同種の粒子がたくさん集まった合成系を考えたい。ここに量子力学の性質として「同じ種類の粒子の番号付けを入れ替えても状態は変わらない」を要請すると、この$1$か$-1$か全空間をとってはいけないことになる。「状態は変わらない」ためには、粒子の入れ替えで変化しうるのは波動函数の位相部分だけであるが、「2回入れ替えると元に戻る」ことから、位相変化としてあり得るのは$e^0$または$e^\pi$、すなわち$1$か$-1$かだけであることが分かる。「$1$か$-1$か」はSchrödinger方程式で変化しない、すなわち時間変化しないことから、この区別は粒子の種類に固有のものであることが分かる。粒子の番号付けの入れ替えで波動函数が不変のものをボソン(boson)、波動関数が$-1$倍されるものをフェルミオン(fermion)という。N})$で書けることになる。N})$で状態空間を書くことができる。素直な基底は次のようにとれる。ボソン以下ケット間のテンソル積記号は省略する。$S_N$を$N$個の置換とする。\ket{\psi_{n_{\sigma(1)}}}\ket{\psi_{n_{\sigma(2)}}}\cdots\ket{\psi_{n_{\sigma(N)}}}$$で定める。n_N}$$が成り立つ。\ket{\psi_{n_{\sigma(1)}}}\ket{\psi_{n_{\sigma(2)}}}\cdots\ket{\psi_{n_{\sigma(N)}}}$$で定める。n_N}$$が成り立つ。