional?
Aqui está uma prova por casos de que existem dois números irracionais a e b tal que a ^ b é racional. Primeiro, considere a = b = sqrt ((2). Lembre-se que sqrt ((2) é irracional, então Se a ^ b = sqrt ((2) ^ sqrt ((2) é racional, estamos prontos porque encontramos a e b irracionais com a ^ b sendo um número racional. Caso contrário, sqrt ((2) ^ sqrt ((2) é irracional. Então a ^ b = (sqrt ((2) ^ sqrt ((2)) ^ sqrt ((2) = sqrt ((2) ^ (sqrt ((2) * sqrt ((2)) = sqrt ((2) ^ 2), que é racional. Então, de qualquer maneira, podemos encontrar a e b ^ b irracionais com a ^ b sendo racional.