2022年12月4日SHAREツイートシェアはてブLINE$$\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}$$フーリエ級数、リーマン・ルベーグの補助定理と学んできましたが、今回はフーリエの収束定理の証明をしていきます。ここで、「ディリクレ核」というものが登場しますが、そちらも説明したいと思います。フーリエの収束定理は、その名から予想されるとおり極限値を求めるもので、その証明は多少複雑ですが、なんとかついてきてください。まとめ証明したいことまず、フーリエ級数を有限数Nまでの和をとったものをSN(x)を考えます。それは以下のとおりです。b_n\sin\,nx)\tag{1}$$フーリエ級数f(x)は次のとおりです。b_n\sin\,nx)\tag{2}$$それで証明したいことは次のものです。0\tag{4}$$$$a_0、a_n、b_nはフーリエ係数で次のとおりでしたね。x\tag{5}$$(5)のフーリエ係数を(4)に代入します。関数そのものの独立変数はx、フーリエ係数部分の積分変数は「y」にします。上式(6)はとてもごちゃごちゃしていますね。これを整理したいと思います。(6)で$$S_N(x)$$の部分を整理します。b$$の形をしていますね。xとすれば、yはzで置き換えられます。z\end{align*}$$積分変数をyからzに変えますので、積分区間も修正されます。-x$$[/asideよって$$S_N(x)$$は次のようになります。-x$$がなんとなくですが、すっきりしませんね。周期関数の場合、積分区間をずらしても積分の値は変わらないということがわかります。よって(9)は次のようになります。\sum_{n=1}^{N}\cos\,nz$$はディリクレ核と呼ばれるものです。ディリクレとはフーリエの弟子だった人の名です。(10)は特別にD(x)という記号で表します。D(x)は次のような式を導きます。\tag{11}$$(11)の両辺に$$2\sin\left(\frac{1}{2}x\right)$$をかけます。N\right)x\end{align*}$$というわけで次式が導かれました。N\right)x$$上式からディリクレ核は次のようになります。N\right)}{2\sin\left(\frac{1}{2}x\right)}\tag{12}$$以上のことから(6)は次のようになります。0$$上式を少し変形します。$$(14)をよく見るとリーマン・ルベーグの補助定理に似ていると思いませんか。リーマン・ルベーグの補助定理は次のとおりです。0\tag{15}$$しかし、リーマン・ルベーグの補助定理を満たすには(15)のf(x)が発散しないことです。f(x)\right\}}{2\sin\left(\frac{1}{2}z\right)}\tag{16}$$ですね。上式の分母は0になる場合があります。そこで、上式の極限値を見てみましょう。f(x)}{z}\times\frac{\frac{1}{2}z}{\sin\left(\frac{1}{2}z\right)}\right\}\end{align*}\tag{17}$$(16)の右式の前段はf(z)の微分です。問題は後段のsinです。0}\frac{\frac{1}{2}z}{\sin\left(\frac{1}{2}z\right)}\tag{18}$$(18)は1に収束することはよく知られています。(16)は発散しないのです。これでようやくフーリエの収束定理の証明の終点にきました。フーリエの収束定理ある関数f(x)が区分的滑らかな場合、フーリエ級数は収束し、以下の式が成り立ちます。0$$まとめ今回はフーリエの収束定理の証明をしてみましたが、たいへん骨が折れました。いっていることはとても簡単なのですが、それを証明するにはディリクレ核やリーマン・ルベーグの補助定理など、これまで学んだことの総動員です。それでも何とか証明することができました。このような基礎的なことを証明するのが一番難しいものです。今回のフーリエの収束定理はフーリエ級数の土台を作っているものです。できうる限り解りやすく証明してきたのですが、どうでしょうか。わからない点があれば、もっと深く自分で掘り下げてみてください。関数の内積とノルムの定義を総ざらい!意外に重要な単元!正規直交系のフーリエ級数を徹底的に解説してみた区分的滑らか区分的連続とは?世界一わかりやすく説明してみた。大学数学講師ケント大学の学習の復習としてサイトを構築しています。大学1年生の時に参考書や教科書を読んでもわからなかったことを噛み砕いて解説しています。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。