2022年12月4日SHAREツイートシェアはてブLINE$$\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}$$フーリエ変換を複素フーリエ級数から導き出しましたが、今回はフーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換を導出したいと思います。フーリエ変換を導き出しているので、フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換を導くのは一見複雑に見えますが行っていることは難しくありません。x\end{align*}$$でした。(2)\end{align*}$$が導かれました。周期$$2L$$を持つ周期関数$$f_L(x)$$をフーリエ級数で表すと次のようになります。(4)\end{align*}$$です。(4)を(3)に代入すると次のようになります。(5)\end{align*}$$ここで、新しい記号を導入します。\infty$$の極限を考え、その関数を$$f(x)$$とします。この$$f(x)$$はもはや周期関数ではありません。ここで$$f(x)$$は絶対積分可能であるとします。x$$は存在する、と仮定するのです。\infty$$で0になります。(7)\end{align*}$$とします。&&(8)\end{align*}$$となります。(9)\end{align*}$$という式が得られます。これをフーリエ積分公式といいます。(9)は次のようにも書けます。(12)\end{align*}$$これをフーリエ積分表示といいます。0)\right)\end{align*}$$に収束する。フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換さて、ようやくフーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換が求める素地ができました。(14)\end{align*}$$と書けます。(16)\end{align*}$$と書けます。(13)と(14)、(15)と(16)は相互の変換式で、その係数の積が$$\frac{2}{\pi}$$であればいいので、ここで、係数を$$\sqrt\frac{2}{\pi}$$とすると(13)(14)(15)(16)は次のようになります。(20)\end{align*}$$ここで、$$F_c(\omega)$$をフーリエ余弦変換、$$F_s(\omega)$$をフーリエ正弦変換と呼びます。フーリエ余弦変換の例題問題ここで、フーリエ余弦変換の例題を解いてみようと思います。1)\end{array}\right.\end{align*}$$のフーリエ余弦変換を求めなさい。\sqrt\frac{2}{\pi}\frac{\sin\omega}{\omega}$$となります。まとめ今回はフーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換を説明しましたが、それらを求めるにはフーリエ積分を知っていなければなりません。このフーリエ積分ですが、一見とても複雑に見えるかもしれませんが、展開して行く過程はとても簡単です。式が長いだけですので、フーリエ積分に尻込みせずにしっかりと学んで、フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換の導出の仕方を理解してください。大学数学講師ケント大学の学習の復習としてサイトを構築しています。大学1年生の時に参考書や教科書を読んでもわからなかったことを噛み砕いて解説しています。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。