以下の三つの公式が存在する。定義より、ここで、三平方の定理を使った。二番目の証明であるが、である。これも定義から証明できる。次に三番目の証明であるが、である。ここで、一番目の公式を使った。三角形に円が外接している状態を考える。これから、が得られる。°以上と考えないとならない。同様に言えるので、と正弦定理を導くことができる。図1.2余弦定理これを三平方の定理に入れることによって、これが余弦定理である。°未満の時も考えて、別々に証明しないとならない。順列は組み合わせは、で定義されている。ここで二項定理の証明をする。これが二項定理であって、また別の二項定理も存在している。これで二項定理の証明は終わった。図1.3のような図形を考える。この時、以下の定理が成り立つ。これを証明するのにA点からBC上に垂線を引いてその点をDとする。すると三平方の定理から、これをさらに展開することによって、(1.29)に(1.30)を代入することによってここで、ADMという三角形で三平方の定理を使うことによって、なので、(1.28)を導くことができる。定理:の内部に点Oがあり、AO、BO、COの延長と各辺BC、CA、ABとの交点をそれぞれD、E、Fとする時、となっている。おいて、AOを底辺とすれば、底辺が共通な三角形の面積の比として、が得られる。同様にして、これらより、これによってチェバの定理は証明された。c)メネラウスの定理の三辺BC、CA、ABまたはその延長と1本の直線が交わり、その交点をそれぞれD、E、Fとする。このとき、が成り立っている。点Cを通り、DFに平行な直線とABの交点をGとする。DF//CGだから、三角形の相似より、これより、これによってメネラウスの定理は証明された。余談として、三平方の定理の証明を行っておく。次のような図形を考えてみる。これより、1.5整数論ここでは整数論の例題を解きながら解説したい。なるような整数の組x,y,zを求める時、のような仮定をする。すると、これからと分かる。次にとなるような整数の組、x,yを求める時、となるc,dを使ってが得られ、これからとなる。ここで、a,bは互いに素とした。次にとした場合にnの最大何乗で割ることができるかという問題がある。n=1の時に100を50回割ることができn=2の時に100を25回割ることができ、n=3の時に100を12回割ることができn=4の時に100を6回割ることができ、n=5の時に100を3回割ることができn=6の時に100を1回割ることができ、n=7の時は割ることができないよって、n=50+25+12+6+3+1=97である。次に無限循環整数は分数になる簡単な例を挙げる次に123など1+2+3が3の倍数になるものは3で必ず割ることができる証明をする。数をabcdeとすると、となる。直角三角形において斜辺と残りのどちらかの辺は両方とも偶数であってはならない。両方とも偶数であるならば、もう一辺も偶数であり、割ることができるので最小の整数ではない。三辺は偶数と、奇数と奇数である。そこで、斜辺の長さの奇数の整数をmとして、残りの一辺の長さの奇数の整数をnとする。すると、も整数になる。今、なので、という条件式が得られる。これによって、直角三角形が満たす3つの整数の組を求めることができる。扱ったり、二次関数を扱ったが、三次関数や四次関数、それ以上の関数を作ることができて、二次方程式と同様に解を求めることができる。解の公式が存在するのは四次方程式までである。五次方程式以上の解の公式が存在しないことの証明には、代数学を使う。このようにxだけの関数を多項式という。関数はで割ることができる。ここで、をの商、をの余りという。次に簡単な複素数の説明をする。解きたいのは以下の方程式である。ここで、が一つの解であることがわかるので、その方程式を因数で割ってやって、となっている。ここで、の解は、である。ここで、iは純虚数であり、で定義されている。実際には存在しない数で虚数と呼ばれるが、量子力学などでは虚数が実際に登場するので、虚数なしでは宇宙を理解することはできない。ような数を複素数という。次に相加相乗平均について述べる。これによって、相加平均のほうが相乗平均よりも大きいことを証明できた。一般的にが成り立っている。角形の面積、円の方程式を求めることにする。内分しているとき、と内分点の方程式を得ることができる。外分しているとき、と外分の方程式を得ることができる。座標に二点があるときに、三平方の定理からその直線が分かって、その距離は、となっている。これが直線の距離の方程式である。直線と点がある時、その点と直線の距離は最短距離となる。その最短距離の長さは、となる。直線上に点から垂直におろした線があり、直線と交わる点をとする。上の点なので、が成り立っている。直線lの傾きは、なので、直線PHの傾きはになる。よって、これからここで左の二辺は一定になるのでtと置いた。これから、となるので、式(2.12)より、となっている。求めることができ、とわかる。式(2.13)に代入することによって、と求める方程式を得ることができる。時の証明もあるが、それは除くことにする。4:三角形の面積の時、三角形の面積はとなる。ABの長さであるが、ここで、直線ABの方程式はこの直線と原点の距離は前回の定理から導くことができて、これより、これによって、証明がなされた。円の接線の方程式は、である。上にがある場合、OAの傾きは、であり、接線の傾きはである。よって、接線の方程式はこれで接線の方程式の証明は終わった。次に円の方程式であるが、円の方程式は一般的に以下のように書ける。これを展開することによって、さらに一般的に、ここで、条件を求めたいと思う。単位円上にがある時、また、に余弦定理を使って、PQの長さを求めると、この二つの式より、が求まる。これより、これらの結果から、となる。ここで、最後のところで分子と分母をで割っている。別の方法として、後で述べるベクトルを使った証明方法もあるので記しておく。いう二つのベクトルがある場合、その内積は、となっている。こちらのほうが簡単な証明方法である。2:二倍角・半角の公式まずは二倍角の公式を導く次に半角の公式を導くから、3:三角関数の合成ここで、加法定理を逆に使っていて、4:円周率の求め方まずは円を十二等分する。図2.1これによって中心角は30°になり、円周角は15°になる。ちなみに、半径は1とする。ここで、十二等分された弧の長さは、であり、である。よって、これが12個あるので、円周は次の値よりも大きい。よって、よって高校数学の範囲内でπが3.09以上ということを示した。2.4指数・対数関数ここでは主に対数関数の性質を扱う。多項式の微積分ここでは多項式の微積分を扱う。微分の定義であるが、以下のように定義される。ここで、今は、である。今、なので(二項定理を使った)、であり、はの二次以上の項を意味している。これから、を導くことができる。ここで、はの一次以上の項である。これは極限を取る時に消える。微分はその逆になっていて、である。ここで、Cは積分定数と呼ばれる任意の定数である。ここで、積分の正しい定義は区分求積法であり、以下のように定義されている。これが微分の逆になっていることは次のように示すことができる。すると、となっている。定義この等比数列の和であるが次のようにして求める。これより、ちなみに、r=1の時はである。これは、等差数列の和でやった。次にやの和を求めたい。いう恒等式を使っての和を求める。k=1から書いていくと、この式を足してやると、これより、となっている。和も同様にして、という恒等式を使って求める。同様な計算から、となっている。和も同様に求めることができる。ベクトルベクトルの内積ベクトルの内積は次のように定義される。ここでθはなす角である。これがとなることを証明したい。定義と余弦定理を使って、これで内積がであることを証明できた。ここではベクトルを使った三角形の面積の公式を導く。時三角形の面積Sは、これは次のように証明する。これは図形と方程式で得られた解と同じである。ベクトルは今までと異なる表現の一種である。多項式の微分は数学II・Bで行った。ここでは次の微分の証明を行いたい。ここで、eは自然対数と呼ばれ、で定義される量である。数値としては2.71程度である。サインやコサインの微分から始める。そのために図3.1をみてほしい。三角関数の微分、底辺は1とする。ここで、ここで、より、これをで割ることによって、このθ→0の極限を取ると、ここで、右辺と左辺は1になるので、結果として、を得る。これからサインの微分を導いてみる。ここで、半角の公式を使った。コサインの微分も同じようにして、となっている。ここでも半角の公式を使った。次に指数・対数関数の微分を行う。ここで最後の時に自然対数の定義を使った。次に指数関数の微分であるが、とすると、になって、と導くことができる。接線を微分法を使って求める円の方程式はであるが、これをxで微分することによって、と接線の傾きが分かる。これから接線の方程式は、と図形と方程式でやった解と同じになっている。次に楕円であるが、方程式はである。これをxで微分することにより、となっていて、接線の傾きが分かる。次に双曲線であるが、双曲線の方程式はこれをxで微分することによって、これを接線の方程式に当てはめると、となっている。次にシュワルツの不等式を証明したい。シュワルツの不等式とは、である。積分をすることによって、ここで、tに対する判別式から、よって、シュワルツの不等式を導くことができた。積分法は微分法の逆なので(数学II・Bの微積分を参照にされたい)が成り立っている。ここでCは積分定数である。一般的に微分法の公式をまとめると、これが微分の公式であって、積分の公式は、である。ここで、対数の積分が以下のようになることを示す。行列に対して逆行列はとなる。これは計算から分かる。トレースと行列式を定義できである。回転行列はとなっていて、これは二次元ベクトルの回転に使われる。回転行列には次の性質がある。ここで三角関数の加法定理を使った。次にケーリー・ハミルトンの定理の証明をしたい。