Harvestは小説の題名。随伴の定義には先に説明したもののほかに、いくつかの同値な言い換えがある。その中で、よく知られているものに、余単位(counit)-単位(unit)随伴がある。これは次のように定義される。RL\end{eqnarray}があり、図12に示すような可換図式となるときである(これを三角可換図式と呼ぶ)。\(ε\)と\(η\)はそれぞれ余単位と単位、\(L\)は\(R\)の左随伴、\(R\)は\(L\)の右随伴と呼ばれる。ηR\end{eqnarray}となる。証明をストリング・ダイアグラムで行うそれでは、先に説明した随伴の定義から、今回の余単位-単位を用いての定義が導き出されることを、ストリング・ダイアグラムを用いて証明しよう。h^{LB}A\)となる。関手\(R\)で圏\(\mathcal{D}\)に移すと、\(g\)に戻る。これはストリング・ダイアグラムで表すと、図13となる。h^BRA\)を一回りさせたものと、元のものとが同じであることを表したストリング・ダイアグラム右側を変形すると、図14となる。図14:一回りした\(g\)のストリング・ダイアグラムを変形する。これを見やすくすると、図15の中央の図となる。これと左側の図とは等しい。図15:一回りした\(g\)と、もとの\(g\)とがストリングダイアグラムで表す。三角可換図式に対応する部分を抜き出すと図16となる(\(g\)より左側の部分)。この左図で下の方から上の方に移動していくと、\(R\)から、\(Rη\)に達し、そこを越えたところから\(RLR\)となり、さらに上に行くと\(εR\)となり、ついに\(R\)に至ることが分かる。右図は左図と同値であるので、図12の三角可換図式(右側)と同じであることが分かる。図16:三角可換図式の一つを導き出した。h^{LB}A\)についても考えることができ、一回りしてきたものと、そのままとが等しいというストリング・ダイアグラムは図17となる。h^{LB}A\)を一回りさせたものと、元のものとが同じであることを表したストリング・ダイアグラムこれの右側を変形すると、図18の中央の図となる。これとその右側の図とは等しい。図18:一回りした\(f\)のストリング・ダイアグラムを変形する。三角可換図式に対応する部分を抜き出すと、図19を得る。これからこの図は図12の三角可換図式(左側)と同値であることが分かる。図19:三角可換図式の残りの一つを導き出した。これによって、随伴の二つの定義が同値であることが証明できたが、ストリング・ダイアグラムを用いての証明は、このようにビジュアルで分かりやすい。米田の補題の証明である。随伴は、圏論を代表する概念である。今回の記事はコモナド(余モンドとも言われる)だ。参加グループ知識リンクはてなブログブログをはじめる週刊はてなブログはてなブログProはてなブログをはじめよう!bitterharvestさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告する引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。