面積が求まるというわけです。この不定積分を見ていきましょう。任意の定数で、どのような数が代入されても成り立つというものです。」となり、確かに先ほどの結果と一致します。」のようにリーマン和の極限を計算することなく、引き算で簡単に求まります。2.2逆微分さてこの不定積分の関数はどうすれば求まるかについてですが、関数が連続している場合、実は微分の逆操作で求めることができます。」が不定積分の結果となります。不定積分することになります。「原始関数げんしかんすう」といいます。主な関数の不定積分は表2-1の通りです。」のように求まります。これらの不定積分の結果はいずれも、微分すると元の関数に戻ることが分かります。3広義リーマン積分さて次に、リーマン積分ができない例として、図3-1の問題を考えてみましょう。リーマン積分できない関数この場合、図形は右にどこまでも続いていて、区間が有限でないためリーマン和が作れず、リーマン積分ができません。区間で計算できる不定積分を用いて、その区間を限りなく広げて極限を使ってリーマン積分を拡張することを考えます。このように、極限を使って拡張したリーマン積分を、「広義こうぎリーマン積分せきぶん」といいます。することで図3-2のように計算することができます。4重積分リーマン積分を多変数に拡張することで、立体の体積などを求めることもできます。これまでの方法と同様に、この立体に対して分割してリーマン和の極限を求めることで、この立体の体積が求まります。このように、多変数に対して行う積分を「重積分じゅうせきぶん」と言います。それぞれの区間も有界のとき、この重積分は一変数の積分の組み合わせに直すことができます。あとは内側から、これまでのようにリーマン積分を計算すると体積が求まります。5測度とルベーグ積分さて、ここまでユークリッド空間の連続した図形に対して面積や体積を求めてきましたが、曲がった空間や不連続な図形を考えるとこれまでの方法では求まらないことがあります。一般の集合を考えると、そもそも長さや面積の定義が自明ではないため、どのような長さに対しても面積が求まるようにしたほうが便利です。そこで、長さや面積や体積を一般化して「測度そくど」というものを集合に定義し、その測度における積分を求める「ルベーグ積分せきぶん」というものが生まれました。ルベーグ積分は、より多くのものに対して積分できるように、やや回りくどいですが図5-1の流れで行います。-加法族かほうぞく」を導入する。-加法族の上に、実際の測り方を定義する。この測り方を「測度」という。「測度空間そくどくうかん」という。任意の測度空間上の関数に対し、「ルベーグ積分」を行う。ルベーグ積分の流れこの(1)から(4)を図で表すと図5-2のようになります。ルベーグ積分の流れの図このような流れにすることで、「測度空間」さえ作れば、どのようなものでも積分できるようになります。図形や立体に限らず、「確率」といったものも積分できます。このため、現代の確率論はルベーグ積分をベースに構築されています。ちなみにユークリッド空間を対象とする場合、今までわたしたちが面積や体積や長さとして考えていたものをそのまま自然に拡張した「ルベーグ測度そくど」という測度がよく使われます。-加法族として「ボレル集合体しゅうごうたい」と呼ばれるものがよく使われます。具体的にルベーグ積分の問題を解いてみましょう(図5-3)。ルベーグ積分の問題あえて変な測り方をする必要はないため、ここでは2次元ユークリッド空間とし、ボレル集合体とルベーグ測度を使った測度空間を仮定します。いうと、リーマン積分は図形を縦に分割して面積を求める方法でした。これに対し、ルベーグ積分は横に分割して面積を求める方法と言えます。取り得る値が有限個かつ負でないとき、ルベーグ積分は図5-4のように定義されます。その測度を掛けたものが面積の一部になるという流れです。この方法を先ほどの問題に適用して解くと、図5-5のようになります。ルベーグ積分の問題の解答この例では非常に簡単な面積を求めましたが、例えばすべての点で不連続な関数など、直感的には面積が分からない関数でもルベーグ積分を使えば求められる強みがあります。今回は、図形の面積を求める「積分」について説明しました。前へ目次ホームへ次へ1730493822jaf。