掛けて全空間で積分します。(2^*)式に左から\Psi_iを掛けて全空間で積分します。f_iは定数)\tag{4}\\&&\hat{F}はエルミート演算子なので、(3)式と(4)式の両辺は等しいです。$$よって、証明された。定理3$P,Q$が交換可能のときには、同時に両方の演算子の固有関数となる一組の関数が存在する。これらの演算子に対応する物理量を同時にかつ正確に記述できる。$$定理4交換可能なエルミート演算子$F,G$があり、一組の関数が$\hat{F}\Psi_i=f_i\Psi_i$であるなら、$<\Psi_i|\hat{G}|\Psi_j>_{i≠j}=0$である。