第1話から読み進めていることを想定しています。第7話では「微分」を「接線の傾きを求める方法」と説明しました。これに対して今回解説する「積分せきぶん」は「面積を求める方法」と言えます。図1-1のような問題を考えてみましょう。面積の問題このような面積も、第7話で行った方法と同様に「極限」を使うことで求まります。1.1リーマン和この問題を解くにはまず、面積を求めたい領域を縦にいくつかの区間に分割します(図1-2)。3つの領域に区切りました。上の点を自由に選んで長方形を作ります(図1-3)。リーマン和ちなみに、このように作った長方形の面積の合計を「リーマン和わ」と呼びます。100個の領域のように分割していくと、直感的にはこのリーマン和が本来求めたかった面積に近づいていくことが解ると思います(図1-4)。リーマン積分そして、区間をどのように分割しても、区間が細かくなるように分割数を限りなく増やしていくとリーマン和が同じ値に収束するならば、この値を「リーマン積分せきぶん」といい、図形の面積と一致します。1.3具体的な値それでは具体的に先ほどの図形の面積の値を求めてみましょう。先ほどリーマン積分の定義で「区間をどのように分割しても」と言いましたが、実際にあらゆる分割方法を検証することは困難ですので、「ダルブーの定理ていり」と呼ばれる定理が使われます。この定理の一部を解りやすく言い換えると図1-5のようになります。ある分割に対して区間が細かくなるように分割数を増やしたとき、リーマン和が最大になるときとリーマン和が最小になるときとで同じ値に収束するならば、この値はリーマン積分と一致する。要するに、この定理を使うと分割方法の1つを検証するだけでリーマン積分が可能となるわけです。ここでは計算を簡単にするために、分割方法を等分割にしておきます。先ほどの問題に対し、等分割したリーマン和が最大の場合と最小の場合を考えて、それぞれの極限を求めると図1-6のようになります。」に近づくことが判ったため、ダルブーの定理より、この値はリーマン積分と一致します。2不定積分と逆微分さて、毎回このようにリーマン積分を求めるのは大変ですので、第7話の微分のときと同様に、主な関数についてリーマン積分した結果だけを紹介します。区間に一般化したリーマン積分を求めることにします。