Thorne氏(サウスカロライナ大)は判別式が平方自由、かつ三つの異なる素数の積になっている三次体を数え上げた。この結果の鍵となるのは、二元三次形式の空間におけるある指数和の値の評価である。今回の講演では、二元四次形式の空間における類似の結果を紹介し、楕円曲線における応用を紹介する。Xiao氏(UNBC)との共同研究である。math.kyushu-u.ac.jp)にご連絡ください。algebras)講演スライドマルコフの方程式x^2+y^2+z^2=3xyzの正整数解に現れる数は「マルコフ数」と呼ばれ、有理数による実数の近似問題やモジュラー群と深く関係する興味深い研究対象として知られている。マルコフの方程式はその自明な整数解(x,y,z)=(1,1,1)から出発して、1つの成分を一定の操作で入れ替える操作を繰り返し行うことで全ての正整数解を得られる特徴を持つが、これが団代数理論で扱われる「団構造」と呼ばれる構造を持つことが近年判明し、団代数理論の枠組みでの研究も活発化している。本講演では、マルコフの方程式と同じように正整数解が「団構造」をもつような方程式と、それに付随する性質や予想について述べる。3-manifolds)3次元多様体の量子不変量は数理物理的観点から定義されたトポロジーの対象だが、表現論や数論とも関係が深く大変興味深い。量子不変量の漸近展開とモジュラー形式の関連がZagierらによって指摘されている。この観点の下、数理物理学者のGukov-Pei-Putrov-Vafaは量子不変量の間のある関係式を予想した。本講演では講演者によって得られたこの予想の証明について述べる。この証明の手法の帰結としてある種のL関数の特殊値の関係式や消滅性が得られることも紹介する。proof.トップページにもどる。