以下の定理は、エルミート演算子はすべて線形エルミート演算子であるとします。定理1$P,Q$がエルミート演算子であるとする。$P,Q$が交換可能(可換)なら、($PQ=QP$)なら、$PQ$はエルミート演算子である。「$PQ$はエルミート演算子である」ということは下の式が成り立つということです。$$以下ではこれを証明します。$$これで証明ができました。※$PとQ$が交換可能(可換であるともいう)ということは、演算の順番を交換しても結果が変わらないということです。$\hat{P}\hat{Q}f(x)=\hat{Q}\hat{P}f(x)$一般的に、交換可能ではない場合、$\hat{P}\hat{Q}f(x)≠\hat{Q}\hat{P}f(x)$です。x},\hat{Q}=x$であるときです。計算してみると、以上に挙げた式が成り立たないことがわかります。定理2エルミート演算子の異なる固有値に対応する固有関数は直交する。f_i≠f_j$$なら、<\Psi_i|\Psi_j>=0例としては、$\hat{F}$がハミルトニアン、$\Psi_i$、$\Psi_j$が異なる軌道の波動関数、$f_i$がその軌道のエネルギーとかです。