2020.07.21みなさん、こんにちは。高校数学IAのコーナーです。今回のテーマは【背理法】です。たなかくん背理法の問題の解き方が分からない...。背理法と対偶って違うの?たかしくんのように背理法の問題につまづいてしまった人も多いはず。背理法は、「無理数であることの証明」によくつかわれます。背理法の例を確認して、背理法の証明をマスターしましょう。今回は、背理法とはどういうものかを分かりやすく解説します。背理法とは、数学の証明方法の一つです。命題Pが成り立たないと仮定して、仮定より矛盾する事柄が導かれることを示し、命題Pが成り立つことを証明するものです。イメージしづらいですね...。かんたんにまとめると次のような仕組みです。1命題Pが成り立たないと仮定する。2「命題Pが成り立たない」という仮定と矛盾した結果がわかる。3仮定が間違っている。(=命題Pは成り立つ。背理法のイメージをつかんだところで、かんたんな例題を解いてみましょう。例題$\sqrt{2}$が無理数であるとき、$1+\sqrt{2}$が無理数であることを証明しなさい。今回証明したい命題は「$1+\sqrt{2}$が無理数であること」。1まずは命題Pが成り立たないと仮定しましょう。$1+\sqrt{2}$が有理数であると仮定します。2次は「命題Pが成り立たない」という仮定と矛盾した結果を導きましょう。すればいいの...とつまづいてしまいますね。問題文をもう一度見てみましょう。「$\sqrt{2}$が無理数であるとき」という条件があります。この条件を生かすと解くことができそうです。ここで、$1+\sqrt{2}=A$(Aは有理数)としてみましょう。式を変形すると、$\sqrt{2}=A-1$となります。$A-1$は有理数同士の引き算なので、右辺は有理数ですね。条件にある「$\sqrt{2}$が無理数」に矛盾します。3仮定が間違っている(=$1+\sqrt{2}$が無理数)と考えられるわけです。背理法と対偶の証明の違い証明の方法として習った対偶法。命題が成り立たないときを考えるという点が共通していますね。して同じ?と思った人もいるかもしれませんが、まったくの別物です。これを機に、対偶をつかった証明方法をあらためて押さえておきましょう。対偶とは、もとの命題を「$P$ならば$Q$」とすると「$\bar{Q}$ならば$\bar{P}$」のことを指します。対偶の証明では、もとの命題の真偽と対偶命題の真偽は同じという性質をつかって、対偶命題が真であると示すことで、もとの命題が真であることを証明します。対偶の証明は「$P$ならば$Q$」という命題(推論命題)に使われるものなのです。一方の背理法は、次に証明するように「$\sqrt{3}$が無理数」のような命題(断定命題)で使われます。背理法を使って無理数の証明ここまでの解説で、背理法についての理解がかなり深まったことでしょう。最後に背理法をつかって無理数の証明をしてみましょう。問題$\sqrt{3}$が無理数であることを証明しなさい。1まず、命題Pが成り立たないと仮定しましょう。$\sqrt{3}$が有理数であると仮定します。2次に、「命題Pが成り立たない」という仮定と矛盾した結果を導きたいので、先ほどの例題のように数式をつくりましょう。有理数の特徴を考えると、$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$(a,bは互いに素な自然数)と表せます。有理数の特徴は、こちらの記事が参考になります。式を変形すると、$a=\sqrt{3}b$となります。両辺とも正の数なので、ルートを外すために2乗してみましょう。$a^{2}=3b^{2}$$a^{2}$と$b^{2}$は互いに素なので、$a^{2}$は3の倍数、すなわちaは3の倍数であることが分かります。ここで、$a=3k$(kは自然数)として、$a^{2}=3b^{2}$に代入してみましょう。$\left(3k\right)^{2}=3b^{2}$これを整理すると、$b^{2}=3k^{2}$aとbは互いに素より、bとkも互いに素なので、$b^{2}$は3の倍数となります。ここで、aもbも3の倍数という、仮定「$\sqrt{3}=\frac{a}{b}$(a,bは互いに素な自然数)」に矛盾する事柄が示されました。したがって、3仮定が間違っている(=$\sqrt{3}$は無理数)といえます。今回のまとめ今回は、背理法について勉強しました。断定的な命題の証明に背理法をつかうこと。背理法とは「命題が成り立たないという仮定の矛盾を示すことで命題を証明する」こと。背理法のポイントをしっかりと覚えておきましょう。今回もおつかれさまでした。集合と論理の公式を解説して基本問題を解く【数学1A】みなさん、今日は数学IAの「集合と論理」を勉強します。集合と論理の分野の問題はどの大学の入試問題でも必ずと言って良いほど出ます。難関系大学の入試にはよく出ます。SPI試験でも見かけます。何か?実際に問題を使って理解する。【数学IA】みなさん、こんにちは。わからなくなるのは、表面的に暗記しようとするからです。一度きちんと掘り下げて考え、「必要」と「十分」の意味を理...集合と論理ド・モルガンの法則をわかりやすく解説!実践問題も解く【数学】みなさん、こんにちは。数学IAのコーナーです。今回のテーマは【ド・モルガンの法則】です。集合の問題を解くのに時間がかかるという悩みを抱えている人も多いでしょう。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。※サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。上に表示された文字を入力してください。世界史ヨーロッパ中世eBookも発売しました!プロフィール(生徒による私の似顔絵...似てない...)こんにちは。emitaと言います。現役の元某私立高校で教員をしておりました。教室長をしております。現役中高生のみならず学び直しをしたい大人の方々のために教育系ブログをはじめました。このブログを通じてみなさんの学力が上がれば嬉しいです。