書斎この広告は、90日以上更新していないブログに表示しています。結城浩さんが4/13の日記で無理数クイズを出題していることを知りました。いう式を満たすならば、xとyの少なくとも一方は無理数である」この命題が真なら証明し、偽なら反例を示してください。激しく面白そうだったのでチャレンジ。naka64さんの証明とは異なり、素朴な(?)方法で証明を考えてみました。寝床についてから目を閉じても頭がくるくるまわって納得するまで寝つけませんでした(汗)。背理法とフェルマーの小定理をわざわざ使っていることが本当に素朴なのかは疑問。エレファントな証明であってエレガントではないような(汗)。検証していないので間違っているかも。嘘ついてたらごめんなさい。なる有理数x,yはあるか?まず、3の平方根が無理数であることを既知とします。制限しても一般性を失わないことは明らか。いう既約分数に置き換える。組が存在するかという問題と同等。組が存在するかという問題と同等。倍数ではありえないことを示しておく。共に3の倍数であるとする。既約性から、b,dは共に3の倍数ではない。すると、式(1)の右辺は3の素因数を高々1個しか持っていない。ところが、左辺は9の倍数となってしまう。これではまずいのでa,cが共に3の倍数であるケースはありえないと結論できる。次にaが3の倍数でcが3の倍数ではないケースを考える。既約性によりbは3の倍数ではない。なるが、左辺は3の倍数ではないのに右辺が3の倍数となっている。これではまずいのでaが3の倍数、cが3の倍数ではないケースはありえないと結論できる。同様にしてaが3の倍数ではなく、cが3の倍数であるケースはありえないと結論できる。倍数ではありえないことが示された。以後、このことを念頭におく。組が存在するかどうか調べているのであった。倍数ではありえないことを示しておく。bが3の倍数かつdが3の倍数であることがありうるかを調べる。...(1)の左辺は3の素因数が偶数個、右辺は奇数個となってしまう。よってb,dが共に3の倍数であることはありえない。bが3の倍数、dは3の倍数ではないケースを調べる。(cb)^2であるが、左辺は3の倍数ではないのに対し、右辺は3の倍数となる。よって、bが3の倍数、dは3の倍数ではないケースはありえない。同様にして、bが3の倍数ではなく、dが3の倍数であるケースもまたありえない。以上で、bが3の倍数ではありえないこと、dもまた3の倍数ではありえないことが示された。全て3の倍数ではないことが要求されることが示されている。全て3の倍数ではないことが既に示されていることに注意。1)もまた、3で割り切れる。倍数でなければならない。倍数でなければならない。