数と式2020.08.19みなさん、こんにちは。数学IAのコーナーです。今回のテーマは【対称式と交代式】です。対称式と交代式って結局どう使うの?たなかくん対称式と交代式を習ったけどそれをどう使えばいいのか分からないという人もいるでしょう。対称式と交代式を使いこなすには、対称式・交代式の特徴を知っておくことが大切です。この記事では、まず対称式・交代式とは何か、そしてその特徴を説明し、それらの使い方について分かりやすく解説していきます。問題演習もできるので最後までしっかりと読んで知識のアウトプットにも努めましょう。それでは、さっそく始めていきましょう。今回のまとめ対称式と交代式とは交代式とは交代式とは、「変数を入れ替えると、-1をかけた式になる式」のことです。この説明ではよく分かりませんね...。具体的な式で理解しましょう。$x-y$には、$x$と$y$という2つの変数がありますね。これらを入れ替えると、$y-x$となります。-1$が成り立つので、$x-y$は交代式です。次に、対称式についてです。対称式とは、「変数を入れ替えても同じ式になる式」のことです。交代式と同様に具体的な例を見てみましょう。$x+y$の変数$x$と$y$を入れ替えると、$y+x$となります。見た目は変わっていますが、$x+y=y+x$であるため、$x+y$は対称式です。対称式には、どんな対称式も$x+y$と$xy$の和・差・積の組み合わせで表すことができるという性質があります。$x+y$と$xy$のことを「基本対称式」といいます。ここでは、対称式$x^{2}+y^{2}$、$x^{3}+y^{3}$を基本対称式の組み合わせで表してみましょう。$x^{2}+y^{2}=\left(x+y\right)^{2}-2xy$$x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}$$x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)^{3}-3xy\left(x+y\right)$このように、対称式は基本対称式の組み合わせで表せることを覚えておきましょう。2変数の場合の交代式2変数の交代式は、「$x-y$を因数にもち、残りの因数は対称式になる」という性質があります。2変数の交代式の因数分解2変数の交代式の$x-y$を因数にもつという性質をつかって、因数分解をしてみましょう。2変数の交代式には$x^{3}-y^{3}$があります。交代式は$x-y$を因数にもつので、$x^{3}-y^{3}=\left(x-y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)$残りの因数は対称式になる、すなわち基本対称式の組み合わせで表せるという特徴から、さらに式を変形すると、$x^{3}-y^{3}=\left(x-y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)$$=\left(x-y\right)\left\{\left(x+y\right)^{2}-xy\right\}$となります。対称式・交代式を使うと、どんな問題が解けるようになるのでしょうか?さっそく練習問題を解いてみましょう。対称式と交代式の難問を解いてみよう問題$x=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$、$y=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$とする。このとき、次の値を求めなさい。(1)$x^{2}+y^{2}$(2)$x^{3}-y^{3}$解答まずは、基本対称式の値を求めましょう。$x+y=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}+\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$$=\frac{\left(\sqrt{5}-2\right)^{2}+\left(\sqrt{5}+2\right)^{2}}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}$$=\frac{\left(5-4\sqrt{5}+4\right)\left(5+4\sqrt{5}+4\right)}{5-4}=18$$xy=\frac{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}=1$$x+y=18$、$xy=1$であることを使って、問題を解いていきましょう。基本対称式に加え、$x-y=-8\sqrt{5}$も使って解いていきます。$x^{3}-y^{3}=\left(x-y\right)\left\{\left(x+y\right)^{2}-xy\right\}$$=-8\sqrt{5}\left(324-1\right)=-2584\sqrt{5}$今回のまとめ今回は、対称式と交代式について解説しました。対称式・交代式を使うと、一見むずかしそうな計算をかんたんに解くことができます。入試の小問を素早く解き終えるために、対称式・交代式を使いこなせるようにしましょう。今回もおつかれさまでした。三訂版」がおすすめです。【数学IA】二次方程式とは?二次方程式の計算問題を公式を使って解く!みなさん、こんにちは。「数学IA」の今回のテーマは、二次方程式です。二次とは次数が2を表すことで2次方程式とは最大次数が2が出てくる方程式のことを指します。多項式の除法とは?計算方法をわかりやすく解説して演習問題を解く【数学IA】みなさん、こんにちは。今回のテーマは【多項式の除法】です。これまで除法のやり方について、いろいろ勉強してきた人も多いでしょう。多項式の除法にはどんな方法があるのか?と聞かれると、ぱっと出てこないかもしれません。乗法公式を簡単に覚えられる方法【受験に役立つ数学IA】みなさん、こんにちは。数学IAのコーナーです。今回のテーマは【乗法公式】です。今回は、乗法公式を覚えなきゃいけないとは分かっているけどなぁ...と思っている人向けに、乗法公式について解説します。恒等式とは?計算の仕方をわかりやすく解説して問題演習をする【数学IA】みなさん、こんにちは。今回のテーマは【恒等式】です。恒等式という言葉は聞いたことあるけど、あまりよくわからない...。恒等式はわかるけど、どんな問題が出るかわからない...。今回はこんな疑問にお答えします。最小公倍数と最大公約数で「タイル敷き詰め」と「素数ゼミ」問題を解く【数学IA】みなさん、こんにちは。数学IAのコーナーです。「タイル敷き詰め」と「素数ゼミ」問題を解く】です。最小公倍数と最大公約数はちゃんと日常生活や自然界を理解するための役に立っています。連立不等式の解き方と解法でミスを防ぐ最強の方法みなさん。今回は「不等式」とくに【連立不等式】について述べていきます。この分野はセンター試験にも必ず出題されますし、図形問題や文章題との親和性も高いので、応用問題も多岐に渡ります。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。※サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。上に表示された文字を入力してください。世界史ヨーロッパ中世eBookも発売しました!プロフィール(生徒による私の似顔絵...似てない...)こんにちは。emitaと言います。現役の元某私立高校で教員をしておりました。教室長をしております。現役中高生のみならず学び直しをしたい大人の方々のために教育系ブログをはじめました。このブログを通じてみなさんの学力が上がれば嬉しいです。